Uma projeção do grafo de Higman-Sims dentro da malha de Leech.
O grafo de Higman-Sims ocorre naturalmente no interior da malha de Leech: se X, Y e Z são três pontos na malha de Leech tais que as distâncias XY, XZ e YZ são 2, 3, 3 respectivamente, então há exatamente 100 pontos da malha de Leech T de tal forma que todas as distâncias XT, YT e ZT são iguais a 2, e se ligarmos dois pontos, tais T e T′ quando a distância entre eles é 2, O grafo resultante é isomorfo ao grafo de Higman-Sims. Além disso, o conjunto de todos os automorfismos da malha de Leech (Isto é, congruências euclidiana fixando-a) que fixam cada um dos X, Y e Z é o grupo de Higman–Sims (Se nós permitirmos trocar X e Y, a extensão de ordem 2 de todos os automorfismos de grafos é obtida). Isso mostra que o grupo Higman-Sims ocorre dentro do grupo de Conway Co2 (com sua extensão de ordem 2) e Co3, e, conseqüentemente, também Co1.[6]
[1] [1] .
Grafo de Hoffman-Singleton 132
Grafo de Hoffman-Singleton
Grafo de
Hoffman–Singleton
Nomeado em honra a Alan J. Hoffman Robert R. Singleton vértices 50 arestas 175 Raio 2 Diâmetro 2[] Cintura 5[] Automorfismos 252000 (PGL(3,52):2)[1] Número cromático 4 Índice cromático 7[2] Propriedades Simétrico Grafo de Moore Hamiltoniano Integral Gaiola Fortemente regularO grafo de Hoffman-Singleton. O subgrafo das arestas azuis é a soma dos dez pentágonos disjuntos.
No campo da matemática da teoria dos grafos, o Grafo de Hoffman–Singleton é um grafo 7-regular não direcionado com 50 vértices e 175 arestas. É o único grafo fortemente regular com parâmetros (50,7,0,1).[3] Foi construído por Alan Hoffman e Robert Singleton ao tentar classificar todos os grafos de Moore, e é a mais alta ordem de grafo de Moore esistente conhecida até o momento.[4] Como é um grafo de Moore onde cada vértice tem grau 7, e sua cintura é 5, ele é um (7,5)-gaiola.
Grafo de Hoffman-Singleton 133
Construção
Uma construção simples, direta é como se segue: Tome cinco pentágonos Ph e cinco pentagramas Qi, de forma que o vértice j de Ph seja adjacente aos vértices j-1,j+1 de Ph e o vértice j de Qi seja adjacente aos vértices j-2,j+2 de Qi. Agora conecte o vértice j de Ph ao vértice hi+j de Qi. (Todos os índices mod 5.)
Propriedades algébricas
O grupo de automorfismo do grafo de Hoffman-Singleton é um grupo de ordem 252000 isomórfico a PΣU(3,52). Ele age transitivamente sobre os vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. Portanto, o grafo de Biggs–Smith é im grafo simétrico.
O polinômio característico do grafo de Hoffman-Singleton é igual a . Portanto o grafo de Hoffman-Singleton é um grafo integral: seu espectro de grafo consiste inteiramente de inteiros.
[1]
[1] Hafner, P. R. "The Hoffman-Singleton Graph and Its Automorphisms." J. Algebraic Combin. 18, 7-12, 2003.
[2] Royle, G. "Re: What is the Edge Chromatic Number of Hoffman-Singleton?" GRAPHNET@istserv.nodak.edu posting. 28 de Setembro de 2004. (http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0409&L=graphnet&F=&S=&P=4981.)
[3] [3] . [4] [4] .
Grafo de Holt
Grafo de Holt
No grafo de Holt, todos os vértices são equilvalentes, e todas as arestas são equivalentes, mas as arestas não são necessáriamente equivalentes as suas inversas.
Nomeado em honra a Derek F. Holt
vértices 27 arestas 54 Raio 3 Diâmetro 3 Cintura 5 Automorfismos 54 Número cromático 3 Índice cromático 5
Grafo de Holt 134 Propriedades Vértice-transitivo Aresta-transitivo Meio-transitivo grafo de Cayley Hamiltoniano Euleriano
No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Holt ou grafo de Doyle é o menor grafo meio-transitivo, ou seja, o menor exemplo de grafo vértice-transitivo e aresta-transitivo que não é também simétrico.[1][2] Esses grafos não são comuns.[3] É nomeado em honra a Peter G. Doyle e Derek F. Holt, que descobriram o mesmo grafo de forma independente em 1976[4] e 1981[5] respectivamente.
O grafo de Holt tem um diâmetro de 3, raio 3, cintura 5, número cromático 3, índice cromático 5 e é hamiltoniano com 98472 ciclos distintos hamiltonianos.[] é também um grafo 4-vértice-conectado e 4-aresta-conectado.
Ele tem um grupo de automorfismo da ordem de 54 automorfismos.[] Este é um grupo menor que um grafo simétrico com o mesmo número de vértices e arestas teria. O desenho do grafo à direita destaca isto, na medida em que carece de simetria reflexiva.
O polinômio característico do grafo de Holt é:
Galeria
O número cromático do grafo de Holt é 3. O índice cromático do grafo de Holt é 5. O grafo de Holt é Hamiltoniano. [1] Doyle, P. "A 27-Vertex Graph That Is Vertex-Transitive and Edge-Transitive But Not L-Transitive." October 1998. (http://arxiv.org/abs/
math/0703861/) [2]
[2] .
[3] Jonathan L. Gross, Jay Yellen, Handbook of Graph Theory, CRC Press, 2004, ISBN 1584880902, p. 491. [4]
[4] . Como citado pela MathWorld. [5]
Grafo de Ljubljana 135
Grafo de Ljubljana
Grafo de
Ljubljana
O grafo de Ljubljana vértices 112 arestas 168 Raio 7 Diâmetro 8 Cintura 10 Automorfismos 168 Número cromático 2 Índice cromático 3 Propriedades Cúbico Hamiltoniano Semi-simétricoNo campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Ljubljana é um grafo não direcionado bipartido com 112 vértices e 168 arestas.
É um grafo cúbico com diâmetro 8, raio 7, número cromático 2 e índice cromático 3. Sua cintura é 10 e há exatamente 168 ciclos de comprimento 10 nele. Há também 168 ciclos de comprimento 12.[1]
Construção
O grafo de Ljubljana é Hamiltoniano e pode ser construído a partir da notação LCF : [47, -23, -31, 39, 25, -21, -31, -41, 25, 15, 29, -41, -19, 15, -49, 33, 39, -35, -21, 17, -33, 49, 41, 31, -15, -29, 41, 31, -15, -25, 21, 31, -51, -25, 23, 9, -17, 51, 35, -29, 21, -51, -39, 33, -9, -51, 51, -47, -33, 19, 51, -21, 29, 21, -31, -39]2.
O grafo de Ljubljana é o grafo de Levi da configuração de Ljubljana, uma configuração quadrangular livre com 56 linhas e 56 pontos.[1] Nesta configuração, cada linha contém exatamente três pontos, cada ponto pertence a exatamente 3 linhas e quaisquer duas linhas se cruzam em no máximo um ponto.
Grafo de Ljubljana 136
Propriedades algébricas
O grupo de automorfismo do grafo de Ljubljana é um grupo de ordem 168. Ele age transitivamente em suas arestas, mas não em seus vértices: existem simetrias levando cada aresta para qualquer outra aresta, mas não levando cada vértice para qualquer outro vértice. Portanto, o grafo de Ljubljana é um grafo semi-simétrico, o terceiro menor grafo cúbico semi-simétrico possível após o grafo de Levi em 54 vértices e o grafo de Iofinova-Ivanov em 110 vértices.[2] O polinômio característico do grafo de Ljubljana é
História
O grafo de Ljubljana foi publicado pela primeira vez em 1993 por Brouwer, Dejter e Thomassen.[3]
Em 1972, Bouwer já estava falando de uma de um grafo cúbico de 112 vértices aresta- mas não vértice-transitivo encontrado por R. M. Foster, mas não publicado ainda.[4] Conder, Malnic, Marusic, Pisanski e Potočnik redescobriram este grafo de 112 vértices em 2002 e nomearam-no grafo de Ljubljana capital da Eslovénia. Eles provaram que ele era o único grafo cúbico de 112 vértices aresta- mas não vértice-transitivo cúbicos e, portanto, que o grafo era aquele encontrado por Foster.
Galeria
O número cromático do grafo de Ljubljana é 2.
O índice cromático do grafo de Ljubljana é 3.
Desenho alternativo do grafo de Ljubljana.
O grafo de Ljubljana é o grafo de Levi desta configuração. [1] Conder, M.; Malnič, A.; Marušič, D.; Pisanski, T.; and Potočnik, P. "The Ljubljana Graph." 2002. (http://citeseer.ist.psu.edu/
conder02ljubljana.html). [2]
[2] Marston Conder, Aleksander Malnič, Dragan Marušič and Primž Potočnik. "A census of semisymmetric cubic graphs on up to 768 vertices." Journal of Algebraic Combinatorics: An International Journal. Volume 23, Issue 3, pages 255-294, 2006.
[3]
[3] Brouwer, A. E.; Dejter, I. J.; and Thomassen, C. "Highly Symmetric Subgraphs of Hypercubes." J. Algebraic Combinat. 2, 25-29, 1993. [4]
Grafo de Nauru 137
Grafo de Nauru
Grafo de Nauru
O grafo Nauru vértices 24 arestas 36 Raio 4 Diâmetro 4 Cintura 6 Automorfismos 144 (S4×S3) Número cromático 2 Índice cromático 3 Propriedades Cúbico Hamiltoniano simétrico Integral Bipartido Grafo de CayleyNo campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Nauru é um grafo simétrico, bipartido cúbico com 24 vértices e 36 arestas. Foi nomeado por David Eppstein em alusão a estrela de doze pontas da bandeira do Nauru[1] Ele tem número cromático 2, índice cromático 3, raio 4, diâmetro 4, e cintura 6[2]. Ele também é 3-vértice-conectado, e 3-aresta-conectado.
Os menores grafos cúbicos com número de cruzamento entre 1 e 8 são conhecidos (sequência A110507 na OEIS). O menor grafo com 8 cruzamentos é o grafo de Nauru. Existe 5 grafos cúbicos não-isomorfos de ordem 24 com número de cruzamentos de 8[3]. Um deles é o grafo de McGee também conhecido como (3-7)-gaiola[4].
Grafo de Nauru 138
Construção
O grafo de Nauru é Hamiltoniano e pode ser descrito pela notação LCF : [5, −9, 7, −7, 9, −5]4.[1]
O grafo de Nauru também pode ser construído como o grafo de Petersen generalizado G(12, 5) que é formado pelos vértices de um dodecágono, ligado aos vértices de uma estrela de doze pontos, em que cada ponta da estrela está ligada aos pontos quer estão a cinco passos de distância dela.
Propriedades algébricas
O grupo de automorfismo do grafo de Nauru é um grupo de ordem 144[5]. É isomórfico ao produto direto dos grupos simétricos S4 e S3 e age transitivamente nos vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. Portanto o grafo de Nauru é um grafo simétrico (embora não seja distância-transitivo). Ele tem automorfismos que levam qualquer vértice para qualquer outro vértice e qualquer aresta para qualquer outra aresta. De acordo com o censo de Foster, o grafo de Nauru é o único grafo cúbico simétrico em 24 vértices[2].
O grafo generalizado de Petersen G(n,k) é vértice-transitivo se e somente se n = 10 e k =2 ou se k2 ≡ ±1 (mod n) e é aresta-transitivo somente nos sete casos seguintes: (n,k) = (4,1), (5,2), (8,3), (10,2), (10,3), (12,5), (24,5)[6]. Assim, o grafo de Nauru é um de apenas sete grafos simétricos generalizados de Petersen. Entre estes sete grafos estão o grafo cubico , o grafo de Petersen , o grafo de Möbius–Kantor , o grafo dodecaedro
e o grafo de Desargues .
O grafo de Nauru é um grafo de Cayley de S4, o grupo de permutações simétricas em quatro elementos, gerados pelas três maneiras diferentes de trocar o primeiro elemento com um dos outros três: (1 2), (1 3) e (1 4).
O polinômio característico do grafo de Nauru é igual a
tornando-o um grafo integral—um grafo cujo espectro consiste inteiramente de inteiros.
Toro simétrico incorporado
O toro é formado, topologicamente, colando-se arestas
opostas de um hexágono regular com o outro. Grafo de Petersen generalizado
As cores e permutações indicam, que este é um grafo de Cayley de S4.
Matriz de adjacência
Cada aresta é representada por duas entradas na mesma cor, que são simétricas à diagonal principal.
Grafo de Nauru 139