Grafo de Gray
O grafo de Gray Nomeado em
honra a
Marion Cameron Gray
vértices 54 arestas 81 Raio 6 Diâmetro 6 Cintura 8 Automorfismos 1296 Número cromático 2 Índice cromático 3 Propriedades Cúbico Hamiltoniano Semi-simétrico
No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Gray é um grafo não direcionado bipartido, com 54 vértices e 81 arestas. É um grafo cúbico: todo vértice toca exatamente três arestas. Foi descoberto por Marion C.
Grafo de Gray 127
Gray, em 1932, (de forma inédita), em seguida, descoberto independentemente por Bouwer 1968, em resposta a uma pergunta feita por Jon Folkman em 1967[1]. O grafo de Gray é interessante como o primeiro exemplo conhecido de um grafo cúbico tendo a propriedade algébrica de ser aresta-transitivo, mas não sendo vértice-transitivo (ver abaixo). O grafo de Gray tem um número cromático 2, índice cromático 3, raio 6 e diâmetro 6. Ele é também um grafo 3-vértice-conectado e 3-aresta-conectado não-planar.
Construção
O grafo de Gray pode ser construído [2] dos 27 pontos de uma grade de 3 × 3 × 3 e as 27 linhas de eixo paralelo a esses pontos. Esta coleção de pontos e linhas formam um configuração projetiva: cada ponto tem exatamente três linhas, através dele, e cada linha tem exatamente três pontos sobre ela. O grafo de Gray é o grafo de Levi dessa configuração, que tem um vértice para cada ponto e para cada linha da configuração, e uma aresta para cada par de um ponto e uma linha que se tocam. Esta construção generaliza (Bouwer 1972) para qualquer dimensão n ≥ 3, rendendo um grafo de Levi n-valente com propriedades algébricas semelhantes às do gráfico deGray.
Em (Monson, Pisanski, Schulte, Ivic-Weiss 2007)[3], o grafo de Gray aparece como um tipo diferente de grafo de Levi com as arestas e faces triangulares de uma determinada localmente toroidal resumo regular 4 politopo. É, portanto, o primeiro de uma família infinita de grafos cúbicos similarmente construídos.
Marušič e Pisanski (2000)[4] indicaram vários métodos alternativos de construção do grafo de Gray. Como acontece com qualquer grafo bipartido, não há ciclos de comprimento impar, e também não há ciclos de quatro ou seis vértices, de modo que a cintura do gráfico Gray é 8. A superfície orientada mais simples sobre a qual o grafo de Gray pode ser incorporado tem gênero 7[5]. O grafo de Gray é hamiltoniano e pode ser construído a partir da notação LCF:
Propriedades algébricas
O grupo de automorfismo do grafo de Gray é um grupo de ordem 1296. Ele atua transitivamente nas arestas do grafo, mas não em seus vértices : existem simetrias levando cada aresta para qualquer outra aresta mas não tomando cada vértice para qualquer outro vértice. Os vértices que correspondem a pontos da configuração subjacentes apenas podem ser simétricos para outros vértices que correspondem a pontos, e os vertices que correspondem a linhas só podem ser simétricos para outros vértices que correspondem a linhas. Portanto, o grafo de Gray é um grafo semi-simétrico, o menor possível grafo semi-simétrico cúbico.
O polinômio característico do grafo de Gray é
[1] [1] . [2] [2] . [4] [4] . [5] [5] .
Grafo de Gray 128
Ligações externas
• O grafo de Gray é o menor grafo de seu tipo (http://mathworld.wolfram.com/news/2002-04-09/graygraph/) , em MathWorld.
Galeria
O grafo de Gray O número cromático do grafo de Gray é 2.
O índice cromático do grafo de Gray é 3. A configuração básica do grafo de Gray.
Grafo de Heawood
Grafo de Heawood
Nomeado em honra aPercy John Heawood
vértices 14 arestas 21 Raio 3 Diâmetro 3 Cintura 6 Automorfismos 336 (PGL2(7)) Número cromático 2 Índice cromático 3 Propriedades Cúbico gaiola distância-transitivo distância-regular Toroidal Hamiltoniano simétrico
Grafo de Heawood 129
No campo da matemática da teoria dos grafos o grafo de Heawood é um grafo não-orientado com 14 vértices e 21 arestas.[1] O grafo é cúbico, e todos os ciclos do grafo têm seis ou mais arestas. Todos os menores grafos cúbicos têm ciclos mais curtos, de modo que este grafo é o gaiola-6, o menor grafo cúbico de cintura 6.
É também o grafo de Levi do plano de Fano, o grafo que representa a incidência entre os pontos e linhas nesta geometria. É um grafo distância-regular; o seu grupo de simetrias é PGL2(7).[2]
Há 24 correspondências perfeitas no grafo de Heawood; para cada correspondência, o conjunto de arestas fora das correspondências forma um ciclo Hamiltoniano. Por exemplo, a figura mostra os vértices do grafo colocados em um ciclo, com as diagonais internas do ciclo formando uma correspondência. Subdividindo as arestas do ciclo em duas correspondências, podemos particionar o grafo de Heawood em três correspondências perfeitas (isto é, usando 3 cores em suas arestas) em oito formas diferentes (Brouwer).
O grafo de Heawood foi batizado em honra de Percy John Heawood, que em 1890 provou que cada subdivisão do toro em polígonos pode ser colorida, no máximo, com sete cores.[3][4] O grafo de Heawood forma uma subdivisão do toro com sete regiões adjacentes mutuamente, mostrando que esse limite é apertado.
O grafo de Heawood tem número de cruzamento 3, e é o menor grafo cúbico com este número de cruzamento. Incluindo o grafo de Heawood, existem 8 grafos distintos de ordem 14 com número de cruzamento 3.
O grafo de Heawood é um grafo distância-unidade.[5]
Propriedades algébricas
O grupo de automorfismo do grafo de Heawood é isomórfico ao grupo linear projetivo PGL2(7), um grupo de ordem 336.[6] Ele atua transitivamente sobre os vértices, nas arestas e nos arcos do grafo. Portanto o grafo Heawood é um grafo simétrico. Ele tem automorfismos que levam qualquer vértice para qualquer outro vértice e qualquer aresta para qualquer outra aresta. De acordo com o censo Foster, o grafo de Heawood, referenciado como F014A, é o único grafo cúbico simétrico com 14 vértices.[7][8]
O polinômio característico do grafo de Heawood é . É o único grafo com este polinômio característico, tornando-se um grafo determinado pelo seu espectro.