Os Intuicionistas e os Sistemas de Dedução Natural

Os sistemas de dedução natural voltaram a ser novamente bastante investigados a partir dos anos 60, mas de modo freqüentemente associado às teses intuicionistas/construtivistas. Examinaremos brevemente que interpretações recebem as regras dos sistemas de dedução natural nessa ótica. Designaremos como intuicionistas naturais aqueles autores que tratam dos sistemas de dedução natural adotando um ponto de vista que se filia ao intuicionismo. Em comum, todos rejeitam os princípios de dedução indireta como meio adequado de prova. Tais princípios de dedução indireta são a regra de cancelamento da dupla negação, o terceiro excluído, a regra

consequentia mirabilis e o princípio de redução de Russell. Entre os intuicionistas naturais

certamente incluímos Dummett, Martin-Löf e Prawitz. Incluímos Heyting também, na medida em que ele é o pai da lógica intuicionista. Para uma amostra do que seriam os pontos de vista dos intuicionistas naturais arrolamos, dentre muitas possibilidades, o seguinte material bibliográfico: [Dum91], [Mar96] e [Pra74].

Como já dissemos, nesta tese assumiremos que uma asserção é um ato de compromisso com a verdade de um conteúdo proposicional25. Embora a noção de asserção seja uma noção de conceituação complexa, acreditamos que a simplicidade do ponto de vista expressado nos permitirá fazer uma série de considerações acerca da relação entre as regras de dedução e as asserções e, em particular, nos permitirá analisar o ponto de vista intuicionista. Contudo, antes, seria adequado fazermos uma brevíssima incursão histórica sobre o conceito de asserção.

Provavelmente, a mais forte influência sobre a tradição lógica do século XX tenha sido aquela cristalizada em Principia Mathematica. Nele as asserções são apresentadas como os objetos sobre os quais são feitas as inferências ([Whi10], pág. 9):

Inferência. O processo de inferência é como se segue: uma proposição "p" é asserida, e uma proposição "p implica q" é asserida, e então em seqüência a proposição "q" é asserida. Aceitar a inferência é acreditar que se as duas primeiras asserções não estão erradas, a asserção final não está errada..26 Esse conceito de asserção presente em Principia Mathematica seria oriundo da concepção fregeana acerca dos julgamentos, na opinião de Martin-Löf ([Mar96], Ia conferência). Segundo ele, ao traduzir a palavra julgamento do alemão para o inglês, Russell teria preferido, por uma série de razões, usar o termo asserção.

Frege, na sua Begriffsschrift [Fre79], havia introduzido o símbolo ⊢ aplicado na frente de uma proposição ou conteúdo judicativo p para significar a afirmação de p. O símbolo ⊢ seria um composto de dois traços. O traço horizontal, chamado traço de conteúdo, era usado para representar o conteúdo judicativo, e o traço vertical, chamado traço judicativo ou traço afirmativo, para representar uma atitude com respeito ao conteúdo judicativo: a atitude de que esse conteúdo expressa um fato ([Fre79], págs. 11-13). É interessante notar que Frege fará, claramente, em seus escritos posteriores, uma distinção tripla ([Fre18I], pág. 15). Ele distinguirá a apreensão do pensamento - o pensar (equivalente à proposição); o reconhecimento da verdade do pensamento - o julgar; e a manifestação deste juízo - o asserir. Em particular acerca do papel da lógica dirá que a tarefa da lógica consiste em formular leis pelas quais um juízo é justificado por meio de outros, independentemente de eles serem em si mesmos verdadeiros ([Fre69], pág. 96).

Os intuicionistas, desde Heyting pelo menos, adotam um ponto de vista, acerca da natureza da relação entre as inferências e as asserções, que é uma variante daquela que encontramos em Principia Mathematica. Aliás, segundo consta, Heyting formulou a lógica intuicionista a partir de um exame dos Principia Mathematica, rejeitando aqueles princípios que não fossem adequados ao ponto de vista intuicionista, conforme Mancosu ([Man98], pág. 281). Se essa foi efetivamente a estratégia empregada, existe alguma probabilidade de que o conceito de asserção intuicionista seja um descendente direto do conceito de asserção que aparece em

Principia Mathematica. Naturalmente, a concepção que os intuicionistas têm acerca da verdade e

26 _{Inference. The process of inference is as follows: a proposition "p" is asserted, and a proposition "p implies q" is}

asserted, and then as a sequel the proposition "q" is asserted. The trust in inference is the belief that if the two former assertions are not in error, the final assertion is not in error.

da justificativa de uma asserção difere da concepção que um lógico clássico admitiria. Como veremos, para os intuicionistas, as asserções só poderão ser entendidas como um ato de compromisso com a verdade na medida em que a verdade é entendida como consistindo da posse de uma prova.

Intuicionisticamente, uma asserção matemática afirmaria o fato de que uma certa construção matemática, uma prova, foi efetuada ([Hey56], pág. 3). Já em um de seus primeiros escritos sobre a lógica intuicionista, Heyting relacionava os conceitos de asserção e proposição da seguinte forma ([Hey30], pág. 307):

Uma proposição p ... expressa um problema, ou melhor ainda, uma certa expectativa, qual pode ser preenchida ou desapontada. A asserção de p tem, na lógica clássica, o significado "p é verdadeiro"; essa "asserção clássica" designa um fato transcendente da natureza que não se conforma com as idéias intuicionistas. ... Ninguém escapa dessa crítica trocando, como o sr. Levy, "p é verdadeiro" por "p is demonstrável", já que essa última sentença, sendo equivalente a "existe uma prova de p", implica novamente a idéia de uma existência transcendente. Para satisfazer as demandas intuicionistas, a asserção deve ser a observação de um fato empírico, isso é, da realização de uma expectativa expressada pela proposição p. Aqui, então, está a asserção brouweriana de p: Sabe-se como provar p. ... A palavra "provar" deve ser tomada no sentido de "provar por construção".... Queremos observar mais uma vez, na lógica clássica como na lógica intuicionista, a asserção de uma proposição não é ela mesma uma proposição, mas a observação de um fato. Na lógica clássica é um fato transcendente; na lógica intuicionista é um fato empírico.27

Da forma como interpretamos Heyting, a observação intuicionista do fato empírico relacionado a uma proposição p asserida consistiria, para proposições matemáticas, exatamente em construir (no espaço e) no tempo uma prova da proposição p.28

Suponhamos, a seguir, que a natureza das asserções seja realmente a de ser um ato de compromisso com outros falantes, um compromisso de estar dizendo a verdade ou, pelo menos,

27 _{A proposition p ...expresses a problem, or better yet, a certain expectation, which can be fulfilled or disappointed.}

The assertion of p has, in classical logic, the meaning "p is true"; this "classical assertion" designates a transcendent fact of nature that does not conform with the intuitionistic ideas. ... One does not escape from this criticism by replacing, with Mr. Levy, "p is true" by "p is provable", since this last sentence, being equivalent to "there exists a proof of p", implies again the idea of transcendent existence. To satisfy intuitionistic demands, the assertion must be the observation of an empirical fact, that is, of the realization of the expectation expressed by the proposition p. Here, then, is the Brouwerian assertion of p: It is know how to prove p. ... The words "to prove" must be taken in the sense of "to prove by construction".... Let us remark once more that, in classical logic as in intuitionistic logic, the assertion of a proposition is not itself a proposition, but the observation of a fact. In classical logic it is a transcendent fact; in intuitionistic logic it is an empirical fact.

28 _{Talvez a referência ao espaço colocada entre parênteses não corresponda exatamente à posição intuicionista, pois} as construções são consideradas como construções mentais (embora, por outro lado, seja difícil pensar que uma mente não esteja circunscrita a uma certa região espacial). Todavia, aqueles que não acreditam em telepatia dificilmente poderiam aceitar que os seres humanos trocariam construções mentais sem fazer interferir pelo menos um traço espacial destas construções, por exemplo, desenhos em uma folha de papel. Assim, talvez a referência ao espaço não seja de todo imprópria, pois a justificação de uma asserção a outrem requereria a apresentação dos traços de uma prova.

um compromisso de apresentar justificativas desde que o pedido de justificativas seja razoável29. Desse ponto de vista, dificilmente poderíamos considerar que a observação de um fato fosse um ato dessa natureza, pois observação e compromisso são dois atos humanos distintos. Entretanto, não se poderia negar que, intuitivamente, uma asserção verdadeiramente correta requereria que um fato realmente tivesse sido observado, pois, só assim, aquele que assere estaria, em princípio, de posse da faculdade de justificar sua asserção, de cumprir o compromisso assumido de estar dizendo a verdade. Se uma asserção envolve um compromisso de estar apresentando um fato, esse compromisso só não será um ato falhado caso o fato tenha sido realmente observado de antemão. No que tange às asserções matemáticas (os teoremas), o compromisso com a verdade só poderia ser sustentado frente a um interlocutor que demandasse justificativas caso o proponente estivesse de posse de uma prova. Aliás, usualmente, no âmbito da matemática, uma asserção nem sequer seria considerada caso já não viesse automaticamente acompanhada de uma prova. Assim, se nossas suposições são plausíveis, teríamos desse modo uma explicação de como e por que poderia haver surgido a tese intuicionista acerca da natureza das asserções.

Como dizíamos, a asserção de uma proposição, do ponto de vista intuicionista, está intimamente ligada à posse de uma prova ou construção. Isso explica por que, usualmente, os autores de tendências intuicionistas interpretam as regras de raciocínio como regras para a asserção de uma conclusão ou para a construção de uma prova30 (p. ex. [God70] pág. 101 ou [Pra77] pág. 26). Essa interpretação da origem àquilo que se convencionou chamar de interpretação BHK (por Brouwer-Heyting-Kolmogorov) das constantes lógicas31. Do ponto de vista dos intuicionistas naturais, em particular, as regras de introdução seriam na verdade uma forma de explicitar o significado das constantes lógicas presentes em uma asserção e estariam em correspondência com essa interpretação BHK, como veremos em breve.

Desde a perspectiva intuicionista, a elucidação das operações lógicas por meio das regras tomaria um viés epistemológico, a elucidação das operações consistiria basicamente da apresentação de um sistema que mostrasse como é obtida a prova de uma asserção que contém uma determinada constante como símbolo principal. Em outros termos, a elucidação consistiria da apresentação de um sistema mostrando como se verificam/justificam as asserções; particularmente, como se verificam/justificam as asserções logicamente complexas a partir da verificação/justificação das asserções mais simples. Creio que, nesse sentido, podemos dizer que

29 _{Em certas situações, um pedido de justificativas da asserção pode não ser razoável, como no caso de pedir} justificativas a alguém que afirma estar em iminente perigo de vida.

30 _{Embora isso não seja exclusividade dos lógicos intuicionistas.}

as regras seriam vistas como regras que preservariam a prova/provabilidade, já que a posse da verdade para os intuicionistas é equivalente à posse de uma prova.32

Todavia, diferentemente dos intuicionistas, assumiremos nesta tese que um dos conceitos chaves da lógica é o conceito de argumento válido. Ou ainda, assumiremos que esse conceito deve ser considerado mais básico que o conceito de prova. Da forma como o vemos, em geral, por meio de um argumento, ofereceríamos a justificativa de uma asserção, chamada de

conclusão, tomando como ponto de partida outras asserções, chamadas de premissas.

Tradicionalmente, considera-se que um argumento válido a partir de um certo rol premissas está associado a uma certa seqüência de sentenças em que cada uma das sentenças é ou uma dessas premissas ou segue-se logicamente das sentenças precedentes. Em seguida, como um conceito derivado, é possível definir o conceito de prova como um tipo peculiar de argumento. Assim, se o objetivo de um argumento for o de justificar uma afirmativa, as provas poderiam ser definidas como certos argumentos dedutivos válidos cuja justificação atinge um grau máximo de certeza. Idealmente, uma prova intitularia qualquer pessoa a fazer uma asserção, a efetuar o compromisso de estar dizendo a verdade. Uma prova seria simplesmente um argumento válido cujas premissas são elas mesmas provadas ou pelo menos intuitivamente evidentes. Dito de outro modo, uma prova seria um argumento válido cuja conclusão não dependeria de nenhuma asserção que já não seja evidente ou que já não tenha sido provada.

Mas há uma outra forma de interpretar a relação entre os argumentos e as provas, uma forma que inverte exatamente a ordem das prioridades. Segundo este ponto de vista, argumentos válidos também poderiam ser pensados como certos procedimentos que permitiriam transformar as provas das premissas em uma prova da conclusão. Essa seria, grosso modo, a interpretação em geral favorecida pelos intuicionistas naturais, por exemplo, Prawitz ([Pra77], pág. 26).

Os intuicionistas naturais não parecem dispostos a aceitar a armadura conceitual em que a primazia caberia aos argumentos. Até onde podemos ver, isso se deveria ao fato de eles considerarem problemática a forma, corrente na literatura, de caracterizar como e quando uma sentença segue-se de outra. Prawitz, por exemplo, expressa sua inconformidade do seguinte modo ([Pra78], págs. 25 e 26):

Uma teoria do significado muito influente é a platônica, a qual identifica o significado de uma sentença com as suas condições de verdade: a semântica se torna aqui essencialmente constituída por uma teoria da verdade, a qual é tomada como sendo antecedente a questão de como nós chegamos a conhecer as verdades (questões de prova). Essa perspectiva está freqüentemente conectada com a idéia de que quando as noções de verdade e verdade lógica são arranjadas dessa forma, uma prova (a partir de hipóteses), ou mais geralmente, um

argumento válido (a partir de hipóteses) pode ser entendido como uma seqüência de sentenças onde cada sentença (é ou uma hipótese ou) segue-se logicamente das sentenças precedentes. Essa última idéia é obviamente insustentável (embora pareça ser encorajada por muitos livros-texto de lógica). É verdade que a questão de se alguma coisa é uma prova deve depender do significado das sentenças envolvidas. E obviamente um argumento válido deve preservar a verdade. Mas a preservação da verdade claramente não é uma condição suficiente para a validade; ninguém iria considerar, por exemplo, os axiomas de Peano seguidos do último teorema de Fermat como uma prova, mesmo se de fato esse teorema segue-se daqueles axiomas. Como todo examinador salienta, não é suficiente que ocorra de os passos da prova sigam os precedentes, deve também ocorrer que seja visto que eles seguem....33

Assim, em resumo, aquilo que pareceu criticável a Prawitz é exatamente a aplicação da noção tradicional de conseqüência semântica tarskiana, empregada para dizer quando uma sentença segue-se da outra sem, ao mesmo tempo, fazer ver como isso se dá. Tendemos a concordar com a crítica de Prawitz quando ela visa basicamente o alcance do papel elucidatório que teria o conceito de conseqüência semântica tarskiana. Mas isso não significa que a posição que dá o centro da cena ao conceito de argumento válido não possa de algum modo ser mantida, apesar da crítica. Aliás, parece-nos que boa parte do problema está no significado que atribuímos ao conceito de argumento. Esse conceito envolve originalmente a atividade de um sujeito em comunidade com outros e é razoável entender que, por esta razão, em certas situações, a atividade de argumentação tem um papel epistemológico relevante.

Em decorrência dessa crítica e assumindo que o conceito de prova seja o conceito primitivo, alguma vez Prawitz buscou uma definição para o conceito de argumento válido que estivesse intrinsecamente conectado ao conceito de prova, mais precisamente ao conceito de prova canônica ([Pra78], p. 33):

Inferências que dão surgimento aos argumentos canônicos do modo descrito acima são chamadas introduções. Em outras palavras, uma introdução é uma inferência tal que o resultado de aplicá-la a certas provas das premissas é, assim como estão, uma condição suficiente para asserir a conclusão. Uma inferência que não produz por si mesma uma condição suficiente para asserir a conclusão

33 _{A most influential theory of meaning is the Platonistic one, which identifies the meaning of a sentence with its}

truth-conditions: semantics becomes here essentially constituted by a theory of truth, which is taken to be prior to questions of how we get to know the truths (e.g. questions of proofs). This view is often connected with the idea that when the notions of truth and logical truth are settled in this way, a proof (from some hypotheses), or more generally, a valid argument (from hypotheses) can be understood as a sequence of sentences where each sentence (is either an hypothesis or) follows logically from the preceding sentences. The latter idea is obviously untenable (although it seems to be encouraged by many textbooks of logic). It is true that the question whether something is a proof must depend on the meaning of the sentences involved. And obviously a valid argument must preserve truth. But the preservance of truth is clearly not a sufficient condition for validity; nobody would consider e.g. Peano's axioms followed by Fermat's last theorem as a proof, even if in fact Fermat's last theorem follows from these axioms. As every examiner stresses, it is not enough that the steps of a proof happen to follow from the preceding ones, it must also be seen that they follow....

desse modo mas que é correta em virtude de um método para transformar provas das premissas em uma prova da conclusão é chamada de eliminação.34

Aqui, basicamente, os argumentos são tratados como construções que transformariam uma prova em outra. Ora, como já vimos, parece fazer parte do método intuicionista substituir o conceito de posse da prova naqueles lugares onde normalmente empregaríamos o conceito de verdade. Assim, argumentos já não seriam mais preservadores da verdade, mas qualquer coisa como transformadores de prova. Aliás, reparamos que, no entanto, o conceito de preservação da provabilidade não serve aos intuicionistas, à medida que uma afirmação de provabilidade pode ser interpretada como uma afirmação de existência de uma prova e a existência poderia ser interpretada de um ponto de vista clássico, o que o intuicionista não quer.

Embora as passagens acima tenham sido feitas há quase trinta anos, idéias similares constituem, ainda hoje, o cerne da compreensão da relação entre provas e asserções para autores que também poderíamos filiar ao intuicionismo natural, ainda que possam subsistir algumas divergências entre as concepções. Por exemplo, em Negri & Von Plato ([Neg01], pág. 3) as inferências são caracterizadas do seguinte modo:

(b) Regras de inferência: Regras de inferência são da forma: "Se é o caso que A

e B, então é o caso que C." Assim elas não atuam sobre proposições, mas sobre

asserções. Nós obtemos uma asserção de uma proposição A adicionando algo a

ela, a saber, um modo assertivo tal como "é o caso que A." Frege usava o signo de asserção ⊢A para indicar isso mas usualmente a distinção entre proposições e

asserções é deixada implícita.35

Queremos destacar que aquilo que os autores consideram ser a asserção de uma proposição A foi representado na citação pela expressão é o caso que A. Como vimos, segundo eles, as regras atuariam sobre as asserções e, portanto, teriam a seguinte forma: se é o caso que A e [é o caso

que] B, então é o caso que C. Como, desde esse ponto de vista, as asserções seriam os objetos

relacionados por uma inferência, a condição imediata para a asserção de uma proposição estará intimamente relacionada às regras de introdução em dedução natural, só que no caso deles ao invés do conceito de prova canônica eles usam a expressão prova direta ([Neg01], págs. 5 e 6):

34

Inferences which give rise to canonical arguments in the way described above are called introductions. In other

words, an introduction is an inference such that the result of applying it to given proofs of the premises is, as it stands, a sufficient condition for asserting the conclusion. An inference which does not in itself produce a sufficient condition for asserting the conclusion in this way but which is correct only in virtue of a method for transforming proofs of the premises to a proof of the conclusion is called an elimination. Mesmo posteriormente Prawitz ainda

parece perseguir um caminho similar a esse, [Pra85].

35 _{(b) Rules of inference: Rules of inference are of the form: "If it is the case that A and B, then it is the case that C."}

Thus they do not act on propositions, but on assertions. We obtain an assertion from a proposition A by adding