Joana Cambeiro1 e Ana Paula Canavarro2
1Universidade de Évora, Mestrado em Educação Pré-escolar e Ensino do 1ºCiclo do Ensino
Básico
2Universidade de Évora, Departamento de Pedagogia
joanacambeiro@hotmail.com, apc@uevora.pt
Resumo
Este estudo tem como objetivos compreender como as crianças relacionam a Matemática com o mundo à nossa volta e que conexões identificam, bem como lidam com o ciclo de modelação matemática enquanto recurso para estabelecer relações entre a Matemática e a realidade. O estudo configura-se como uma investigação sobre a própria prática, considerando dois contextos distintos, o de Pré-escolar e o de 1.º Ciclo do Ensino Básico. Foram preparadas e concretizadas experiências de ensino em cada um dos contextos, correspondendo à exploração com os alunos de sequências de tarefas, 11 tarefas em Pré-escolar e 13 em 1.º Ciclo. Ao longo da intervenção foram recolhidos dados diversos como registos escritos, registos fotográficos, entrevistas e diálogos das crianças (através de observação direta). Os dados foram analisados tendo por base o ciclo de modelação matemática (Ferri, 2010).
O estudo revela que as crianças demonstram mais interesse por problemas relacionados com a sua realidade do dia-a-dia do que por situações menos familiares. São também estes problemas que resolvem com mais facilidade, percorrendo todo o ciclo de modelação matemática; a sua maior dificuldade reside na última fase deste ciclo, a relativa ao retorno da Matemática à realidade. O estudo mostra também que a resolução de problemas relacionados com a realidade por via da modelação matemática permite às crianças adquirir capacidade de identificar a utilidade da matemática para compreender melhor o mundo à sua volta.
Palavras-chave: Matemática; conexões; modelação matemática; educação pré-escolar e ensino
do 1.º Ciclo.
Introdução
O presente estudo foi desenvolvido no âmbito do Mestrado em Educação Pré-escolar e Ensino do 1.º Ciclo do Ensino Básico, da Universidade de Évora, no qual se pretendia desenvolver uma investigação sobre a própria prática ao longo das unidades curriculares relativas à prática de
152 ensino supervisionada. Pretendia-se que a investigação incidisse sobre os dois contextos de prática, possibilitando uma maior compreensão e aprofundamento da problemática em estudo. O foco na relação da matemática com a realidade deriva desta ser uma preocupação de ambas as autoras deste texto. Considerou-se esta temática muito pertinente pois é de grande importância na aprendizagem matemática das crianças. O contributo da Matemática para melhor se interpretar, compreender e intervir na realidade deve estar entre as principais finalidades da aprendizagem matemática (Ferri, 2010; NCTM, 2007). É fundamental que as crianças aprendam matemática não porque lhes é imposto, mas porque lhes faz falta nas suas vidas, na resolução de problemas do seu quotidiano. Porém, muitas vezes o reconhecimento desta importância passa ao lado de muitas crianças, jovens e até adultos, passando muitas pessoas a maior parte da sua vida a evitar esta ciência.
Assim, um dos grandes objetivos dos educadores e professores deverá ser ajudar os seus alunos a reconhecer o valor e importância da Matemática como uma ferramenta útil para melhor compreenderem a realidade. É fundamental que os profissionais de ensino se preocupem, desde cedo, em proporcionar aos alunos o desocultar da Matemática à nossa volta, que tantas vezes está implícita sem que as pessoas dela se apercebam. Para tal, é necessário, no dia-a-dia, ir identificando a matemática existente na realidade circundante e discutindo qual a sua utilidade, e é também importante propor aos alunos tarefas que, de modo intencional, tornem explícita a relação matemática-realidade (Boavida et al., 2008).
Estas preocupações estiveram presentes neste estudo que se orientou por duas grandes questões:
1. De que modo é que as crianças relacionam a Matemática com a realidade e que conexões identificam?
2. De que modo é que as crianças percorrem as diferentes fases do ciclo de modelação matemática?
Revisão de literatura
É justo referir-se que a relação da Matemática com a realidade é muito referida nos documentos curriculares, desde a educação pré-escolar. Segundo as Orientações Curriculares para a Educação Pré-escolar,
As crianças vão espontaneamente construindo noções matemáticas a partir das vivências do dia-a-dia. O papel da matemática na estruturação do pensamento, as suas funções na vida corrente e a sua importância para aprendizagens futuras, determina a atenção que lhe deve ser dada na educação pré-escolar, cujo
153 quotidiano oferece múltiplas possibilidades de aprendizagens matemáticas. (Ministério da Educação, 1997, p. 73).
A nível do Ensino Básico, o Programa de Matemática em vigor durante a realização deste estudo (ME, 2007) refere que na resolução de problemas é muito importante ter diversos contextos diferentes, em particular os relacionados com o quotidiano dos alunos. No que diz respeito ao 1.º Ciclo, refere-se: “…os contextos desempenham um papel particularmente importante, em especial os que se relacionam com situações do quotidiano, devendo ser escolhidos de modo cuidadoso uma vez que servem de modelos de apoio ao pensamento dos alunos” (Ministério da Educação, 2007, p. 29). Ou seja, defende-se que as conexões com o quotidiano sejam utilizadas pelas crianças, como modelos de apoio ao seu pensamento matemático, pois são referências que têm próximas e às quais facilmente recorrem para apoiar a compreensão.
A nível internacional, e segundo o National Council of Teachers of Mathematics (NTCM, 2007), as crianças aprendem melhor e o seu conhecimento é mais significativo quando a matemática é ensinada estabelecendo-se conexões, principalmente extra-matemáticas, com a realidade. Isto ajuda-as também a compreender a utilidade da matemática na vida das pessoas e na compreensão do seu papel na construção e interpretação do mundo.
Mas o que são conexões matemáticas? Uma conexão é algo que tem uma ligação, é algo que se relaciona, com outra situação, conceito ou processo (Boavida, Paiva, Cebola, Vale & Pimentel, 2008). No caso das conexões matemáticas, são situações em que as crianças são chamadas a fazer ligações entre a matemática e outras áreas curriculares, a matemática e ela própria e entre a matemática e a realidade que nos rodeia.
Segundo Ponte (2010), a valorização das conexões matemáticas propicia um bom ensino da matemática, uma vez que as mesmas servem de referência para a ancoragem e compreensão de novos conceitos, a partir de antigos. Além disso, as conexões matemáticas despertam para as ligações que existem na matemática, mostram que a matemática não é estanque nem está isolada de tudo, mas sim interligada dentro e fora do seu meio.
Neste estudo, são exploradas as conexões da matemática com a realidade, o tipo de conexões que permite que as crianças se apercebam da utilidade da matemática no seu dia-a-dia e, consequentemente, lhes mostra a importância da mesma nas nossas vidas e na evolução da nossa sociedade.
Segundo Boavida, Paiva, Cebola, Vale e Pimentel (2008), a melhor forma de colocar em prática as conexões com a vida real é recorrer a experiências anteriores das crianças e aos seus
154 interesses. Assim, defendem o recurso ao dia-a-dia das crianças, o que as motivará e trará significado às suas aprendizagens matemáticas.
Uma possibilidade de explorar as conexões matemáticas entre a matemática e a realidade é através da ideia de modelação matemática. A modelação matemática é a capacidade de “…resolver problemas da vida real com a ajuda de modelos matemáticos” (Ferri, 2010, p. 19). Assim, a modelação matemática constitui uma ferramenta que ajuda os professores e educadores a transmitir às crianças a capacidade de transpor a matemática para a realidade e a realidade para a matemática, sempre que necessário.
Figura 1: Ciclo de modelação matemática (Ferri, 2010)
Segundo Ferri (2010), para resolvermos problemas relacionados com a realidade com o auxilio da matemática devemos percorrer diferentes fases de um ciclo, ao qual chama de ciclo de modelação matemática e que se apresenta na figura 1.
Ferri (2010) identifica seis fases no ciclo de modelação, que caracterizamos com foco na atividade da criança implicada no processo de modelação:
1. Compreender a situação real – a criança depara-se com a situação real, apresentada muitas vezes por uma tarefa, fazendo uma representação mental da mesma;
2. Simplificar/Estruturar a tarefa – a criança simplifica a representação mental da situação, formando um modelo real que corresponde a uma simplificação da realidade;
3. Matematizar – a criança transcreve um modelo real para um modelo matemático, relacionando variáveis e parâmetros presentes no modelo;
4. Trabalhar matematicamente – a criança aplica o modelo matemático e chega a resultados matemáticos (valores obtidos);
155 5. Interpretar – a criança retorna à realidade, ou seja, traduz os resultados matemáticos
obtidos em resultados reais no contexto da situação;
6. Validar – a criança verifica se, em contexto real, os valores obtidos são aceitáveis. As tarefas de modelação matemática devem ser utilizadas gradualmente, começando nos primeiros anos (NCTM, 2007). Mesmo que no início da abordagem não se percorram todas as fases do ciclo de modelação, é importante que os alunos venham a contactar e trabalhar com tudo o que ele envolve, de forma articulada. Este trabalho poderá permitir que “…os alunos ganhem sensibilidade para problemas abertos e resultados diferentes” (Ferri, 2010, p. 24). Os modelos matemáticos poderão ser diversos (expressões, tabelas, diagramas, ...) devendo adequar-se ao conhecimento matemático com que as crianças são capazes de lidar.
Embora seja importante, para cada grupo de alunos, o seu educador/professor procurar as estratégias adequadas ao desenvolvimento do trabalho para investir na realização de conexões com a realidade, Ferri (2010) deixa alguns contributos:
Começar com problemas de modelação simples cujo tema vá ao encontro dos interesses das crianças;
Aumentar o trabalho de grupo em sala de aula, para que as crianças aprendam a trabalhar colaborativamente e se habituem a esse ambiente, pois será necessário nas tarefas de modelação, onde as crianças comunicam e argumentam os seus raciocínios e estratégias;
No início, apoiar fortemente a validação dos resultados pelos alunos, questionando-os sobre a possibilidade do valor ser realista - mais tarde, as crianças serão capazes de o fazer sozinhas;
Ferri (2010) chama ainda a atenção para a importância da continuidade da promoção da modelação matemática e da ênfase no estabelecimento de conexões. Se queremos que este tipo de trabalho surta algum efeito nas aprendizagens das crianças, deverá ser realizado regularmente em sala de aula, para que se torne num processo normal e os alunos o interiorizem.
Metodologia
Este estudo consiste numa investigação sobre a própria prática, referindo-se à prática da primeira autora deste texto, entendida como um questionamento e aprofundamento da profissão que um educador/professor deve fazer constantemente para poder melhorar as suas práticas. Este tipo de investigação é muitas vezes automática e intuitiva, sem existir um
156 determinado registo ou reflexão escrita, sendo portanto mais informal que uma investigação académica (Ponte, 2002). Porém, se um educador/professor tiver mais cuidado com as suas questões e as suas intervenções, poderá criar uma exploração mais formal da sua prática, podendo, além de evoluir, partilhar essa evolução e aprendizagem com os colegas de profissão, pois a investigação não é mais que um processo muito rico de construção do conhecimento (Ponte, 2002).
Uma vertente da investigação sobre a prática reside na investigação sobre a prática de ensino e baseia-se na realização de experiências de ensino que se preparam e implementam de forma cuidadosa, sendo feito uma recolha de dados sistemática que permita a análise e o retirar de conclusões que conduzam a aprendizagens com vista a melhorar a prática futura. Foi precisamente esta opção que foi aqui adotada, considerando-se os dois contextos de prática possíveis, relativos à Prática de Ensino Supervisionada: em pré-escolar, trabalhou-se com um grupo de alunos com 4-5 anos numa instituição privada; em 1.º ciclo do ensino básico, trabalhou-se com uma turma de 2º ano de escolaridade, numa escola pública.
Em ambos os contextos, prepararam-se sequências de tarefas que tinham como objetivo proporcionar aos alunos a oportunidade de estabelecerem conexões com a Matemática. Estas tarefas abrangem diversos tópicos matemáticos e tentam sempre relacionar a Matemática com a realidade, para que pudesse retirar dados sobre as identificações e relações que as crianças estabelecem nas tarefas com conexões matemáticas, mais precisamente, com a realidade, nomeadamente através da implementação do ciclo de modelação matemática.
Na Prática de Ensino Supervisionada (PES) de Pré-escolar, foram propostas 11 tarefas, para concretizar com as crianças, onde fossem incentivadas a fazer e identificar conexões entre a Matemática e a realidade. Realizou-se, pelo menos, uma tarefa por semana, em que as crianças explorassem as conexões, umas vezes em grande grupo e outras em pequeno grupo ou individualmente. Exemplos de situações exploradas são contagens do quotidiano, confeção de bolos, medições dos alunos, construção de molduras, ...
Na Prática de Ensino Supervisionada (PES) no 1.º Ciclo do Ensino Básico foram propostas 13 tarefas para desenvolver com as crianças sobre a temática de investigação. O início de todos os conteúdos matemáticos foi realizado a partir de situações onde as crianças exploravam as conexões, umas vezes em grande grupo e outras em pequeno grupo ou individualmente. Exemplos de situações exploradas são contagens do quotidiano, calendários, confeção de bolos e pão, desenho de plantas da sala, programação de almoço, jogos com pistas, etc. Mais informações sobre as tarefas podem encontrar-se em Cambeiro (2014).
157 No que diz respeito à recolha de dados, esta foi realizada através de diferentes técnicas: observação direta, registos escritos, registos fotográficos e entrevistas.
A observação direta era realizada diariamente, ao longo de toda a prática de ensino supervisionada (pré-escolar e 1.º ciclo), com o intuito de observar nas tarefas planeadas para a investigação, as dificuldades e facilidades demonstradas pelas crianças na execução das mesmas e perceber como poderia intervir posteriormente, para ajudar as crianças.
Os registos escritos podem dividir-se em dois tipos diferentes: as reflexões e notas de campo e as resoluções das tarefas escritas pelas crianças (mais no 1.º ciclo). Estes registos ajudaram a retirar dados importantes para análise e ajudar a intervir nas dificuldades das crianças.
Os registos fotográficos foram um meio importante para conseguir captar e partilhar os dados relativo à atividade e às reações das crianças. Contudo, não é fácil intervir e recolher este tipo de dados em simultâneo, sendo por vezes necessário recorrer ao apoio das cooperantes para esse fim.
No que diz respeito à análise de dados, ela foi realizada tendo por base o ciclo de modelação matemática (Ferri, 2010), no que diz respeito à identificação de como os alunos lidam com o ciclo de modelação.
Alguns resultados
De todas as tarefas realizadas, apenas irão ser apresentados os resultados relativos a duas delas, uma de cada contexto, como exemplificação dos resultados obtidos. Estas foram escolhidas porque representam bem o essencial dos resultados, sendo, de alguma forma, consideradas típicas.
Tarefa “Quanto medimos?” – Educação Pré-escolar
A tarefa “Quanto medimos?” surgiu da iniciativa das crianças, no contexto de educação pré- escolar, pois no ano anterior tinham feito algo semelhante com a educadora e queriam perceber se cresceram (muito, pouco, quem é mais alto, quem é mais baixo).
Esta tarefa dividiu-se em duas fases: as medições (recolha de dados) e a organização dos dados. Porém, a fase mais interessante para análise foi a da organização e tratamento de dados. Para a organização dos dados, foi formado um pequeno grupo que iria discutir e decidir como iriam organizar os dados e apresentar aos colegas.
Discussão da organização dos dados:
158 M.: “Numa tabela.”
Joana: “Uma tabela como?”
M.: “Assim, com um lado com os nossos nomes e outro com as nossas alturas e depois pomos na parede.” (dizia apontando na folha)
Joana: “Muito bem, todos concordam com a ideia?” Crianças do grupo: “Sim.”
Assim foi feito, a Joana ia escrevendo, duas crianças iam vendo a ordem das crianças da sala (pela folha das fotos) e as outras duas crianças iam vendo as alturas que as crianças tinham no que apontámos.
As crianças que estavam a dizer as alturas, como é óbvio, não conhecem números decimais, mas quiseram ser elas a ver e a dizer, tentando dizer algarismo a algarismo. Isto demonstra que as crianças compreenderam que a nossa altura é uma característica nossa que pode ser medida e ser convertida num valor numérico.
Depois da tabela feita, duas das crianças quiseram tentar escrever o que a Joana escreveu na tabela (ver figura 2) e enquanto isso, as outras duas crianças tomaram outra decisão comigo.
Figura 2: As crianças a registarem a tabela. Conversa com as duas crianças:
Joana: “Agora ficamos só com a tabela?” S.: “Não, fazemos outra coisa.”
Joana: “Concordo. Acho uma boa ideia, pois a tabela está pela ordem dos nomes e demora a vermos quem é mais alto ou mais baixo.”
159 X.: “Podemos fazer aquilo que fizemos no ano passado.”
Joana: “O quê?”
X.: “Aquilo que está naquela porta.” (diz apontando) Joana: “Ah, um gráfico.”
X.: “Isso.”
S.: “Boa, assim conseguíamos ver tudo. E podíamos usar as nossas fotos.” Joana: “Como fazíamos isso?”
S.: “Podíamos juntar as crianças baixas, as mais ou menos e as altas.” X.: “Pois, já dava para ver quem eram os mais altos.”
Joana: “Ok, então teremos de juntar as crianças que têm as alturas mais próximas. A Joana faz umas divisões de umas alturas a outras e vamos juntando as fotos ao grupo onde está a sua altura.”
S.: “Boa.”
Após esta conversa, separam-se as fotos em conjuntos de alturas, para perceberem que barras iriam fazer e para cada barra as crianças escolheram uma cor. Isto porque, cada criança iria ser representada no gráfico por um quadrado da cor da sua barra, com a sua fotografia no meio. Assim, durante o resto da semana, preparámos os materiais para a construção do nosso gráfico das alturas (desenhámos e recortámos os quadrados, colámos a fotografias, preparámos a base do gráfico…).
Quando se terminou os materiais, as crianças tomaram uma decisão: T.: “Podemos montá-lo todos juntos.”
S.: “Boa, no tapete.”
Joana: “Assim, podiam apresentar o que fizeram ao mesmo tempo que iam construindo o gráfico.”
X.: “E víamos todos juntos quem são os mais altos.”
Esta decisão foi importante, para que todas as crianças tivessem um momento para compreender o que se estava a fazer e para pararem e verem as repostas dadas pelos resultados recolhidos.
160 P.: “Olha há uma barra pequenina, uma grande e duas iguais.”
S.: “Pois quer dizer que há mais meninos aqui e menos ali.” (diz apontando) M.: “E quem é mais alto sou eu e o L.R.”
T.: “Olha e os mais baixos são só meninas. É a C., a I., a L., a M.L., a T. e a Is.” Pe.: “E os rapazes?”
S.: “Há mais rapazes na barra grande, só lá está uma menina a Cr.”
Quanto à modelação matemática, podemos analisar o processo por que passaram as crianças, através do ciclo.
Figura 3: Análise da tarefa, através do ciclo de modelação matemática.
Ao observarmos a figura 3, percebemos que esta tarefa percorreu todo o ciclo de modelação matemática e no retorno à realidade não houve muitas dúvidas, talvez por ser uma questão levantada pelas crianças, ou talvez por o modelo matemático estar expresso através de uma representação visual, que permite uma interpretação mais direta.
Esta foi uma tarefa, onde se obteve um único modelo matemático e estratégia de organização de dados, pois foi realizado em pequeno grupo e depois, apresentado ao grande grupo. Assim, o pequeno grupo teve de chegar a um consenso e decidir qual seria a melhor forma de organizar os dados, para que fosse fácil de consultar por todos.
Através do pequeno diálogo anterior e de todo o processo de organização e tratamento de dados, conseguimos perceber que é muito importante que as crianças participem de todo este processo, para que compreendam as suas representações e consigam responder e formular questões sobre os dados (Castro & Rodrigues, 2008).
161 Também conseguimos compreender a importância de utilizarmos este domínio da matemática, na resposta a questões das crianças e se forem diretamente sobre elas, mais as motivamos e mais se interessam pelo trabalho, pois quererão chegar às respostas e como observámos no último diálogo, até levantam mais questões.
Por fim, afixámos o trabalho na parede (ver figura 4), para que as crianças pudessem consultar