Disciplina: Topografia

Analisando o Plano do Curso de Agropecuária foi possível perceber que a disciplina Topografia, com carga horária anual de 160 horas, ministrada para alunos da segunda série, requer competências, habilidades e assuntos diretamente relacionados com os conteúdos lecionados em Matemática.

Quadro 04: Competências, habilidades e assuntos em Topografia

Competências

Realizar cálculos e transformações de unidades nos diferentes sistemas de medidas.

Fazer medições lineares e angulares. Realizar cálculos de ângulos e de distâncias

Habilidades

Realizar transformações e cálculos com unidades de medidas lineares e de superfícies. Fazer conversão do sistema sexagesimal para o centesimal.

Realizar medida para determinar distâncias horizontais e verticais.

Efetuar medidas de ângulos.

Assuntos Unidades de medidas: - Medidas lineares. - Medidas de superfície. - Medidas angulares. - Noções de Escala. Medições:

- Medições de distâncias (horizontal e vertical). - Medições de ângulos.

Cálculos de áreas

Fonte: Dados obtidos dos documentos consultados

Material Didático

Analisando o material didático, fornecido pelo professor que foi entrevistado, intitulado ‘Módulo Topografia27_{, foi possível perceber que muitos elementos estudados em}

Matemática são necessários para o estudo dessa disciplina. Esse livro é destinado a estudos topográficos de Nível Superior, por isso as análises foram feitas levando em consideração apenas os assuntos existentes no material didático do professor da disciplina e no Plano do Curso de Agropecuária.

Antes de elencar os conteúdos de Matemática que são estudados na disciplina foi levada em consideração a abordagem didática utilizada no livro Fundamentos de Topografia, dos autores Veiga, Zanetti e Faggion (2007). Este livro é mencionando em alguns trechos do material didático utilizado pelo professor da disciplina.

A pesquisadora resolveu estudar esse livro visto que não é possível atingir o objetivo desse estudo sem compreender o que a disciplina contempla. Além disso, o livro apresenta uma linguagem aparentemente mais simples do que o material didático apresentado pelo docente, que é um resumo dos assuntos ministrados na sala de aula, formado majoritariamente por figuras. Esse foi mais um caminho para compreender os assuntos da disciplina.

Veiga, Zanetti e Faggion (2007) apresentam, no livro didático, os tópicos diretamente relacionados a Topografia. Os autores fazem um estudo sobre plano cartesiano e unidades de medida, sobre o sistema de coordenadas cartesianas, tanto no plano como no espaço, do sistema de coordenadas esféricas e justificam seu uso devido ao estudo de latitudes e longitudes (usados para encontra um determinado ponto na superfície terrestre). Também abordam as coordenadas elipsoidais, pois “No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de Referência Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global Reference System 1980).” (Veiga, Zanetti e

Faggion, 2007, p.17). Em seguida, no capitulo dois do livro, é feita uma revisão de assuntos de Matemática conforme quadro a seguir:

Quadro 05: Assuntos revisados no livro didático

Assuntos Tópicos

Unidades de Medida

Medida de Comprimento - Metro

Medida Angular - Sexagesimal, Centesimal e Radianos

Radiano

Unidade Sexagesimal Unidade Decimal

Trigonometria Plana

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo Teorema de Pitágoras

Relações Métricas com o Triângulo Retângulo Triângulo Qualquer Lei Dos Senos

Lei Dos Cossenos

Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion, 2007.

Os autores afirmam que a revisão (para estudantes do Ensino Superior) desses assuntos é necessária pois servirão para o estudo de temas que serão abordados. Assim pode-se afirmar que para o estudo de Topografia em um curso de Nível Médio alguns desses conteúdos são necessários, juntamente com outros que foram verificados no material fornecido pelo professor.

Eles fazem parte da lista de conteúdos que é objetivo da pesquisa, no entanto é preciso explanar algum tipo de associação do uso desses conteúdos dentro da Matemática (interdisciplinaridade e contextualização). Apenas assuntos que são lecionados no curso Técnico em Agropecuária Integrado ao Ensino Médio do IFET em que a pesquisa ocorreu serão abordados.

Dos assuntos verificados na disciplina Topografia, os listados a seguir são mais condizentes com o propósito de realizar um estudo interdisciplinar e contextualizado com a Matemática lecionada no Ensino Médio.

Ângulos

São divididos em dois tipos: Horizontal e Vertical. O horizontal se assemelha a definição de ângulo, geralmente estudada no Ensino Fundamental, no entanto sua leitura é feita no sentido horário, também chamada de posição ré (primeira imagem da figura abaixo) ou anti-horário, chamada de posição vante (segunda imagem da figura a seguir), a depender do posicionamento do teodolito28.

Figura 02: Posições dos ângulos.

Fonte: Material didático utilizado pelo docente

Já o ângulo Vertical é medido segundo o plano vertical, considerando uma linha horizontal como referência, e a leitura é feira em sentido anti-horário (medição positiva) ou horário (medição negativa).

Devido a essa diferenciação entre valores positivos e negativos para um ângulo (figura 03) listamos esse assunto como sendo um conteúdo a trabalhar no Ensino Médio.

Figura 03: Medição de ângulos.

Fonte: Material didático utilizado pelo docente

28_{“Os teodolitos são equipamentos destinados à medição de ângulos, horizontais ou verticais,} objetivando a determinação dos ângulos internos ou externos de uma poligonal, bem como a posição de determinados detalhes necessários ao levantamento” (Veiga, Zanetti e Faggion, 2007, p.54).

Trigonometria

A medida de uma distância em Topografia pode está diretamente relacionada ao uso de trigonometria no triangulo retângulo, um exemplo é a medição de Distância Inclinada em um lance único (em que se pode desconsiderar a curvatura do terreno), como mostra as duas figuras a seguir.

Figura 04: Distância entre dois pontos.

Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2007, p.47)

Figura 05: Esquema de distância entre dois pontos.

Neste segundo exemplo é possível calcular o valor da distância apenas utilizando o cosseno do ângulo beta (visto que o valor do ângulo é encontrado utilizando o teodolito).

Considerando o conteúdo sobre distância inclinada (figura 06), esta é utilizada quando o terreno possui uma grande inclinação. Neste caso é possível, como mostra a figura a seguir e com o uso de trigonometria, encontra uma fórmula (figura 07) para a medição dessas distâncias. Essa fórmula pode ser estudada dentro da disciplina Matemática, por envolver o uso de operações e fórmulas trigonométricas, um assunto que deve ser lecionado na segunda série.

Diante dessa análise percebe-se que este assunto poderia potencialmente ser desenvolvido de forma contextualizada e interdisciplinar entre as disciplinas ofertadas no curso médio integrado.

Figura 06: Distância com inclinação.

Fonte: Material didático utilizado pelo docente

Faz-se necessário explicar que a figura 07 tem o objetivo de mostrar o uso de trigonometria na disciplina, não se fazendo preciso compreender, para essa pesquisa, o que cada uma das letras significa. No entanto ao realizar o uso desse assunto, dentro de uma abordagem interdisciplinar ou contextualizada, conforme sugere a pesquisa, um professor de Matemática terá que compreender o desenvolvimento do assunto em questão.

Figura 07: Cálculo de distância a com inclinação

Fonte: Material didático utilizado pelo docente

Geometria Plana / Matrizes

O estudo do cálculo de áreas em Topografia, conforme verificado no Módulo Topografia, pode ser feito de três formas distintas: Método trigonométrico, Método de Gauss e Método de Sarrus.

O primeiro e o último métodos utilizam as fórmulas de cálculo de áreas de figuras planas, tais como retângulo, quadrado, triângulo e trapézio. Já o Método de Gauss (figura 08) requer o conhecimento de matrizes.

O Módulo trás um exemplo para mostrar como esse método pode ser aplicado, nele são utilizadas duas coordenadas X e Y encontradas pelo levantamento de Irradiação29.

Figura 08: Método de Gauss.

Fonte: Material didático utilizado pelo docente

É possível, assim, utilizar esse exemplo para a contextualização dos assuntos Matrizes e Determinantes, ou realizar uma abordagem interdisciplinar visto que são assuntos lecionados aos estudantes da segunda série na disciplina de Matemática.

Geometria espacial/Unidades de Medidas

Observa-se, no exemplo do item anterior, que as medidas de áreas são determinadas em hectare, área e centiárea, o que mostra a necessidade do cálculo de conversão de medidas. O mesmo vale para conversão entre graus, radianos e grados.

29_{O método de irradiação “Consiste em, a partir de uma linha de referência conhecida, medir um} ângulo e uma distância. É semelhante a um sistema de coordenadas polares. A distância pode ser obtida utilizando uma trena, distanciômetro eletrônico ou estação total ou obtida por métodos taqueométricos.” (Veiga, Zanetti e Faggion, 2007, p.128).

Esse assunto pode ser estudado durante as aulas de Geometria Espacial, lecionado durante a segunda série do curso, contextualizando os exemplos. Percebe-se que com este conteúdo há mais uma possibilidade de trabalho interdisciplinar entre as disciplinas Matemática e Topografia.

Geometria analítica

Na disciplina Topografia é também muito comum alinhamento de pontos, principalmente quando se precisa traçar uma reta e só conhece os pontos externos sem nenhuma outra informação que possa auxiliar para construir esse alinhamento. O alinhamento pode ser verificado na existência de dois ou de três pontos, para isso basta usar matrizes para verificar se os pontos encontram-se alinhados (no caso de três pontos). Um outro caminho seria determinar a equação geral de uma reta, caso se tenha dois pontos e objetive-se determinar seu alinhamento ou a distância entre eles.

De forma análoga pode ser necessário determinar a que distância um determinado ponto encontra-se de uma reta, ou de outros dois pontos, assim é preciso utilizar a fórmula que determina distância entre um ponto e uma reta. No caso de topografia a fórmula é dada sem o uso de módulos (figura 09), pois é necessário saber se o ponto encontra-se do lado direito ou esquerdo da reta, diferente do que acontece no assunto Geometria Analítica (Matemática).

Figura 09: Fórmula usada em topografia para cálculo da distâ ncia de um ponto a uma reta.

Fonte: Material didático utilizado pelo docente

Apesar da disciplina Topografia ser lecionada a estudantes da segunda série, é possível realizar uma abordagem contextualizada envolvendo Topografia e Geometria Analítica. Seria possível assim estudar as diferenças ocasionadas pelo uso ou não do módulo na fórmula em questão.

Entrevista com o docente da disciplina Topografia

A partir da análise dos dados da entrevista com o professor de Topografia foi possível identificar, segundo o relato dele, a existência de uma grande relação entre as disciplinas Matemática e Topografia. O professor menciona que as dificuldades apresentadas pelos alunos estão justamente no fato deles não dominarem os conteúdos de Matemática, conforme mostra o seguinte trecho da entrevista.

F: E em Topografia então, você vê alguma relação com Matemática? D14: Toda né?! Só tem né?!

F: Só tem Matemática.

D14: Só tem Matemática. A dificuldade dos alunos está mesmo na Matemática que eles não sabem. - Trecho da entrevista do docente D14

Quando questionado sobre os assuntos de Matemática que utiliza para ministrar aulas da disciplina o professor menciona Polígonos – soma de ângulos internos e cálculo de áreas, o uso de Matrizes e Determinantes (fórmula de Gauss) e afirma que alunos possuem dificuldades nesses assuntos e/ou os desconhecem.

D14: Por exemplo, quando eu começo a dar Topografia mesmo, o primeiro assunto que eu dou, que nem é de Topografia, eu dou aquela parte de Polígonos para eles. Porque eu dou a parte de Polígonos? Porque quando a gente vai filtrando muito os conteúdos de Topografia, ai eu dou de Polígonos porque, quando eu vou fazer um levantamento de campo, já dentro de Topografia mesmo, trabalhando com o conteúdo de Topografia, quando eu vou fazer o levantamento de uma área, a área vai resultar em que? Num polígono fechado. Pra eu calcular aqueles polígonos com eles, ai quando eu vou dar lá na sala, os conteúdos lá na sala, ‘vamos calcular a soma dos ângulos internos pra ver se a agente fez o levantamento disso aqui correto’. Então a gente tem que somar os ângulos pra ver se aquele trabalho tá dentro da precisão permitida por aqueles aparelhos né?! […] O conteúdo que eu dou, que nem faz parte do meu conteúdo de Topografia. Eu dou Polígonos justamente por isso, porque quando a gente trabalha em Topografia vai falar dos métodos de calcular área. Ai a gente vai falar dos métodos gráficos né?! Ai vai falar do mecânico, que a gente usa o planímetro e fala do analítico que a gente fala das fórmulas de Gauss, que é mais matrizes, determinantes, e nem pode falar isso na sala

porque eles nunca viram mesmo. Então a gente só fala que é a fórmula de Gauss que a gente usa e acabou a história. - Trecho da entrevista do

docente D14.

Outros assuntos relatados pelo docente, e que segundo ele são menos utilizados, mas necessários na disciplina, são unidades de medida (conversão) e trigonometria. A parte de unidades de medida é utilizada, pois os estudantes precisam trabalhar com diversas medidas de área e distâncias utilizadas em todo o mundo (como hectare, área, jardas, milhas, etc.). Já o uso da trigonometria é preciso, segundo o professor, no cálculo de coordenadas para a obtenção da planta de uma determinada área.

D14: Então, por exemplo, quando falo na sala ‘vamos calcular as coordenadas’, a ai agente tem que pegar os ângulos, o seno do ângulo, multiplicar pela distancia horizontal, que gente vai calcular a coordenada, obter as coordenadas, pra que, pra resultar na planta que é o objetivo da topografia, ai eles não sabem o que é um seno, não sabem o que é um cosseno, não sabem o que é que é a tangente. Ai quando você vai explicar pra eles o que é um cateto oposto, um cateto adjacente, você desenha um triangulo, se eles virar assim (gesticulando com as mãos ela vira um triângulo retângulo colocando a hipotenusa para ser a base do triângulo) ele já fala que o oposto e adjacente. - Trecho da entrevista do docente

D14.

O docente esclareceu que o ideal na disciplina seria colocar em prática alguns assuntos que são estudados em Matemática, tais como unidade de medida.

D14: O ideal na cabeça da gente, por exemplo, se eu desse hoje unidade de medida e eu pegasse a trena, dividisse a turma e fosse pro campo, medisse lá, vou fazer tudo aqui preto no branco.[…] Porque quando eu to falando lá das unidade anulares que eu vou falar de grau, grado, radiano, entendeu?! Ai parece a coisa mais abstrata do mundo. Quando eu levo no campo, mostro no teodolito,[…] eles acham a coisa mais fantástica do mundo. - Trecho da entrevista do docente D14

Sobre o trabalho de colocar em prática (relacionar o que é ministrado em sala de aula com a vivência do estudante) o que se ensina, o professor mencionou que um dos

docentes de Matemática do IFET utilizou o teodolito com os alunos para medir a altura do morro que fica na parte de trás do Instituto.

Quando questionado sobre fazer um trabalho conjunto com a disciplina de matemática, para que os alunos aprendessem simultaneamente um assunto nas duas disciplinas, D14 afirmou que preferia que os alunos já chegassem em sua disciplina sabendo esses conteúdos. Ele explicou que essa preferência se dá pelo fato de não conhecer a Matemática como os professores da disciplina, mas concordou que utilizar os conhecimentos de Topografia para lecionar Matemática seria algo muito bom, pois os alunos iriam se interessar e ajudaria futuramente quando estivessem estudando Topografia.

Questionários dos estudantes

Observando os questionários que foram respondidos pelos alunos notamos que todos os alunos que já cursaram a segunda série, e encontravam-se na terceira série durante o preenchimento do mesmo afirmaram que Topografia era uma disciplina que utilizava de assuntos relacionados a Matemática.

Quando questionados sobre quais assuntos da disciplina de Topografia necessitava dos conhecimentos da Matemática eles listaram apenas “Levantamento de área” (Questionário Respondido nº 04)30 _{e “Desnível do terreno” (questionário Respondido}

nº 13).

Segundo os estudantes, relacionando Topografia com a Matemática, o conteúdo “Levantamento de área” necessita dos conteúdos de Matemática referentes a cálculo de áreas e de perímetro de uma figura plana. Já o conteúdo “Desnível do terreno” requer conhecimento de trigonometria, sendo que não foi explanado no questionário qual ou quais trigonometrias se fazem necessárias.

As informações obtidas das entrevistas com os docentes, dos questionários dos estudantes, do material didático e do plano do curso se complementam e expõem a necessidade e importância da Matemática para a disciplina.

30 _{Os alunos não precisaram se identificar para preencher o questionário, afim de conseguir} diferenciá-los, compará-los e realizar uma melhor análise eles foram numerados de acordo com a ordem em que foram sendo entregues a pesquisadora.

5.3. Disciplina: Agricultura II