Exemplo 1
- a b c d e f a 0 4 2 0 0 0 b 4 0 2 0 5 1 c 2 2 0 10 1 0 d 0 0 10 0 15 0 e 0 5 1 15 0 2 f 0 1 0 0 2 0Nota: As posições (i,j) e (j,i) da matriz anterior têm os mesmos valores. Isso indica que o grafo em análise é não orientado. Executando o passo 1 acima referido sobre esta matriz passaríamos a ter a seguinte matriz:
Algoritmo de Boruvka 114 - a b c d e f a 0 0 2 0 0 0 b 0 0 0 0 0 1 c 0 0 0 0 1 0 d 0 0 10 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 0
Analisando esta nova matriz podemos ver que existem duas linhas a zero (e e f), o que claramente indica a existência de dois subgrafos. Como verificar quais os subgrafos? É um processo simples de verificar quais as linhas e colunas que se cruzam. Neste caso os novos subgrafos são dados pelas seguintes matrizes:
- b f b 0 1 f 0 0 - a c d e a 0 2 0 0 c 0 0 0 1 d 0 10 0 0 e 0 0 0 0
Notar que é necessário reter,da matriz original os valores que cruzam os vértices dos diferentes subgrafos gerados no passo 1, ou seja, a arco a-b (com peso 4), o arco c-b (com peso 2), o arco b-e (com peso 5) e o arco e-f (com peso 2). Estes arcos são usados para unir os vértices do arco gerado no passo 3.
Neste exemplo bastante simples, o passo 2 representado pelas duas matrizes anteriores. Deste modo, não é necessário encontrar a Minimum Spanning Tree para cada uma destas matrizes já que quando se executa o passo 1 estas são encontradas automaticamente (outros exemplos há em que é necessário executar o passo 2). Isto leva, então, à geração do grafo do passo 3 em que temos dois vértices (um para cada uma das matrizes anteriores) e que pode ser representado sob a seguinte forma
- bf acde bf 0 4/2/2/5 acde 4/2/2/5 0
Note-se que a diagonal principal da matriz está a zero mas a outra diagonal não (é apenas uma questão de representacão. (matriz transposta esta matriz ir-se-ia obter a diagonal principal não nula e a outra diagonal a zero.) Estes valores indicam possíveis arcos que ligam os vértices deste grafo. Então, volta-se a executar o passo 1 sobre este grafo pelo que se chega à conclusão de que o grafo inicial deu origem a um grafo final cuja representação é a seguinte:
Algoritmo de Boruvka 115
- bf acde bf 0 2 acde 0 0
116
Grafos individuais
Grafo de Biggs-Smith
Grafo de
Biggs–Smith
O grafo de Biggs–Smith vértices 102 arestas 153 Raio 7 Diâmetro 7 Cintura 9 Automorfismos 2448 (PGL(2,17)) Número cromático 3 Índice cromático 3 Propriedades Cúbico Hamiltoniano simétrico distância-regularNo campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Biggs–Smith é um grafo não-orientado 3-regular com 102 vértices e 153 arestas.[1]
Ele tem número cromático 3, índice cromático 3, raio 7, diâmetro 7 e cintura 9. É tanto 3-vértice-conectado quanto 3-aresta-conectado.
Todos os grafos distância-regular cúbicos são conhecidos.[2] O grafo Biggs–Smith é um destes 13 grafos.
Propriedades algébricas
O grupo de automorfismo do grafo de Biggs–Smith é um grupo de ordem 2448[3] isomórfico ao PGL(2,17). Ele age transitivamente sobre os vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. Portanto, o grafo de Biggs–Smith é im grafo simétrico. Ele tem automorfismos que levam qualquer vértice para qualquer outro vértice e qualquer aresta para qualquer outra aresta. De acordo com o censo de Foster, o grafo de Biggs-Smith, referenciado como F102A, é o único grafo cúbico simétrico em 102 vértices.[4]
Grafo de Biggs-Smith 117
O grafo de Biggs–Smith é também singularmente determinado por seu espectro de grafo, o conjunto de autovalores do grafo de sua matriz de adjacência.[5]
O polinômio característico do grafo de Biggs–Smith é: .
Galeria
O número cromático do grafo de Biggs–Smith graph é 3.
O índice cromático do grafo de Biggs–Smith graph é 3.
Desenho alternativo do grafo de Biggs–Smith. [2] Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; and Neumaier, A. Distance-Regular Graphs. New York: Springer-Verlag, 1989.
[3] Royle, G. F102A data (http://www.csse.uwa.edu.au/~gordon/foster/F102A.html)
[4] Conder, M. and Dobcsányi, P. "Trivalent Symmetric Graphs Up to 768 Vertices." J. Combin. Math. Combin. Comput. 40, 41–63, 2002 [5] E. R. van Dam and W. H. Haemers, Spectral Characterizations of Some Distance-Regular Graphs. J. Algebraic Combin. 15, pages 189–202,
Grafo de Brouwer-Haemers 118
Grafo de Brouwer-Haemers
Grafo de
Brouwer–Haemers
vértices 81 arestas 810 Cintura 3 Automorfismos 233280 Número cromático 7Propriedades Fortemente regular
No campo da matemática da teoria dos grafos, o Grafo de Brouwer–Haemers é um grafo não direcionado 20-regular com 81 vértices e 810 arestas. É o único grafo fortemente regular com parâmetros (81, 20, 1, 6).
Propriedades algébricas
O automorfismo de grupo do grafo de Brouwer-Haemers é um grupo da oredem de 233280. O polinômio
característico do grafo de Brouwer-Haemers é: .
Ligações externas
• Weisstein, Eric W. "Brouwer–Haemers Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1] • Página de Andries E. Brouwer. [2]
Referências
[1] http://mathworld.wolfram.com/Brouwer-HaemersGraph.html [2] http://www.win.tue.nl/~aeb/graphs/Brouwer-Haemers.html
Grafo de Desargues 119
Grafo de Desargues
Grafo de
Desargues
O grafo de Desargues Nomeado em honra a Girard Desargues vértices 20 arestas 30 Raio 5 Diâmetro 5 Cintura 6 Automorfismos 240 (S5× Z/2Z) Número cromático 2 Índice cromático 3 Propriedades Cúbico Hamiltoniano simétrico distância-regular BipartidoNo campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Desargues é um grafo cúbico, distância-transitivo com 20 vértices e 30 arestas.[1] É nomeado em honra a Girard Desargues, surge a partir de diferentes construções combinatória, tem um elevado nível de simetria, é o único conhecido cubo parcial cúbico não-planar , e tem sido aplicado em bases de dados químicos.
O nome "grafo de Desargues" também tem sido usado para se referir ao complemento do grafo de Petersen[2].
Construções
Existem várias maneiras diferentes de construir o grafo de Desargues:
• É o grafo de Petersen generalizado G(10, 3). Para formar o grafo de Desargues desta forma, conecte dez dos vértices em um decágono regular, e conecte os outros dez vértices em uma estrela de dez pontas que conecta os pares de vértices a uma distância três em um segundo decágono. O grafo de Desargue consiste das 20 arestas destes dois polígonos juntamente com 10 arestas adicionais de pontos de conexão de um decágono para os pontos correspondentes do outro.
• É o grafo de Levi da configuração de Desargues. Esta configuração é composta por dez pontos e dez linhas descrevendo dois triângulos em perspectiva, seu centro de perspectiva, e seu eixo de perspectiva. O grafo de Desargues tem um vértice para cada ponto, um vértice para cada linha, e uma aresta para cada par de linhas de
Grafo de Desargues 120
ponto incidente. O teorema de Desargues, nomeado em honra ao matemático francês do século 17 Girard Desargues, descreve um conjunto de pontos e linhas que formam essa configuração, e a configuração e o grafo devem seu nome a ela.
• É a cobertura bipartida dupla do grafo de Petersen, formada pela substituição de cada vértice do grafo de Petersen por um par de vértices e cada aresta do grafo de Petersen por um par de arestas cruzadas.
• É o grafo de Kneser bipartido H5,2. Seus vértices podem ser rotulados pelos dez subconjuntos de dois elementos e os dez subconjuntos de três elementos de um conjunto de cinco elementos, com uma aresta conectando dois vértices quando um dos conjuntos correspondentes é um subconjunto do outro.
• O grafo de Desargues é Hamiltoniano e pode ser construído pela notação LCF: [5,−5,9,−9]5
Propriedades algébricas
O grafo de Desargues é um grafo simétrico: tem simetrias que levam qualquer vértice para qualquer outro vértice e qualquer aresta para qualquer outra aresta. Seu grupo de simetria tem ordem 240, e é isomórfico ao o produto de um grupo simétrico em 5 pontos, com um grupo de ordem 2.
Pode-se interpretar esta representação de produtos do grupo de simetria em termos de construções do grafo de Desargues: o grupo simétrico em cinco pontos é o grupo de simetria da configuração de Desargues, e o subgrupo de ordem-2 troca os papéis dos vértices que representam pontos da configuração de Desargues e os vértices que representam as linhas. Como alternativa, em termos do grafo bipartido de Kneser, o grupo simétrico em cinco pontos de age em separado sobre os subconjuntos de cinco pontos de dois elementos e de três elementos, e a complementação dos subconjuntos formam um grupo de ordem dois que transforma um tipo de subconjunto em outro. O grupo simétrico em cinco pontos é também o grupo de simetria do grafo de Petersen, e o subgrupo de ordem-2 troca os vértices dentro de cada par de vértices formados na construção da dupla cobertura.
O grafo de Petersen generalizado G(n, k) é vértice-transitivo se e somente se n = 10 e k = 2 ou se k2 ≡ ±1 (mod n) e é aresta-transitivo somente nos seguintes sete casos: (n, k) = (4, 1), (5, 2), (8, 3), (10, 2), (10, 3), (12, 5), (24, 5).[3] Assim, o grafo de Desargues é um dos apenas sete grafos de Petersen generalizados simétricos. Entre estes sete grafos estão o grafo cúbico G(4, 1), o grafo de Petersen G(5, 2), o grafo de Möbius–Kantor G(8, 3), o grafo dodecaédrico G(10, 2) e o grafo de Nauru G(12, 5).
O polinômio característico do grafo de Desargues é:
Portanto o grafo de Desargues é um grafo integral: seu espectro consiste inteiramente de inteiros.
Aplicações
Em química, o grafo de Desargues é conhecido como o grafo de Desargues-Levi; é utilizado para organizar sistemas de estereoisômeros de compostos 5-ligantes. Nesta aplicação, as trinta arestas do grafo correspondem a pseudorotações dos ligantes[4][5].
Outras propriedades
O grafo de Desargues tem um número de cruzamento retilíneo 6, e é o menor grafo cúbico com este número de cruzamento (sequência A110507 na OEIS). É o único conhecido cúbico não planar cubo parcial[6] .
O grafo de Desargues tem um número cromático 2, índice cromático 3, raio 5, diâmetro 5 e cintura 6. É também um grafo hamiltoniano, 3-vértice-conectado, e 3-aresta-conectado.