Continuidade num ponto.

Seja f uma função real definida no conjunto D⊂R e seja a⊂D um ponto do seu domínio. A função f é contínua no ponto a se

∀δ>0,∃ε>0,∀x:(x∈D⋀V_ε (a)⟹f(x)∈V_δ (f(a))).

A propostA pedAgógicA

A proposta pedagógica pretende, de forma sucinta, trocar a ordem de lecionação dos conceitos de limite e de continuidade. Procura-se identificar as ações epistémicas que surgem durante o processo de abstração e que são relevantes para a construção do conhecimento matemático, bem como as dificuldades sentidas pelos alunos, mormente ao nível da aplicação da linguagem simbólica e inter- ligação de conceitos. Procura-se ainda verificar se o corte da dependência da noção de continuidade em relação à noção de limite origina uma melhor compreensão dos conceitos em estudo.

Através de um estudo experimental, pretende-se averiguar se o conceito de continuidade introdu- zido na Definição 3 origina um melhor entendimento desta importante noção por parte dos alunos. Assim, primeiramente os alunos foram confrontados com a noção de vizinhança (Definição 1). Esta noção já é habitualmente introduzida no início das unidades curriculares da área da Matemática, no ensino superior, atendendo a que é relevante no estudo dos extremos relativos de uma função. Depois, foi estudada a continuidade com base na vizinhança, questão já abordada do ponto de vista conceptual em Teixeira et al (1999) onde é promovida uma excelente discussão sobre estas questões. Só após a introdução da continuidade foram estudados os limites. Assim, a presente proposta peda- gógica contempla a inversão da introdução dos conceitos de limite e de continuidade, tendo como objeto de estudo alguns alunos do ensino superior politécnico, a frequentar a unidade curricular de Métodos Quantitativos na Administração Pública.

A metodoLogiA do estudo

A metodologia adotada neste trabalho é qualitativa e interpretativa. De acordo com Denzin (1999), a investigação qualitativa preocupa-se fundamentalmente com os processos e dinâmicas, e está de- pendente do investigador. Bogdan e Bicklen (1982), numa das mais conhecidas obras sobre esta ma- téria, referem que as múltiplas formas de interpretar as experiências dependem das relações entre os diversos intervenientes no processo de aprendizagem. Assim, procurou-se compreender o processo de construção de conhecimento dos alunos envolvidos, através da análise da evolução das suas pro- duções em aula (participação oral, resolução de exercícios, etc.). Posteriormente serão analisados alguns estudos de caso que se considerem mais importantes para a compreensão do processo, para que no final seja possível apresentar uma descrição detalhada de todo o sistema de construção de conhecimento.

cArActerizAndo os indivÍduos do estudo

Atendendo a que as noções de continuidade e limite já não são lecionadas em boa parte das uni- dades curriculares (UC) da área da Matemática, na Escola Superior de Tecnologia e Gestão do Instituto Politécnico de Leiria (ESTG – Leiria), foi escolhida como objeto de experimentação a

127

Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2015

turma de Métodos Quantitativos na Administração Pública (MQAP), lecionada no curso de Admi- nistração Pública (AP). Note-se que nos cursos da área das engenharias desta escola, a UC basilar de Matemática é designada por Análise Matemática, sendo que nessa UC os conceitos supra são apenas revistos, habitualmente em parte de uma única aula de 120 minutos. Também nos cursos da área da gestão da ESTG – Leiria é assumido o conhecimento prévio das noções supra, pelo que os conceitos em estudo são apenas revistos na UC de Métodos Quantitativos pertencente ao plano curricular desses cursos.

A UC de MQAP é uma UC do primeiro semestre do primeiro ano do curso, onde são lecionados con- teúdos de matemática e estatística, de nível considerado como elementar para um curso superior. De facto, os alunos que frequentam este curso têm uma formação bastante heterogénea. As provas de in- gresso em AP são (em opção) Economia, Matemática Aplicada às Ciências Sociais e Português, o que alarga a base de recrutamento do curso mas implica uma formação Matemática, à entrada no curso, bastante diversa entre os novos alunos. Dos 40 alunos a frequentar esta UC no ano letivo 2014/15, 17 estão a repetir a frequência e 23 são novos alunos. Cerca de um terço destes alunos (maioritariamen- te não repetentes) têm Matemática A ou B ao nível do 12.º ano. A formação dos restantes alunos varia entre a Matemática Aplicada às Ciências Sociais do 12.º ano, o 11.º ano de Matemática das escolas profissionais e o 9.º ano de Matemática para alguns alunos que optaram por formação secundária na área de Humanidades.

Todos os alunos que frequentaram as aulas de MQAP foram confrontados com a lecionação dos con- ceitos em análise da forma já referida (vizinhança – continuidade – limite) e procurou-se que estes respondessem a um conjunto de questões com base nesta abordagem. Não se pretende realizar um estudo estatístico, do ponto de vista inferencial, até porque as respostas obtidas não são mensurá- veis. Pretende-se apenas analisar a construção do conhecimento matemático sobre estas questões por parte dos discentes, com base no conhecimento destes sobre as matérias antes do início do estu- do e no progresso efetuado até ao final do estudo.

A recoLHA e A AnáLise dos dAdos

No final da aula que antecedeu o início do estudo da continuidade, foi apresentada sumariamente aos alunos da UC a proposta pedagógica. Após este procedimento introdutório, todos os alunos tiveram de responder, de forma individual e em papel, a uma primeira questão. Com a resposta a esta questão pretendeu-se identificar o conhecimento preliminar dos alunos acerca da noção de continuidade, sendo que esta questão não foi corrigida. Ao todo, participaram no estudo cerca de 15 alunos, mas nem todos realizaram a totalidade das tarefas (os alunos repetentes tinham uma das aulas semanais parcialmente sobreposta, o que condicionou a assiduidade).

Nas aulas subsequentes o processo foi similar. O docente foi distribuindo tarefas, de dificuldade cres- cente, visando o estudo da continuidade de uma função, quer num ponto quer no seu domínio. Cada exercício foi primeiramente projetado no quadro, sem que fossem tecidas grandes considerações so- bre a sua resolução. Os alunos responderam em papel a essas questões, sendo que estas foram depois debatidas em aula (sendo alvo de correção após a fase de discussão), procurando-se assim contribuir para o processo de construção de conhecimento matemático, abstrato e avançado, por parte dos alunos. Após a realização de um conjunto de tarefas, os alunos responderam novamente à questão inicial, procurando-se aferir se estes conseguiram ou não abarcar os conhecimentos pretendidos e evoluir em relação ao seu conhecimento inicial. Só após esta fase a noção formal de continuidade foi debatida, e mais tarde escrita de acordo com a Definição 3.

Para o estudo dos limites, o processo decorreu de forma análoga à acima descrita. Após a formali- zação de acordo com a Definição 2, procurou-se ainda que os alunos conseguissem ligar de forma consistente os conceitos de vizinhança, continuidade e limite, de forma a discernir a ocorrência de uma construção efetiva de conhecimento sobre esta matéria.

Atendendo a que seria difícil, em aula, registar toda a discussão ocorrida aquando da resolução das tarefas propostas, estas foram gravadas (com as devidas autorizações e garantindo a utilização dos dados para fins académicos). Desta forma, foi possível recolher um manancial de informação quer em relação à componente escrita (respostas individuais às questões) quer em relação à componente oral (gravação vídeo da discussão dos problemas).

128 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2015 resuLtAdos preLiminAres

Atendendo à quantidade de material que foi obtido, ainda não foi possível processar toda a informa- ção obtida. Uma análise preliminar à produção dos alunos revelou um progresso de maior relevância entre os alunos que não tinham, à partida, conhecimento das noções de limite e de continuidade. Os alunos que conheciam as noções elencadas com base na abordagem ministrada no ensino secundário tiveram mais alguma dificuldade em aceitar a abordagem proposta neste estudo.

De um modo geral, pode-se afirmar que os alunos estiveram interessados e que se esforçaram para compreender os conceitos em análise. A partir das noções intuitivas de continuidade e de limite, a construção de conhecimento surgiu inicialmente através da compreensão gráfica dos concei- tos. A passagem para a resolução analítica dos problemas foi mais complicada, já que boa parte dos estudantes tem dificuldades básicas em trabalhar com a noção de função. Ainda assim, vários conseguiram intuir as condições necessárias para uma função ser contínua num ponto, e quais os pontos de descontinuidade de uma função, recorrendo à noção de vizinhança. Registe-se ainda que alguns estudantes conseguiram utilizar a vizinhança e a continuidade num ponto para construir o conceito de limite num ponto. Mais uma vez, com maior sucesso em problemas baseados em representações gráficas e menor sucesso em problemas baseados em representações analíticas. Ainda em relação à interligação dos conceitos em análise, os maiores obstáculos surgiram na aná- lise de situações “especiais”, ou seja, de funções que estão definidas em pontos isolados, ou que apesar de terem limite num ponto não se encontram definidas neste e por isso não são contínuas. Essencialmente, notou-se uma grande evolução entre as noções de continuidade e limite que os alunos referiram inicialmente, e as noções de continuidade e limite que os alunos indicaram após a resolução e correção das tarefas propostas.

É ainda de referir que boa parte dos estudantes conseguiu (embora sem utilizar os quantificadores matemáticos) escrever uma versão aproximada das definições 2 e 3. Mais uma vez, registe-se as dificuldades sentidas pelos alunos em recorrer ao formalismo e ao simbolismo característicos da Matemática, apesar de maioritariamente compreenderem os conceitos em estudo.

Em súmula, considera-se que com esta abordagem alternativa aos conceitos de limite e de continui- dade os alunos conseguiram compreender corretamente as noções em jogo, não obstante revelarem algumas dificuldades na formalização destes conceitos.

trAbALHo futuro

Durante o presente semestre letivo pretende-se analisar, detalhadamente, a produção individual dos alunos. As respostas escritas às tarefas propostas deverão ser catalogadas e divididas por grupos, de acordo com os seus tipos (por exemplo, vários alunos fizeram erros similares nos mesmos exercícios). Também importa transcrever as principais intervenções orais de forma a ser possível perceber de que modo foi construído o conhecimento dos alunos, e discernir quanto à evolução das noções destes sobre os conceitos de continuidade e limite.

Será ainda importante entrevistar alguns alunos (basicamente, um representante de cada “tipo” de raciocínio) de modo a compreender se efetivamente os alunos sedimentaram os conceitos abordados. Finalmente, pretende-se analisar cuidadosamente os resultados da avaliação (apesar de ser natural- mente complicado aferir quanto à eficácia do estudo neste campo, devido às diversas variáveis envol- vidas e suas correlações) procurando-se saber se houve ou não um incremento no sucesso académico.

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Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2015

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130 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2015

A aprendizagem da multiplicação

- um estudo de caso no 2.º ano de

escolaridade

Susana Margarida da Silva Oliveira

Agrupamento de escolas D. Afonso Henriques · Sumasiolsusana@gmail.com

Hugo Alexandre Lopes Menino

NIDE- Escola Superior de Educação e Ciências Sociais do Instituto Politécnico de Leiria hugo.menino@ipleiria.pt

resumo

No âmbito da didática da Matemática, e seguindo as tendências do paradigma de professor investigador, debruçámo-nos sobre a introdução da aprendizagem da multiplicação no 2.º ano de escolaridade. Neste artigo analisámos a interação e as estratégias usadas pelos alunos numa tarefa que teve como objetivo trabalhar a multiplicação para a construção da tabuada do 5 e o desenvolvimento do cálculo mental. Esta tarefa foi trabalhada através de uma metodologia de discussão coletiva (alunos e professora) e em que o material manipulativo utilizado foram as próprias mãos dos alunos e cartazes com figuras de mãos. Os resultados deste estudo indicam que os alunos compreenderam a construção da tabuada do 5 e desenvolveram raciocínios analíticos de alguma complexidade, estabelecendo relações numéricas assentes na compreensão das propriedades da multiplicação.

Palavras-chave: Multiplicação, estratégias, tabuada, cálculo mental.

AbstrAct

Under the teaching of mathematics, and following trends researcher teacher paradigm, we focused on the introduction of the multiplication in the 2nd grade. In this article we examined the interaction and the strategies used by students in a task that aimed to work the construction of multiplication table 5 and the development of mental calculation. This task was worked through a methodology of collective discussion (students and teacher) and the manipulative material used were the hands of students. The results of this study indicate that students understand the construction of the multiplication table 5 and developed analytical reasoning with some complexity, establishing numerical relations based on understanding of the multiplication properties.

Keywords: Multiplication, strategies, tables, mental calculation.

——————

introdução

A elaboração deste artigo tem por base o trabalho desenvolvido com um grupo de alunos de 2.º ano de escolaridade tentando compreender o processo de ensino/aprendizagem no estudo do tópico multiplicação. Foi aplicado um conjunto de tarefas que visaram o desenvolvimento do conceito da multiplicação nos sentidos aditivo e combinatório e a aplicação das propriedades da multiplicação. Em relação a esta operação, os investigadores Treffers e Buys (2001) e Fosnot e Dolk (2001), partem do principio de que as situações vivenciadas pelas crianças e às quais atribuem sentido, propiciam o desenvolvimento do conceito de multiplicação. De acordo com Serrazina (2002) as crianças quando chegam à escola já possuem muitos conhecimentos e a construção de novos conhecimentos deve ser feita sobre os que já possuem. Desta forma, será importante envolver os alunos em atividades significativas, planificadas com o objetivo de aprofundar e estabelecer conexões com os seus conhecimentos. Neste contexto, foi realizado um estudo com objetivo de construir e implementar tarefas que promovam a introdução da aprendizagem da multiplicação em alunos de 2.º ano de escolaridade de forma a descrever e analisar como lidam os alunos com problemas da vida real envolvendo os diferentes sentidos da multiplicação, que estratégias de cálculo mental são utilizadas pelos alunos na resolução de tarefas de multiplicação e como evoluem essas estratégias, bem como estes compreendem e constroem as tabuadas partindo de situações com contexto. Neste artigo será apresentado o desenvolvimento de uma das tarefas considerada significativa pelos investigadores.

131 Investigação, Práticas e Contextos em Educação 2015 A operAção muLtipLicAção

É vulgar considera-se que a aprendizagem da multiplicação depende essencialmente da memorização das tabuadas. Mas como refere Loureiro (1997), saber multiplicar e muito mais do que saber a tabuada. Segundo Ponte e Serrazina (2000), normalmente, o conceito da multiplicação é introduzido com experiências que incluem uma adição repetida de parcelas iguais. Estes autores defendem que “a multiplicação está relacionada com a adição, mas no raciocínio multiplicativo existem outros aspectos e relações que vão sendo trabalhados ao longo de toda a escolaridade” (p. 150).

A multiplicação vai surgindo de uma forma natural no percurso do desenvolvimento das crianças a partir de situações do quotidiano, onde elas vão dando sentido ao que vêem e fazem. São situações simples como embalar frutos ou ovos em caixas, comprar três objetos iguais a um determinado preço a unidade, determinar as várias formas de combinar roupas ou elaborar menus, que levam as crianças a pensar e a usar estratégias multiplicativas e, consequentemente, desenvolver o seu sentido de multiplicação.

Treffers e Buys (2001) e Fosnot e Dolk (2001) destacam dois aspetos fundamentais na abordagem didática ao estudo da multiplicação no âmbito do sentido de número, incluem a intencionalidade dos contextos que deverão potenciar a exploração de conteúdos matemáticos e a progressão da aprendizagem desta operação em níveis, não estanques. Estes investigadores partem do princípio que os alunos desenvolvem o conceito de multiplicação a partir de algumas situações do seu quotidiano às quais atribuem sentido. Nesse processo os alunos vão construindo o conceito de multiplicação, interiorizando diferentes formas de multiplicar e as suas relações. É possível identificar três sentidos no desenvolvimento do sentido da multiplicação: aditivo, proporcional e combinatório (Treffers e Buys ,2001 e Fosnot e Dolk, 2001). Os mesmos autores defendem, também, que o desenvolvimento da multiplicação não deve ser organizado com base em níveis rígidos de aprendizagem. De acordo com Treffers e Buys (2001) a progressão de níveis de cálculo na multiplicação faz-se de acordo com três níveis de aprendizagem: cálculo por contagem, cálculo estruturado e cálculo formal. A transição do primeiro para o segundo nível, de acordo com Treffers & Buys (2001) e Fosnot e Dolk (2001) é estimulada pela exploração de contextos de disposição retangular, que, simultaneamente, favorecem a descoberta das propriedades desta operação. A transição da multiplicação por estruturação para a multiplicação formal é auxiliada pela crescente capacidade dos alunos de raciocinar em termos de relações numéricas e das propriedades das operações. A principal diferença entre o cálculo estruturado e o cálculo formal é a ausência de modelos de apoio ao cálculo.

A construção das tabuadas da multiplicação surge no Programa de Matemática do Ensino Básico (ME, 2007) associada à ideia de que a partir das tabuadas já trabalhadas se podem chegar a novos produtos da tabuada a estudar, recorrendo às propriedades da operação multiplicação e a relações numéricas.

Treffers e Buys (2001) destacam três fases para a aprendizagem das tabuadas: a construção do conceito, o cálculo inteligente e flexível e a memorização completa das tabuadas mais importantes. É estabelecido um paralelismo entre estas fases e as da aprendizagem da multiplicação, ou seja é feito um percurso gradual até ao cálculo formal. Não se deve menosprezar a importância da memorização da tabuada mas é importante que seja feita de forma gradual e não sem que a multiplicação e a construção das tabuadas tenham sido compreendidas.

A multiplicação, tal como as operações da adição e subtração, é uma operação em que se pode trabalhar o cálculo mental através das relações numéricas e o uso das suas propriedades. Para o desenvolvimento do cálculo mental Fosnot e Dolk (2001) sugerem a exploração de tarefas que permitam desenvolver um reportório de estratégias de cálculo baseadas numa compreensão profunda das relações numéricas e das operações. As tabuadas da multiplicação constituem também um contexto rico para o desenvolvimento de estratégias de cálculo mental do produto de dois números, (Delgado, 2009).

metodoLogiA

A escolha da metodologia seguida durante a investigação esteve muito relacionada com o objetivo do estudo. Assim, seguiu-se uma abordagem qualitativa de natureza interpretativa, tendo-se colocado a ênfase nos processos utilizados e não nos resultados obtidos (Bogdan e Biklen, 1994; Carmo e Ferreira, 1998; Coutinho, 2011), na medida em que se pretendeu observar, descrever e interpretar os