Delta Hedge Neutro

• Calls: ∆ =

ə

ə

ə

ə

Considerando os dados dos exercícios anteriores, e supondo que o investidor tenha comprado 500 mil ações VALE5 e queira se proteger contra uma queda do ativo, monte uma estratégia Delta Hedge neutro, utilizando:

i) Opções de compra;

ii) Opções de venda

Apure o resultado financeiro se o preço da VALE5 cair para R$ 53,20 no mesmo dia, assumindo que os juros futuros não tenham mudado. Observe que, por se tratar de variação intraday, a volatilidade histórica de 21 dias úteis não se altera.

RESPOSTA:

i) Opções de compra: se o preço do ativo cair, o prêmio também cairá. Então, o investidor deve ficar vendido em Q / ∆ = Q / N (d1), onde Q representa a quantidade do ativo.

• Compra de 500.000 ações VALE5 a R$ 53,75

• Venda de 500.000 / 0,5406 = 924.898 opções VALE k54

Assumindo que apenas o preço da ação (S) mudou, calcularemos o novo prêmio da opção VALE k54: d1 = ln (S/E) + [ r + (σ2 / 2)] * t σ * t 1/2 d1 = ln (53,20 / 54,00) + [0,104213 + (0,4744147 2 / 2)] * 0,087302 = 0,0285 0,4744147 * 0,087302 1/2 d2 = d1 - σ * t 1/2 = 0,0285 - 0,4744147 * 0,087302 1/2 = (0,1117) Então: N (d1) = N (0,0285) = 0,50 + Z (0,0285) = 0,5114 N (d2) = N (-0,1117) = 0,50 - Z (0,1117) = 0,4555

OBS.: Pela tabela, Z (0,02) = 0,0080 e Z (0,03) = 0,0120. Para obter Z (0,0285), fizemos a seguinte aproximação: Z (0,0285) = Z(0,02) + 0,85 * [(Z(0,03) – Z(0,02)] = 0,0080 + 0,85 * (0,0120 – 0,0080) = 0,0114.

Pela tabela, Z (0,11) = 0,0438 e Z (0,12) = 0,0478. Para obter Z (0,1117), fizemos a seguinte aproximação: Z (0,1117) = Z(0,11) + 0,17 * [(Z(0,12) – Z(0,11)] = 0,0438 + 0,17* (0,0478– 0,0438) = 0,0445.

A partir daí, obtém-se o novo prêmio da opção de compra VALE k54: c = S * N (d1) – E * e –rt * N (d2)

c = 53,20 * 0,5114 – 54,00 * 2,718282 -0,104213 * 0,087302 * 0,4555 = R$ 2,83

Resultado Final:

• Perda com VALE5 = (53,20 – 53,75) * 500.000 = R$ (275.000,00) • Ganho com VALE k54 = (3,12 – 2,83) * 924.898 = R$ 268.220,42 -

TOTAL: R$ (6.779,58)

Teoricamente, o delta mede a variação marginal do preço da opção, dada uma pequena variação (ou variação infinitesimal, pelo conceito de derivada) no preço do ativo. Desta forma, para variações muito grandes do preço da ação, o hedge perde sua eficácia. Assim, para uma estratégia eficiente, deve-se monitorar e recalcular o delta constantemente ao longo do dia.

Outra estratégia seria utilizar o gamma, que é a derivada do delta da opção em relação ao preço do ativo, medindo a sensibilidade da curva em relação a variações bruscas no preço da ação. Quanto maior o gamma, maior será o erro potencial do

hedge. Assim, para gammas muito elevados, poder-se-ia comprar (ou vender) uma

maior quantidade de opções, talvez proporcionalmente ao valor do gamma. A fórmula do gamma (Γ) é a seguinte:

Γ = N’ (d1) / (S * σ * t1/2)

ii) Opções de venda: se o preço do ativo cair, o prêmio subirá. Então, o investidor deve ficar comprado em Q / │∆│= Q / N (-d1), onde Q representa a quantidade do

ativo.

• Compra de 500.000 ações VALE5 a R$ 53,75

• Compra de 500.000 / 0,4594 = 1.088.376 opções VALE w54

Assumindo que apenas o preço da ação (S) mudou, calcularemos o novo prêmio da opção VALE w54:

Pela fórmula, será necessário calcular, agora, N (-d1) e N (-d2):

N (-d1) = N (-0,0285) = 0,50 - Z (0,0285) = 0,4886

A partir daí, obtém-se o novo prêmio da opção de venda VALE w54: p = E * e –rt * N (-d2) - S * N (-d1)

p = 54,00 * 2,718282 -0,104213 * 0,087302 * 0,5445 – 53,20 * 0,4886 = R$ 3,14

Resultado Final:

• Perda com VALE5 = (53,20 – 53,75) * 500.000 = R$ (275.000,00) • Ganho com VALE w54 = (3,14 – 2,88) * 1.088.376 = R$ 282.977,76 -

TOTAL: R$ 7.977,76

Da mesma maneira que no hedge com opções de compra, aquele com opções de venda também não se mostrou totalmente perfeito. Contudo, neste último caso, o investidor obteve um pequeno ganho, ao contrário do primeiro. Observe que, nas opções de venda, o delta era um pouco menor, o que contribuiu para o resultado, ao elevar o volume de compra de puts, dado que o diferencial de prêmios foi parecido. 4) Arbitragem de Opções com Ibovespa Futuro

Em vez de fazer operações de arbitragem com ações e Índice Futuro, as mesmas operações podem ser feitas com opções. A vantagem é a economia de custos — e, por conseguinte, um lucro proporcionalmente maior —, já que comprar opções custa bem mais barato do que comprar ações, sem contar que as taxas de corretagem também são, conseqüentemente, menores.

Suponha o mesmo exemplo inicial, onde a ação VALE5 está cotada a R$ 53,75 e os DIs futuros possuem as mesmas taxas. A data inicial é 16/10/2007. Faltam 22 dias úteis para o vencimento de opções, em 19/11/2007, e 20 dias úteis para o vencimento do Índice Futuro Nov 07, em 14/11/2007. O beta histórico da VALE5, considerando um período de 5 anos, é de 1,44.

OBS.: Na BM&F, os índices futuros de maior liquidez referem-se aos meses de Fev, Abr, Jun, Ago, Out e Dez. Neste exemplo, usamos o mês de novembro para haver o casamento entre opções e índice.

Considere as seguintes condições de mercado em 16/10/2007: • Prêmio para a opção VALE k54 à R$ 3,00;

• Ibovespa à 62.451,1 pontos

Qual seria a possibilidade de arbitragem do investidor? Admitindo que no dia seguinte o Índice Futuro e as opções convirjam para os seus preços justos, apure qual será o resultado financeiro da operação. O valor inicial aplicado é de R$ 6.000.000,00. Considere, para o dia seguinte, a mesma volatilidade histórica e que os DIs Fut Nov 07 e Dez 07 tenham subido 3 b.p. cada, além dos seguintes dados:

17/10/2007

• Ibovespa à 62.505,5 pontos; • VALE5 à R$ 53,88.

RESPOSTA:

No exercício, sabe-se que, na data inicial, o DI futuro para 01/11/2007 (12 d.u.) é de 11,02 e para 03/12/2007 (32 d.u.) é de 10,97. Daí:

• Fator de DI Futuro para 12 d.u. = (1,1102) 12/252 = 1,004991 (A) • Fator de DI Futuro para 32 d.u. = (1,1097) 32/252 = 1,013305 (B) Fator de DI Futuro entre 12 e 32 d.u. (20 d.u.) = B / A = 1,008274 Fator de DI Futuro entre 12 e 20 d.u. (8 d.u.) = 1,008274 8/20 = 1,003301

à Fator de DI Fut para 14/11/2007 (20 d.u.) = 1,004991 * 1,003301 = 1,008308 à Ind Fut Nov 07 (preço justo) = 62.451,1 * 1,008308 = 62.970

• Como o índice futuro vale 63.100, ele está caro à investidor deve vender; • Prêmio de VALE k54 = 3,00 < prêmio justo (3,12) à prêmio está barato,

então investidor deve comprar.

A operação será estruturada da seguinte forma:

• Investidor compra 6.000.000 / 3,00 = 2.000.000 de opções VALE k54

• Investidor vende 2.000.000 (número de ações) * 53,75 (preço spot) * 0,5406 [∆ ou N(d1)] * 1,44 (beta da VALE5) / 63.100 (valor do índice) = 1.326

contratos de Ind Fut Nov 07

Resumo da operação em 16/10/2007:

• Compra de 2.000.000 de opções VALE k54 a R$ 3,00

No dia seguinte, o investidor se desfaz da posição com os preços adiante, referentes aos valores justos para a opção VALE k54 e o Ind Fut Nov 07:

17/10/2007: 19 dias úteis para o vencimento do índice

DI futuro para 01/11/2007 (11 d.u.) é de 11,05 e para 03/12/2007 (31 d.u.) é de 11,00 — taxas subiram 3 b.p.. Daí:

• Fator de DI Futuro para 11 d.u. = (1,1105) 11/252 = 1,004586 (A) • Fator de DI Futuro para 31 d.u. = (1,1100) 31/252 = 1,012921 (B) Fator de DI Futuro entre 11 e 31 d.u. (20 d.u.) = B / A = 1,008297 Fator de DI Futuro entre 11 e 19 d.u. (8 d.u.) = 1,008297 8/20 = 1,003311

à Fator de DI Fut para 14/11/2007 (19 d.u.) = 1,004586 * 1,003311 = 1,007911 à Ind Fut Nov 07 (preço justo) = 62.505,5 * 1,007911 = 63.000

Opções VALE k54:

• Dias úteis para o vencimento: 21 • σ anual = 0,4744147

A taxa de juros anual será de:

• Fator de DI Futuro para 11 d.u. = (1,1105) 11/252 = 1,004586 (A) • Fator de DI Futuro para 31 d.u. = (1,1100) 31/252 = 1,012921 (B) Fator de DI Futuro entre 11 e 31 d.u. (20 d.u.) = B / A = 1,008297

Fator de DI Futuro entre 11 e 21 d.u. (10 d.u.) = 1,008297 10/20 = 1,004140 à Fator de DI Fut para 19/11/2007 (21 d.u.) = 1,004586 * 1,004140 = 1,008745 à Fator anual para 19/11/2007 = (1,008745) 252/21 = 1,110131

Então: r = ln (1,110131) = 0,104478

t anual= 21 / 252 = 0,083333

d1 = ln (S/E) + [ r + (σ2 / 2)] * t σ * t 1/2

d1 = ln (53,88 / 54,00) + [0,104478 + (0,4744147 2 / 2)] * 0,083333 = 0,1298 0,4744147 * 0,083333 1/2

d2 = d1 - σ * t 1/2 = 0,1298 - 0,4744147 * 0,083333 1/2 = (0,0071)

Então: N (d1) = N (0,1298) = 0,50 + Z (0,1298) = 0,5516

N (d2) = N (-0,0071) = 0,50 - Z (0,0071) = 0,4972

OBS.: Pela tabela, Z (0,12) = 0,0478 e Z (0,13) = 0,0517. Para obter Z (0,1298), fizemos a seguinte aproximação: Z (0,1298) = Z(0,12) + 0,98 * [(Z(0,13) – Z(0,12)] = 0,0478 + 0,98 * (0,0517 – 0,0478) = 0,0516.

Pela tabela, Z (0,00) = 0,0000 e Z (0,01) = 0,0040. Para obter Z (0,0071), fizemos a seguinte aproximação: Z (0,0071) = Z(0,00) + 0,71 * [(Z(0,01) – Z(0,00)] = 0,0000 + 0,71 * (0,0040 – 0,0000) = 0,0028

A partir daí, obtém-se o novo prêmio da opção de compra VALE k54: c = S * N (d1) – E * e –rt * N (d2)

c = 53,88 * 0,5516 – 54,00 * 2,718282 -0,104478 * 0,083333 * 0,4972 = R$ 3,10 Fechamento da posição em 17/10/2007:

• Venda de 2.000.000 de opções VALE k54 a R$ 3,10

• Compra de 1.326 contratos de Ind Fut Nov 07 a 63.000 pontos

Resultado financeiro:

• Opções: 2.000.000 * (3,10 – 3,00) = R$ 200.000,00 • Ind Futuro: 1.326 * (63100 – 63.000) = R$ 132.600,00

Ganho Total: R$ 332.600,00

Note que a operação de arbitragem possibilitou ao investidor ganhar nas duas pontas (opções e índice futuro). O índice futuro caiu, convergindo para seu valor teórico, ao passo que o preço da opção subiu, também convergindo para seu valor justo.

Observe que o investidor, ao comprar opções, só precisou desembolsar R$ 6.000.000,00. Se comprasse diretamente ações, seu desembolso seria de 2.000.000 * 53,75 * 0,5406 (delta) = R$ 58.114.500,00 — quase 10 vezes superior.