2.3 Curvas de magnetiza¸c˜ao
2.3.1 Curvas de Magnetiza¸c˜ao da Anisotropia Uniaxial
Para simula¸c˜ao ´e necess´ario escrever a densidade de energia livre magn´etica que descreve o sistema. A densidade de energia Zeeman sempre se faz presente, pois ela simplesmente mostra a intera¸c˜ao da magnetiza¸c˜ao com o campo. Como se quer observa o comportamento da anisotropia uniaxial, deve se usar a express˜ao que define a densidade da energia de anisotropia uniaxial
euniani = K sin2θ. (2.4)
Aqui ser´a considerado um filme nanom´etrico localizado no plano x−z, se o campo magn´etico externo for aplicado no plano do filme a contribui¸c˜ao da energia de anisotropia de forma faz com que a magnetiza¸c˜ao permane¸ca no plano do filme, ou seja, s´o se faz necess´ario analisar o ˆangulo θ da magnetiza¸c˜ao, pois se o campo magn´etico est´a sobre o plano x − z, ent˜ao φH = 0 e consequentemente φ = 0. Com isso, ao inv´es de se adicionar a densidade energia
de anisotropia de forma na densidade de energia total, a densidade de energia Zeemann ser´a escrita na seguinte forma
ez = −MsH cos(θ − θH). (2.5)
Pela rela¸c˜ao fundamental da trigonometria tem-se que sin2θ = 1 − cos2θ, ent˜ao podemos
escrever a densidade de energia da anisotropia uniaxial na seguinte forma
euniani = K − K cos2θ, (2.6)
Como o interesse principal ´e nos m´ınimos da densidade de energia e na diferen¸ca dela, ent˜ao o termo K ´e irrelevante na constru¸c˜ao da curva de magnetiza¸c˜ao, com isso a energia de anisotropia uniaxial pode ser escrita na seguinte forma
euni
ani = −K cos
2θ, (2.7)
sendo K considerado positivo θ representa o ˆangulo entre o eixo f´acil e a magnetiza¸c˜ao. Com isso a densidade de energia livre magn´etica ´e escrita na seguinte forma
usando a express˜ao que define o campo de anisotropia dada pela Equa¸c˜ao (2.1), a densi- dade de energia se torna
eT = −MSH cos(θ − θH) −
MSHaniuni
2 cos
2θ, (2.9)
dividindo ambos os lados da equa¸c˜ao pela magnetiza¸c˜ao de satura¸c˜ao MS, tem-se
et MS = −H cos(θ − θ H) − Huni ani 2 cos 2θ. (2.10)
Agora, para encontrar os m´ınimos de energia, primeiramente como j´a foi visto na Equa¸c˜ao 2.2, deve-se igualar a derivada primeira `a zero e com isso tem-se a primeira condi¸c˜ao dada por
[H sin(θ − θH) + Haniunicos θ sin θ] = 0, (2.11)
e a segunda condi¸c˜ao ´e dado pela derivada segunda ser maior que zero, o que d´a
[H cos(θ − θH) + Haniunicos(2θ)] > 0. (2.12)
A solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao (2.11) mais a condi¸c˜ao da inequa¸c˜ao (2.12) geram os m´ınimos da energia para construir a curva de magnetiza¸c˜ao.
Como j´a foi mencionado no presente trabalho, a energia de anisotropia magnetocristalina provoca uma preferˆencia por certos eixos, ou seja, a forma da curva de magnetiza¸c˜ao depende de qual dire¸c˜ao se aplica o campo magn´etico. A dire¸c˜ao do campo ´e dada atrav´es do ˆangulo θH. Ent˜ao, aqui ser˜ao simuladas v´arias curvas de magnetiza¸c˜ao para v´arios valores deste
ˆangulo. Experimentalmente ´e muito comum medir a magnetiza¸c˜ao na dire¸c˜ao paralela ao eixo de anisotropia e perpendicular, ou seja, no eixo f´acil e no eixo duro, estes s˜ao os casos de θH = 0◦ e θH = 90◦ respectivamente. Mas al´em destas duas dire¸c˜oes foram computadas
na simula¸c˜ao dire¸c˜oes arbitr´arias tais como θH = 45◦ e θH = 60◦ e foi variado o campo de
−Hmax at´e Hmax para cada dire¸c˜ao. A Figura 2.6 mostra as curvas de magnetiza¸c˜ao para
este tipo de anisotropia obtidas atrav´es do programa criado neste trabalho com um campo de anisotropia Huni
Figura 2.6: Curvas de magnetiza¸c˜ao de um material que possui uma anisotropia magneto- cristalina uniaxial para os valores de θH = 0◦, θH = 45◦, θH = 60◦ e θH = 90◦.
Como pode-se ver na figura acima todas as curvas apresentam um comportamento distinto, ou seja, a curva de magnetiza¸c˜ao muda a medida que a dire¸c˜ao de aplica¸c˜ao do campo ´e mudada. Observe que as curvas mais not´aveis s˜ao θH = 0◦ e θH = 90◦. A primeira tem
a forma de uma fun¸c˜ao degrau, cujo eixo de descontinuidade acontece quando o valor do campo ´e nulo. Isto quer dizer que a magnetiza¸c˜ao est´a saturada e que o campo vai mudando o seu sentido, a magnetiza¸c˜ao rapidamente satura no atual sentido do campo, ou seja, a magnetiza¸c˜ao saturou facilmente. Sendo assim, este ´e um eixo f´acil. J´a a outra curva tem a forma de uma reta, pode-se ver facilmente que esta curva mostra o processo em que a magnetiza¸c˜ao tem maior dificuldade para saturar, ou seja, esta corresponde a um eixo duro. Os eixos intermedi´arios como pode ser visto est˜ao numa situa¸c˜ao intermedi´aria aos eixos f´acil e duro, pois estes nem apresentam tanta dificuldade para saturar quanto o eixo duro e nem saturam facilmente como o eixo f´acil. Outro tipo de gr´afico constru´ıdo com o este programa foi variar o valor do campo de anisotropia uniaxial e ver sua influˆencia na curva de magnetiza¸c˜ao.
Figura 2.7: Curvas de magnetiza¸c˜ao da anisotropia magnetocristalina uniaxial variando o campo de anisotropia para os ˆangulos a) θH = 90◦ e b) θH = 0◦.
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E f´acil de ser notado que para diferentes valores do campo de anisotropia a curva de magnetiza¸c˜ao mudou para θH = 90◦. Por exemplo, o campo magn´etico de satura¸c˜ao possui
uma certa dependˆencia com o campo de anisotropia do material, de forma que `a medida que o campo de anisotropia cresce o campo de satura¸c˜ao cresce junto, isto acontece para todos os valores de ˆangulo, mas como pode se ver, menos para θ = 0◦, pois neste modelo a
magnetiza¸c˜ao satura rapidamente para qualquer mudan¸ca no valor do campo em torno da origem. Na Figura 2.8 mostra-se o comportamento da magnetiza¸c˜ao remanente com rela¸c˜ao ao ˆangulo planar.
Figura 2.8: Comportamento da magnetiza¸c˜ao remanente com rela¸c˜ao ao ˆangulo de aplica¸c˜ao do campo magn´etico para a anisotropia uniaxial.