Dificuldades na Posição Intuicionista

De modo geral, para os intuicionistas naturais, as regras de dedução natural e, em particular, as regras de introdução são pensadas como uma forma de apresentar a chamada

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Natural deduction embodies the operational or computational meaning of the logical connectives and quantifiers.

The meaning explanations are given in terms of the immediate grounds for asserting a proposition of corresponding form. There can be other, less direct grounds, but these should be reducible to the former for a coherent operational semantics to be possible. The "BHK-conditions" (for Brouwer-Heyting-Kolmogorov), which give the explanations of logical operations of propositional logic in terms of direct provability of propositions, can be put as follows:

1. A direct proof of the proposition A_∧B consists of proofs of the propositions A and B.

2. A direct proof of the proposition A∨B consists of a proof of the proposition A or a proof of the proposition B. 3.A direct proof of the proposition A→B consists of a proof of the proposition B from the assumption that there is a proof of the proposition A.

4. A direct proof of the proposition ⊥ is impossible.

interpretação BHK das constantes lógicas, como acabamos de ver na citação. Parece-nos que essa interpretação pode ser questionada em alguns pontos.

Se assumíssemos que as regras de dedução natural representam, de forma estrita, o conceito de prova, é difícil ver sob qual justificativa seria preciso manter, em algumas das regras, restrições às suposições das quais dependeriam a[s] premissa[s] imediata[s] da regra.37 Na definição de um conceito estrito de prova as suposições poderiam ser dispensadas, pois, a princípio, uma prova não deve depender de algo que não seja uma asserção legítima, a menos que os conceitos de suposição e de premissa fossem considerados conceitos equivalentes.

Outra questão que nos ocorre diz respeito à definição do conceito estrito de prova. Como uma asserção significa, segundo os intuicionistas, o compromisso com o fato da posse da prova, então, parece-nos, que o símbolo de asserção deveria ser empregado diretamente para falar da posse de uma prova. Assim, segundo esta observação, a regra de introdução da conjunção deveria ser formulada da seguinte forma:

caso ⊢A1 e ⊢A2, então ⊢A1∧A2

De forma extensa, essa expressão deveria ser lida do seguinte modo: para estar de posse de uma

prova de A1∧A2 é suficiente estar de posse de uma prova de A1 e de uma prova de A2. Além

disso, como não há outra cláusula da mesma natureza para a fórmula A1∧A2,, a cláusula acima

será considerada necessária no sentido de que só haverá uma forma direta de provar A1∧A2. Mas,

adotando esse tipo de formulação, logo se apresentaria o problema de saber como formular a cláusula para a implicação. Provavelmente, seríamos obrigados a formular a regra da seguinte forma:

caso _⊢A1⇒ ⊢A2, então ⊢A1→A2

Ocorre que o símbolo ⇒ já não poderia mais ser interpretado como uma prova pura e simples. Aliás, essa é provavelmente a razão pela qual, na interpretação BHK, diz-se que a condição para asserir A1→A2 é justamente a posse de um procedimento ou construção que nos levaria da prova

de A1 à prova de A2. Esse procedimento estaria sendo representado na cláusula pelo símbolo ⇒.

Mas, deveríamos nos perguntar: qual a natureza desse procedimento? Se esse procedimento não fosse ele mesmo uma prova, então a definição do conceito de prova dependeria de um conceito ainda mais primitivo? Dependeria do conceito de procedimento ou, eventualmente, do conceito

37 _{Principalmente os casos de i}∀ _{e e}∃_{. Ver regras na Figura A - 6 do Apêndice. Notamos também que Prawitz} [Pra65] diferenciava as regras em duas categorias: as regras de inferência (próprias) e as regras de inferência impróprias. A essas últimas ele também chamava de regras de dedução. Nesse grupo estão incluídas as duas regras mencionadas.

de construção? Se quiséssemos dizer que, na verdade, esse procedimento também é uma prova, incorreríamos no problema de saber o que vem a ser o uso de uma suposição ou hipótese em uma prova estrita. Mais ainda, seria preciso explicar o que significa supor ⊢A1.

Considere-se que a estrutura abaixo seja a estrutura da regra de i→:

[⊢A]j  ⊢B ———j i→ ⊢A→B Figura I-438

Dado que, da perspectiva do intuicionismo, a asserção e a posse da prova estão conceitualmente conectadas, se repararmos na citação de Negri & Von Plato, veremos que a conclusão A→B de uma i→ será asserida/provada (⊢A→B) quando a premissa imediata B é asserida/provada (⊢B) sob uma suposição: sob a pressuposição da posse da prova de A. Mas, até onde vemos, para que essa pressuposição faça sentido, é preciso admitir que A está sendo asserida. Dito de outro modo, a proposição A deveria estar sendo asserida, embora sua prova esteja sendo (pre) suposta, pois, de outro modo, se A não estivesse sendo asserida, a passagem da suposição A à asserção de B transformaria algo que não é asserido (A) em algo que é asserido (B) e não poderíamos ver como exatamente se daria essa passagem. De duas uma: ou as proposições A e B ambas não estão sendo asseridas; ou ambas estão sendo asseridas e, assim, deveríamos concluir que é perfeitamente possível asserir uma proposição A sem estar de posse da sua prova.

Considerando agora o caso das restrições de aplicabilidade para as regras de introdução, na formulação das cláusulas para os quantificadores, se uma noção estrita de prova fosse empregada, deveríamos concluir que não haveria mais necessidade de uma restrição especial sobre a aplicabilidade da regra i∀. Lembramos que, nessa regra, o parâmetro individual próprio da regra não pode ocorrer em nenhuma suposição aberta da qual a premissa imediata de i∀ dependa. Todavia, temos a impressão que, se a premissa imediata A estivesse sendo asserida na dependência de uma lista de suposições Γ, as suposições também deveriam estar sendo asseridas e suas provas sendo supostas. Nesse caso, talvez, já pudéssemos considerar a asserção das suposições como garantia suficiente para aplicar i∀ e obter ∀xA[a/x]. Ou seja, talvez a cláusula pudesse ter sido formulada sem restrições sobre o parâmetro individual, do seguinte modo:

caso _{⊢A, então ⊢}∀xA[a/x]

Ilustramos o problema lembrando a formulação de Mendelson ([Men79], págs. 59-63) para a regra de generalização. Ele define a lógica de primeira ordem usando a seguinte regra de inferência:

⊢A

 Gen ⊢∀xA[a/x]

Figura I-5

Contudo, como ele mesmo observa, ao definir o sistema usando uma regra dessa natureza, o teorema da dedução já não seria mais imediatamente válido. Isso, desde o ponto de vista dos sistemas de dedução natural, significaria que a regra i→ já não seria mais válida! O que ocorre é que a regra acima poder ser considerada uma regra de inferência correta, mas ela não pode ser considerada uma regra de dedução correta, pois a premissa imediata deve ser asserida39. Quando a aplicação da regra estiver restringida às premissas que sejam teoremas de uma teoria de primeira ordem, ela será uma inferência correta. Entretanto, usualmente, não consideraríamos correto aplicar a regra se a premissa imediata fosse simplesmente uma hipótese ou suposição.

Mas, se se trata de caracterizar o conceito de prova, nos perguntamos por que os intuicionistas também não poderiam simplesmente formular uma regra similar à regra de Mendelson, se for verdade que na concepção intuicionista qualquer que seja a suposição usada para inferir a premissa imediata A da regra envolveria no máximo a suposição da posse de uma prova e a respectiva asserção de uma proposição, conforme a citação anterior de Negri & Von Plato. A impressão que temos é a de que a adição de uma prova qualquer sobre as suposições acabaria finalmente por fechar todos os parâmetros das suposições e a restrição sobre o parâmetro individual perderia seu sentido.

A questão pode ser respondida, como veremos a seguir, mas não estamos seguros de que a resposta que ofereceremos corresponde à posição intuicionista.

A nosso ver, parte do problema encontra-se na concepção do conceito intuicionista de suposição. Retomando o problema da implicação, sob as condições BHK, a definição do conceito de prova requer uma construção que leve da prova de A à prova de B, para que seja possível provar A→B. Mas, na verdade, o tipo mais comum de construção que leva de uma prova a outra é o que costumamos chamar de dedução e não está estabelecido a priori que uma dedução seja o mesmo que uma prova. Intuitivamente, quando desejamos provar uma implicação, costumamos lançar uma suposição que será descartada ao fim da seqüência dedutiva. Contudo, parece-nos que, para alguns intuicionistas ao menos, o conceito do que é uma suposição é um conceito que

difere do que muitas pessoas costumam entender por isso. Para um intuicionista, a suposição de A parece ser, mais do que a suposição da provabilidade de A. Talvez seja equivalente a suposição da posse da prova de A. Da forma como o vemos, essa posição apareceria em alguns autores, como Martin-Löf.

Notamos que Martin-Löf ao buscar esclarecer o conceito de prova nos anos oitenta, adotou um conceito de prova híbrido. Conjecturamos que ele pretendia, desse modo, encaixar o conceito de suposição sob o conceito de prova. A caracterização dos conceitos de suposição e de

prova hipotética aparecem na citação abaixo (cf. [Mar96] III conferência):

A palavra grega ύ π ό θ ε σ ιζ

hipótese, foi traduzida em latim suppositio, suposição, e ambas significam o mesmo que assunção. Agora, qual é a regra para fazer assunções, de modo geral? É simples. Sempre que você tem um julgamento no sentido em que eu estou usando a palavra, isto é, um julgamento no sentido de uma instância de uma forma de julgamento, então foi estabelecido o que você deve conhecer de modo a ter o direito de fazê-lo. E isso significa que faz perfeito sentido assumi-lo, o que é o mesmo que assumir que você o conhece, o que, por outro lado, é o mesmo que assumir que você o provou. Porquê é o mesmo que assumir que você o conhece? Por causa da convenção constante tácita de que a força epistêmica, Eu conheço ..., está lá, mesmo se ela não foi explicitada. Assim, quando você assume algo, o que você faz é assumir que você o conhece, isso é, que você o provou. E, para repetir, a regra para fazer assunções é simplesmente essa: sempre que você tem um julgamento, no sentido de uma instância de uma forma de julgamento, você pode assumi-lo. Isso da surgimento à noção de julgamento hipotético e à noção de prova hipotética, ou prova sob hipóteses.40

Como vemos, além de adotar o conceito de prova hipotética, Martin-Löf também identifica os conceitos de suposição, hipótese e assunção41. No entanto, essa identificação nos parece questionável. Poderíamos até admitir que assumir uma proposição, ou julgamento, que é o termo que ele usa, é o mesmo que assumir que ela é verdadeira, o que, segundo a compreensão intuicionista, equivaleria a assumir a posse de uma prova da proposição. Porém, se identificamos o ato de supor com o ato de assumir, parece-nos que, em seguida, deveríamos considerar que o ato de supor equivale ao ato de supor a posse de uma prova. Mas isso é estranho. Por exemplo, é possível supor (contrafactualmente) que π seja racional. Contudo, já não vemos muito bem por

40 _{The Gr.} ύ π ό θ ε σ ιζ

hypothesis, was translated into Lat. suppositio, supposition, and they both mean the same as assumption. Now, what is the rule for making assumptions, quite generally? It is simple. Whenever you have a judgment in the sense that I am using the word, that is, a judgment in the sense of an instance of a form of judgment, then it has been laid down what you must know in order to have the right to make it. And that means that it makes perfectly good sense to assume it, which is the same as to assume that you know it, which, in turn, is the same as to assume that you have proved it. Why is it the same to assume it as to assume that you know it? Because of the constant tacit convention that the epistemic force, I know ..., is there, even if it is not made explicit. Thus, when you assume something, what you do is that you assume that you know it, that is, that you have proved it. And, to repeat, the rule for making assumptions is simply this: whenever you have a judgment, in the sense of an instance of a form of judgment, you may assume it. That gives rise to the notion of hypothetical judgment and the notion of hypothetical proof, or proof under hypotheses.

que isto seria exatamente o mesmo que supor que conhecemos que π é racional ou, ainda, supor que temos a posse da prova da racionalidade de π. Segundo Martin-Löf, dada a identificação entre assumir e supor, os atos de supor p e de supor que conhecemos p seriam atos idênticos. Veja que podemos supor que está chovendo lá fora, assim como podemos supor que conhecemos/sabemos que está chovendo lá fora, mas essas suposições são de natureza distinta. Esse ponto é delicado e, de certo modo, esse problema continuará sendo objeto de nossa atenção nos próximos capítulos.

Todavia, Matin-Löf parece reconhecer a necessidade de empregar um outro conceito distinto do conceito de prova estrita dentro do arcabouço intuicionista, um conceito que permita tratar as suposições. Da forma como o interpretamos, esse seria o papel do conceito de prova hipotética (cf. [Mar96] III conferência):

Agora, de modo geral, uma prova de um julgamento hipotético, ou conseqüência lógica, é nada mais que uma prova hipotética da tese, ou conseqüente, a partir das hipóteses, ou antecedentes. A noção de prova hipotética, por sua vez, a qual é uma noção primitiva, é explicada dizendo que ela é uma prova a qual, quando suplementada com provas das hipóteses, ou antecedentes, torna-se uma prova da tese, ou conseqüente. Assim a noção de prova categórica precede a noção de prova hipotética, ou inferência, na ordem de prioridade conceitual.42

Não obstante, a tese expressada, além de não ser muito clara, nos parece problemática. A tal prioridade conceitual nos parece de fato bem obscura. De um lado, para explicar o que é a prova de uma implicação, é preciso lançar mão do conceito de prova hipotética, mas, de outro, o conceito de prova (estrita) tem precedência conceitual sobre o conceito de prova hipotética. Preferiríamos, particularmente, dizer que aquilo que Martin-Löf chama de prova hipotética é, na verdade, uma dedução. Deduções têm o poder de transformar as provas das premissas em prova da conclusão. Mas deduções não são provas, embora possam estar presentes numa prova.

Na interpretação proposta por Martin-Löf (cf. [Mar96] III conferência), a regra i→ requereria como condição de asseribilidade da conclusão A→B uma prova hipotética levando da asserção de A até a asserção de B43. Ou seja, se usássemos o símbolo ⊢ para representar as provas hipotéticas, à esquerda dele poderíamos, ou até deveríamos, listar as proposições assumidas.

42

Now, quite generally, a proof of a hypothetical judgement, or logical consequence, is nothing but a hypothetical

proof of the thesis, or consequent, from the hypotheses, or antecedents. The notion of hypothetical proof, in turn, which is a primitive notion, is explained by saying that it is a proof which, when supplemented by proofs of the hypotheses, or antecedents, becomes a proof of the thesis, or consequent. Thus the notion of categorical proof precedes the notion of hypothetical proof, or inference, in the order of conceptual priority.

43 _{Essa nos parece ser a forma adequada de interpretar a formulação da regra i}→ _{formulada da seguinte forma na} mesma conferência: teremos A→B true, quando obtemos B true da suposição A true. É também preciso levar em

conta que, para este autor, nesta mesma conferência, os julgamentos A true e (A true) is provable são logicamente equivalentes no sentido de inter-inferíveis.

Assim, a noção de prova hipotética formulada de modo clausal com listas de proposições assumidas Γ e ∆ seria:

(i) caso Γ⊢A1 e ∆⊢A2, então Γ,∆⊢A1∧A2

(ii) caso Γ,A1⊢A2, então Γ⊢A1→A2

(iii) caso Γ_{⊢A, então} Γ_⊢∀xA[a/x]

(iv) caso Γ_⊢A1 ou Γ⊢A2, então Γ⊢A1∨A2

(v) caso Γ⊢A, então Γ⊢∃xA[a/x]

Ainda assim, parece-nos, restariam algumas questões importantes a serem examinadas. Primeiro, o que significaria, mais precisamente, dizer que uma prova está sendo suposta? Poderíamos supor uma prova que sabemos não existir? Segundo, no caso da cláusula (iii), já que estaríamos supondo a posse da prova de todas as fórmulas de Γ, existiria a necessidade de fazer uma restrição sobre o parâmetro a?

Não negamos que existam formas de aplicar o conceito de prova hipotética às provas reais. De fato, poderíamos dizer que a proposição assumida está sendo asserida porque temos a posse da prova, mas, por alguma razão, não queremos ou não podemos exibi-la por enquanto. Existe material histórico apresentando situações de prova que se encaixam nessa descrição. Todavia, o que nos parece duvidoso é que todos os argumentos de natureza dedutiva possam ser pensados neste quadro interpretativo.

A nosso ver, um axioma pode ser assumido, porém é muito difícil aceitar que os axiomas possam ser provados, ao menos não no mesmo sentido em que os teoremas o são. A interpretação de que as suposições são certas asserções nas quais a prova está sendo suposta aplica-se de forma justa a um caso especial do emprego de lemas no decorrer da prova de um teorema. Ao provar axiomaticamente um teorema, não se requer que o lema empregado seja acompanhado da sua respectiva prova. Inclusive, algumas vezes, os lemas empregados são tais que a sua prova é suposta e a prova do teorema prossegue sem que esta suposição tenha sido comprovada. Historicamente, isso parece ter sido o caso na geometria. Heath diz que ([Hea21], pág. 373):

A palavra lema (ληµµα) simplesmente significa alguma coisa assumida. Arquimedes a usa naquilo que agora é conhecido como Axioma de Arquimedes, ...; mas ela é mais comumente usada com uma proposição subsidiária requerendo prova, a qual, no entanto, é conveniente assumir no local onde ela é necessária de modo a que o argumento não seja interrompido ou estupidamente estendido. Tal lema poderia ter sido provado antecipadamente, mas a prova é

freqüentemente posposta até o fim, sendo a assunção marcada como algo que deve ser provado posteriormente...44

Temos a impressão de que a noção de prova intuicionista dependeria da noção mais primitiva de prova hipotética ou, quem sabe, até do conceito de procedimento/construção. Nesse caso, o conceito estrito de prova seria apenas um conceito derivado. Mas, se é para adotar o conceito de prova hipotética, não vemos por que simplesmente não manter a prática usual de empregar o conceito de dedução em seu lugar. É o que procuraremos fazer a seguir, na próxima secção. Mas, antes disso, voltemos mais uma vez nossa atenção ao conceito de asserção.

Com respeito ao conceito de asserção intuicionista, outra dificuldade interpretativa parece surgir. Para os intuicionistas, mas também para vários não-intuicionistas, deve haver alguma forma de asserir formas proposicionais.45 A seguinte passagem de Heyting parece comprovar isso ([Hey56], págs. 98 e 99):

Uma fórmula lógica com variáveis proposicionais, digamos U(p,q,...), pode ser asserida, se e somente se U(p,q...) pode ser asserida para proposições arbitrárias p,q,...; isso é se nós possuímos um método de construção que por especialização gera a construção requerida por U(p,q...).46

Todavia, o uso corrente da linguagem não nos permitiria asserir uma expressão que contenha uma variável livre ou parâmetro47. Considere-se que, para aqueles que acreditam na existência de Deus, bem pode ser verdade que Deus ame todas as coisas. Nem por isso as expressões "Deus

ama fulano"48

, "Deus ama a" e "B→Deus ama todas as coisas" poderiam ser asseridas.

Embora, Heyting seja consistente com a definição que havia dado para as asserções, ou seja, a de que as asserções são um compromisso com o fato de que uma construção foi efetuada, é estranho considerar que uma forma proposicional como A→(A∨B) possa ser asserida se não sabemos o que é A e o que é B. A menos que a palavra asserção ganhe um novo significado no âmbito da lógica ou no âmbito do intuicionismo, parece-nos difícil aceitar a asserção de formas

44 _{The word lemma (}ληµµα_{) simply means something assumed. Archimedes uses it of what is now know as the Axiom}

of Archimedes, ...; but it is more commonly used of a subsidiary proposition requiring proof, which, however, it is convenient to assume in the place where it is wanted in order that the argument may not be interrupted or unduly lengthened. Such a lemma might be proved in advance, but the proof was often postponed till the end, the assumption being marked as something to be afterwards proved...