Grafo de Petersen
Grafo de Petersen
O gráfico de Petersen é mais comumente desenhado como um pentágono com um pentagrama no interior, com cinco raios
Nomeado em honra a Julius Petersen
vértices 10 arestas 15 Raio 2 Diâmetro 2 Cintura 5 Automorfismos 120 (S5) Número cromático 3 Índice cromático 4 Propriedades Cúbico
grafo fortemente regular distância-transitivo
No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Petersen é um grafo não-orientado com 10 vértices e 15 arestas. É um pequeno grafo que serve como um exemplo útil e contra-exemplo para muitos problemas em teoria dos grafos. O grafo de Petersen é nomeado em honra a Julius Petersen, que em 1898 construiu o menor grafo cúbico sem ponte cujas arestas não podem ser coloridas com somente três cores[1]. Embora o grafo seja geralmente creditado a Petersen, ele tinha, de facto, aparecido pela primeira vez 12 anos antes, em 1886[2].
Donald Knuth afirma que o grafo de Petersen é "uma configuração notável que serve como um contra-exemplo para muitas previsões otimistas sobre o que poderia ser verdade para os grafos em geral."[3]
Construções
O grafo de Petersen é o complementar do grafo linha de . É também o grafo Kneser ; isso significa que ele tem um vértice para cada subconjunto de dois elementos de um conjunto de 5 elementos, e dois vértices são conectados por uma aresta se e somente se os correspondentes subconjuntos de dois elementos são disjuntos entre si. Como um grafo de Kneser da forma é um exemplo de um grafo ímpar.
Geometricamente, o grafo de Petersen é o grafo formado pelos vértices e arestas do hemi-dodecaedro, ou seja, um dodecaedro com os pontos opostos, linhas e faces identificadas em conjunto.
Grafo de Petersen 143
Incorporações
O grafo de Petersen é não-planar. Qualquer grafo não planar tem como menores tanto o grafo completo , quanto o grafo bipartido completo , mas o grafo de Petersen tem ambos os menores. O menor pode ser formado restringindo-se as arestas de um acoplamento perfeito, por exemplo as cinco arestas curtas na primeira figura. O menor pode ser formado se deletando um vértice (por exemplo, o vértice central do desenho do 3-simétrico) e contratando uma aresta incidente para cada vizinho do vértice que foi excluído.
O grafo de Petersen tem número de cruzamento 2. O mais comum e simétrico desenho do plano do grafo de Petersen,
como um pentagrama dentro de um pentágono, tem cinco cruzamentos. No entanto, este não é o melhor desenho que minimiza os cruzamentos; existe um outro desenho (mostrado na figura), com apenas dois cruzamentos. Assim, o grafo de Petersen tem número de cruzamento 2. Em um toro o grafo de Petersen pode ser desenhado sem cruzamentos de arestas; tem, portanto, gênero orientável 1.
O grafo de Petersen é um grafo distância-unidade: ele pode ser desenhado no plano com cada aresta
tendo comprimento de uma unidade. O grafo de Petersen também pode ser desenhado (com cruzamentos)
no plano de tal forma que todas as arestas tenham o mesmo comprimento. Ou seja, ele é um grafo distância-unidade.
A mais simples superfície não orientável em que o grafo de Petersen pode ser incorporado sem cruzamentos é o plano projetivo. Esta é a incorporação dada pela construção em hemi-dodecaedro do grafo de Petersen. A incorporação no plano projetivo também pode ser formada a partir do desenho padrão pentagonal do gráfico Petersen, colocando uma superfície cross-cap dentro da estrela de cinco pontas no centro do desenho, e dirigundo as arestas da estrela através desta cross-cap; o desenho resultante tem seis faces pentagonais. Esta construção forma um mapa regular e mostra que o grafo de Petersen tem um género não-orientável 1.
Simetrias
O grafo de Petersen é fortemente regular (com assinatura srg(10,3,0,1)). É também simétrico, o que significa que é aresta-transitivo e vértice-transitivo. Mais fortemente, é de 3-arcos-transitivo: cada caminho de três arestas dirigidas no grafo de Petersen pode ser transformado em qualquer outro tipo de percurso por uma simetria do grafo.[4]
[4] [4] .
Grafo de Shrikhande 144
Grafo de Shrikhande
Grafo de
Shrikhande
Nomeado em honra a S. S. Shrikhande vértices 16 arestas 48 Raio 2 Diâmetro 2 Cintura 3 Automorfismos 192 Número cromático 4 Índice cromático 6 Propriedades Simétrico Euleriano Hamiltoniano Integral Fortemente regularNo campo da matemática da teoria dos grafos, o Grafo de Shrikhande é um grafo nomeado descoberto por S. S. Shrikhande em 1959.[1] é um grafo fortemente regular com 16 vértices e 48 arestas, com cada vértice tendo um grau de 6.
Propriedades
No grafo de Shrikhande, quaisquer dois vértices I e J têm dois vizinhos distintos em comum (excluindo os próprios dois vértices I e J), o que é verdade independentemente de I ser adjacente a J. Em outras palavras, seus parâmetros para ser fortemente regulares são: {16,6,2,2}, com , esta igualdade implicando que o grafo é associado a um BIBD simétrico. Ele compartilha esses parâmetros com um grafo diferente, o 4×4 grafo torre (rook's graph). O grafo de Shrikhande é localmente hexagonal; isto é, os vizinhos de cada vértice formam um grafo ciclo de seis vértices. Como em qualquer grafo localmente cíclico, o grafo de Shrikhande é o 1-esqueleto de uma triangulação de Whitney de alguma superfície; no caso do grafo de Shrikhande, esta superfície é um toro em que cada vértice é cercado por seis triângulos.[2] Assim, o grafo de Shrikhande é um grafo toroidal. O dual desta incorporação é o grafo de Dick, um grafo cúbico simétrico.
O grafo de Shrikhande não é um grafo distância-transitivo. É o menor grafo distância-regular que não é a distância-transitivo.[3]
Grafo de Shrikhande 145
O grupo de automorfismo do grafo de Shrikhande é da ordem de 192. Ele age transitivamente sobre os vértices, nas arestas e nos arcos do grafo.
O polinômio característico do grafo de Shrikhande é: . Portanto o grafo de Shrikhande é um grafo integral: seu espectro consiste inteiramente de inteiros.
[1] [1] . [2] [2] . [3] [3] .
Ligações externas
• O grafo de Shrikhande (http://cameroncounts.wordpress.com/2010/08/26/the-shrikhande-graph/) , Peter Cameron, Agosto de 2010.