Existem v´arios m´etodos anal´ıticos e num´ericos para o c´alculo das curvas de magnetiza¸c˜ao. A maioria consiste no c´alculo do estado de equil´ıbrio do sistema e se baseiam na teoria de campo m´edio, ou seja, a primeira aproxima¸c˜ao que se pode fazer ´e substituir todas as flutua¸c˜oes existentes no sistema pelo valor m´edio. No geral, est´a formula¸c˜ao apresenta uma solu¸c˜ao, pelo menos, em princ´ıpio [22]. A Figura 2.3 d´a uma ideia da teoria de campo m´edio. A aplica¸c˜ao da teoria de campo m´edio, num sistema ferromagn´etico, consiste em substi- tuir as flutua¸c˜oes de todos os dom´ınios magn´eticos pelo seu valor m´edio, ou seja, os c´alculos s˜ao feitos em cima do vetor magnetiza¸c˜ao ~M que engloba a contribui¸c˜ao de todos estes dom´ınios. H´a outras formas de se calcular a curva de magnetiza¸c˜ao sem ser pela teoria de campo m´edio. Por exemplo, ao inv´es de fazer uma m´edia, pode-se calcular o comportamento de todos os dom´ınios, este tipo de m´etodo ´e conhecido como simula¸c˜ao micromagn´etica e ela parte da equa¸c˜ao de Landau-Lifshitz, que explica a dinˆamica da magnetiza¸c˜ao. Um soft- ware livre que trabalha com este tipo de simula¸c˜ao ´e o The Object Oriented MicroMagnetic Framework(oommf) [23]
Figura 2.3: Esquema do conceito da teoria de campo m´edio,: a Figura a) ´e um sistema com N part´ıculas e a Figura b) represemta a troca da intera¸c˜ao de todas as part´ıculas pelo potencial m´edio representado por um ´unica part´ıcula [22].
No presente trabalho foi usado a ideia da teoria de campo m´edio, ou seja, toda a simula¸c˜ao ´e feita como se o material tivesse um vetor ~M , que representa a sua magnetiza¸c˜ao ou um ´
unico dom´ınio(monodom´ınio). A energia a ser minimizada consiste de dois termos: a energia Zeeman e a energia de anisotropia magnetocristalina. Isto para se poder analisar a influˆencia dos trˆes tipos de anisotropia de interesse deste trabalho: uniaxial, (100) e (110); na forma da curva de histerese. As equa¸c˜oes que representam as energias descritas acima j´a foram mostradas no cap´ıtulo anterior. No caso da anisotropia magnetocristalina foi visto que a express˜ao era dada em termos da constante de anisotropia K. Aqui se faz ´util acrescentar o conceito de campo de anisotropia para simplificar a equa¸c˜ao de energia. Desta forma, ´e feita a seguinte substitui¸c˜ao
Hani =
2K Ms
(2.1) onde Hani ´e o campo de anisotropia.
No estado de equil´ıbrio, a magnetiza¸c˜ao se orienta num dado ˆangulo que minimiza a ener- gia, ou seja, o programa em si procura o ˆangulo θ que faz com que a energia do sistema seja m´ınima para um dado valor de campo informado, e se mede a componente da magnetiza¸c˜ao na dire¸c˜ao do campo. No fim, o problema consiste em encontrar um m´etodo num´erico que calcule a minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao densidade de energia e(θ). Para isso, observe o gr´afico 2.4 que mostra o comportamento da densidade de energia em fun¸c˜ao do ˆangulo (em graus) para um valor espec´ıfico de campo.
Figura 2.4: Gr´afico da densidade de energia em fun¸c˜ao do ˆangulo para um valor de campo magn´etico aplicado.
Observe que no gr´afico 2.4 n˜ao h´a um ´unico m´ınimo de energia. Na verdade, h´a m´ınimos locais e m´ınimos globais. Este tipo de situa¸c˜ao acontece para outros valores de campo. Sendo assim, se o objetivo ´e obter o m´ınimo de energia, qual o m´ınimo que deve ser computado? Imagine que a magnetiza¸c˜ao est´a saturada, ou seja, na mesma dire¸c˜ao do campo aplicado e sem aumentar seu valor, quando o campo tem seu valor diminu´ıdo gradualmente `a forma da fun¸c˜ao densidade de energia muda. Ent˜ao, quando o campo est´a num valor pouco abaixo do anterior, a magnetiza¸c˜ao ir´a sair da posi¸c˜ao angular de satura¸c˜ao e come¸car a rotacionar. Se neste novo valor de campo existe um m´ınimo de energia pr´oximo ao m´ınimo anterior e outros m´ınimos mais distantes, para o sistema ´e mais f´acil passar para o m´ınimo mais pr´oximo, ou seja, devem-se procurar m´ınimos de energia que se encontram pr´oximos a posi¸c˜ao anterior da magnetiza¸c˜ao. A Figura 2.5 ´e uma esquematiza¸c˜ao que representa essa ideia [24].
Figura 2.5: Esquema para descrever o comportamento da evolu¸c˜ao do m´ınimo de energia para alguns valores de campo (a-g) e a curva de histerese com os pontos de cada m´ınimo representada em (h)
O c´alculo dos m´ınimos da fun¸c˜ao densidade de energia e(θ) analiticamente ´e expressado da seguinte forma:
de
dθ = 0 (2.2)
Isto indica os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao que podem ser m´aximos, pontos de cela ou m´ınimos. O que identifica um ponto cr´ıtico como um m´ınimo, caso a fun¸c˜ao seja anal´ıtica, ´e o fato de
d2e
dθ2 > 0. (2.3)
Estas duas condi¸c˜oes geram uma tabela de poss´ıveis m´ınimos de energia. O m´ınimo correto pode ser encontrado da seguinte forma: onde est´a localizada a magnetiza¸c˜ao no instante inicial? Caso o campo inicie em um valor que satura a amostra, ent˜ao o primeiro m´ınimo ´e o ˆangulo do campo magn´etico. Os pr´oximos m´ınimos devem ser procurados pr´oximos desse m´ınimo inicial.
Neste trabalho foi usado o software Mathematica com o principal uso da fun¸c˜ao Find- Minimum que procura m´ınimos locais. Para iniciar o programa ´e colocado como m´ınimo inicial o ˆangulo do campo magn´etico e ´e colocada uma condi¸c˜ao para procurar o m´ınimo posterior pr´oximo de onde est´a o m´ınimo inicial. Quando este m´ınimo for encontrado, uma imposi¸c˜ao ´e colocada para que o m´ınimo inicial seja substitu´ıdo pelo atual m´ınimo, para que no pr´oximo passo, o outro m´ınimo seja calculado pr´oximo do m´ınimo anterior e assim sucessivamente, ou seja, a rotina no programa fica na seguinte forma
minimo = thetah Do[
min = FindMinimum[erg, thetaM, minimo]; minimo = thetaM /. Last[min];
mag = Cos[thetah - minimo]; list = H, mag;
Save[”neto.dat”, list]; , {H, −1, 1, 0.005}];
A primeira linha indica o m´ınimo inicial, a segunda est´a o indicador do la¸co, na terceira ´e feita o c´alculo do m´ınimo, na quarta linha ´e onde a vari´avel “minimo” ´e substitu´ıda pelo novo m´ınimo para o c´alculo do pr´oximo e a quinta linha est´a o c´alculo da componente da magnetiza¸c˜ao paralela ao campo. As outras linhas simplesmente indicam onde os dados est˜ao sendo salvos para constru¸c˜ao da curva de magnetiza¸c˜ao. A ´ultima linha ´e onde est´a o intervalo de valores e o passo que o campo ir´a variar.
O pr´oximo passo ser´a usar este m´etodo para calcular as curvas de magnetiza¸c˜ao, ainda na pr´oxima se¸c˜ao, para uma anisotropia uniaxial e a anisotropia c´ubica (100). E no pr´oximo
cap´ıtulo ser´a usado para analisar o objetivo principal deste trabalho, que ´e comparar dois tipos de anisotropias distintas para explicar o mesmo resultado experimental.