Os dois valores inequivalentes de s (0 e 1) definem dois ramos energéticos compostos por duas bandas de energia, que correspondem a n = 0 e n = 1. Os autovalores de energia (5.35) apresentam pontos de extremo para valores específicos dos vetores de onda k,
conforme mostra o quadro esquerdo da Fig.33para o ramo s = 1, t/t⊥ = 8.29, and t3/t⊥ =
0.99, valores em correspondência com os valores experimentais (5.17) (neste gráfico m/t⊥ = Λ/t⊥ = 0). Dois pontos extremos de energia ocorrem para Γ(k) = 0, que correspondem aos dois pontos de Dirac K± = 2π
3√3a
√ 3, ±1
. Ao redos dos pontos de Dirac, as linhas de energia constante são distorcidas (gráfico da direita da Fig. 33), e para altos valores do parâmetro t3/t⊥ pontos adicionais de mínimo, dados pelas condições cos (3φ(k)) = 0 e
|Γ(k)| = t⊥t3
t2 , são identificados. O surgimento destes pontos é consequência da amplitude de
salto t3 do Hamiltoniano ˆHAB, que produz um efeito de distorção nas linhas de iso-energia
– a chamada distorção trigonal (MCCANN; KOSHINO, 2013; ROZHKOV et al., 2016). Para m = Λ = 0, os pontos de Dirac correspondem a pontos de contato entre as bandas de energia, e valores não-nulos destes parâmetros produzem um gap de energia, conforme mostrado na Fig. 34. O ramo s = 0 sempre apresenta um gap entre as bandas de energia e, qualitativamente, seu perfil é similar ao do ramo s = 1.
5.3
Emaranhamento rede-camada
Os autoestados do Hamiltoniano (5.21), |ψn,si (n, s = {0, 1}), são superposições da forma
|ψn,s(k)i ≡ MA1
n,s |A1(k)i + Mn,sB1 |B1(k)i + Mn,sA2 |A2(k)i + Mn,sB2 |B2(k)i, (5.36) e formalmente se comportam como os biespinores autoestados do Hamiltoniano (5.26). Conforme discutido anteriormente no Capítulo 3, os biespinores |ψn,si, são descritos em termos de uma estrutura de grupos SU(2) ⊗ SU(2) involvendo seus dois graus de liberdade
Figura 33 – (Esquerda) Bandas de energia para o ramo s = 1, t/t⊥= 8.29, t3/t⊥ = 0.99,
e para m/t⊥ = Λ/t⊥ = 0. As bandas de energia se tocam nos cantos da primeira zona de Brillouin (pontos de Dirac). Próximo a tais pontos, o perfil de energia se aproxima a uma parábola em função de k e a relação de dispersão é formalmente a mesma da obtida da equação de Dirac com um termo de massa não-nulo. (Direta) Zoom ao redor do ponto de Dirac K+. As linhas de
iso-energia são distorcidas devido a amplitude de salto t3 – efeito de distorção
trigonal. As linhas de energia constante possuem uma simetria de 2π
3 ao redor
destes pontos devido ao fator cos( 3φ(k) ) na expressão (5.35). Para um valor nulo de t3, as linhas de energia constante são perfeitamente simétricas ao
redor dos pontos de Dirac.
Figura 34 – Gráfico auxilar para as bandas de energia do ramo s = 1 em função de kx para ky = 2π
3√3a, t/t⊥ = 8.29, t3/t⊥ = 0.99, e para m/t⊥ = Λ/t⊥ = 0 (linhas
sólidas) e m/t⊥= Λ/t⊥ = 1 (linhas tracejadas). Para m = Λ = 0 as bandas
n= 0 e n = 1 se tocam nos pontos de Dirac. Valores não nulos de m e Λ criam
um gap de energia entre as bandas de valencia e de condução, deformando a relação de dispersão.
(5.26) para as matrizes de Dirac na representação usual (2.18) é ˆ H = p · (ˆσ(P ) x ⊗ ˆσ(S)) + M(ˆσz(P )⊗ ˆI (S) 2 ) + W · (ˆI (P ) 2 ⊗ ˆσ(S)) − E · (ˆσy(P )⊗ ˆσ(S)), e os biespinores correspondente são estados bipartite emaranhados entre spin e paridade intrínseca.
A relação entre o Hamiltoniano do grafeno ˆHAB e o Hamiltoniano de Dirac modi- ficado (5.26) também define uma correspondência entre os graus de liberdade discretos associados à equação de Dirac e os intrínsecos ao grafeno bicamada. Tais graus de liberdade discretos para o grafeno são identificados como rede (A or B) e camada (1 or 2) tal que o emaranhamento entre spin e paridade intrínseca das soluções da equação de Dirac são traduzidas em emaranhamento entre rede e camada para o grafeno. Os estados associados ao Hamiltoniano (5.21) podem então ser interpretados como estados de dois qubits através da correspondência com dois qubits
|A1i ≡ |00i, |B1i ≡ |01i,
|A2i ≡ |10i, |B2i ≡ |11i, (5.37)
que será adotada de agora em diante.
As propriedades de correlação dos autoestados de (5.26) podem ser calculadas através dos vetores de Bloch dos subsistemas em termos, por exemplo, da concorrência
C[ρ] =q1 − ( a(P ))2 = q1 − ( a(S))2 que será adotada nesta seção como quantificador de
emaranhamento. Em particular o vetor associado ao estado de spin a(S) é dado por
a(S) = Tr[( ˆI2(P )⊗ ˆσ(S))ρn,s] = = (−1)n |λn,s| " W +(−1) s √g 2 [(p · W )p + (W · E)E + M(MW + p × E)] # ,(5.38)
e, através das relações com os parâmetros do grafeno (5.27), é possível quantificar o ema- ranhamento rede-camada dos autoestados descritos por ρn,s. Os resultados não dependem do número quântico n e, portanto, o perfil de emaranhamento não depende da banda a qual o estado pertence. A Figura 35 mostra os gráficos da concorrência em função das componentes do vetor de onda k, kx e ky, na primeira zona de Brillouin para m = 0 e Λ = 0, ou seja quando a dinâmica é dada apenas por (5.18). O emaranhamento entre rede e camada é altamente concentrado ao redor do ponto de Dirac. Entretanto, para m = Λ = 0 a função de onda é singular em K± e, neste ponto, a fórmula (5.33) gera estados mistos separáveis.
Além disso, para m 6= 0 e/ou Λ 6= 0, estados com k = K± são separáveis para
s = 1. Para s = 0 estados com momentum no ponto de Dirac possuem concorrência dada
por C[ρn,0(K±)] = 4t2 ⊥ 4t2 ⊥+ (2m + Λ)2 . (5.39)
Figura 35 – (Esquerda) Concorrência no espaço k para s = 1, m = 0, Λ = 0 e mesmo conjunto de parâmetros utilizados na Fig. 33. (Direita) Zoom do painel esquerdo ao redor do ponto de Dirac K+. Quando ambos os termos de massa
e voltagem são nulos, i.e. para o Hamiltoniano Eq. (5.18), as correlações quânticas entre rede e camada são maximizadas para estados com vetores de onda próximos aos pontos de Dirac.
O efeito do termo de voltagem Λ para estados ao redor do ponto de Dirac K+ é mostrado
na Fig.36. O termo de voltagem espalha a concorrência pelo espaço recíproco, distribuindo o emaranhamento ao redor dos pontos de Dirac. Quanto maior o valor de Λ, mais distribuído o emaranhamento no espaço k. Entretanto, no limite Λ/t⊥ → ∞, a concorrência se anula para todos os vetores de onda.
O emaranhamento rede-camada decresce rapidamente em função de m/t⊥ para Λ/t⊥ = 0. A Figura 37 mostra a concorrência no espaço k ao redor do ponto de Dirac K+
para o mesmo conjunto de parâmetros utilizados na Fig. 35, com Λ/t⊥= 0 e m/t⊥ = 0.1 (primeiro gráfico), m/t⊥ = 0.5 (segundo gráfico) e m/t⊥ = 1.0 (terceiro gráfico). O
parâmetro de massa, de maneira geral, suprime o emaranhamento rede-camada.
A Figura38mostra a concorrência na primeira zona de Brillouin para (Λ/t⊥, m/t⊥) =
(0, 0) (primeiro gráfico), (Λ/t⊥, m/t⊥) = (10, 0) (segundo gráfico) e (Λ/t⊥, m/t⊥) = (0, 1)
(terceiro gráfico). Enquanto o termo de voltagem espalha o emaranhamento pelo espaço k, o termo de massa suprime a correlação. Estados com momentum no centro da primeira zona de Brillouin (baixos valores de k) são separáveis.
A distorção trigonal identificada no espectro de energia do Hamiltoniano (5.18) tem implicações em outras propriedades físicas do grafeno bicamada (MCCANN; KOSHINO,
2013;ROZHKOV et al., 2016; CSERTI; CSORDáS; DáVID, 2007; KECHEDZHI et al.,
Figura 36 – Concorrência no espaço k para s = 1 ao redor de K+, para o mesmo conjunto
de parâmetros utilizados na Fig. 35, com m/t⊥ = 0 e Λ/t⊥ = 1 (primeiro
gráfico), Λ/t⊥ = 5 (segundo gráfico) e Λ/t⊥ = 10 (terceiro gráfico). A inclusão do termo de voltagem (5.20) espalha o emaranhamento rede-camada pelo espaço k. Considerando a coordenada angular no plano kx − ky, estados maximamente emaranhados correspondem a região vermelha ao redor do ponto de Dirac.
Figura 37 – Concorrência no espaço k para s = 1 ao redor do ponto de Dirac K+, para o
mesmo conjunto de parâmetros utilizado na Figura35, para Λ/t⊥= 0, com
m/t⊥ = 0.1 (primeiro gráfico), m/t⊥ = 0.5 (segundo gráfico) e m/t⊥ = 1
(terceiro gráfico). O termo de massa (5.19) destrói o emaranhamento e para
m/t⊥ → ∞, a correlação se anula em toda a primeira zona de Brillouin.
MANN,2016). É, então, interessante investigar os efeitos da amplitude t3 no emaranha-
mento rede-camada. A Figura 39 mostra os gráficos da concorrência sobrepostos pelas correspondentes linhas de iso-energia (linhas negras) e pelas linhas de iso-emaranhamento (linhas verdes) para t3/t⊥ = 0.997 (primeira linha), t3/t⊥ = 5 (segunda linha) e t3/t⊥= 10
(terceira linha), e para m/t⊥= Λ/t⊥= 0 (primeira coluna), m/t⊥ = 0 e Λ/t⊥ = 1 (segunda coluna), e m/t⊥ = 1 e Λ/t⊥ = 0 (terceira coluna). A distorção exibida pelas linhas de iso-energia também é identificada no padrão de concorrência, com mesma simetria angular invariante diante rotações de 2π
3 . Na realidade, as linhas de iso-emaranhamento possuem
Figura 38 – Comparação do perfil de emaranhamento para k na primeira zona de Brillouin. Os gráficos são para (Λ/t⊥, m/t⊥) = (0, 0) (primeiro gráfico), (Λ/t⊥, m/t⊥) =
(10, 0) (segundo gráfico) e (Λ/t⊥, m/t⊥) = (0, 1) (terceiro gráfico), outros
parâmetros são fixados nos mesmo valores utilizados na Fig.35.
nado com respeito ao padrão das linhas de iso-energia. Para t3 nulo, o emaranhamento
recupera sua simetria ao redor dos pontos de Dirac e um valor crescente de t3/t⊥ leva a
um crescimento geral do emaranhamento rede-camada.