Um sistema quântico utilizado na simulação da equação de Dirac é um íon aprisio- nado em uma armadilha harmônica de radio-frequência (GEORGESCU; ASHHAB; NORI,
2014). Independente da geometria da armadilha, em geral cilíndrica ou linear (LEIBFRIED et al.,2003), o funcionamento do dispositivo consiste em confinar um íon, ou um conjunto de íons, a uma região restrita através da utilização de um potencial harmônico. O estado interno e de movimento da partícula é, então, manipulado através da aplicação de um laser. Uma aproximação para este cenário, amplamente considerada tanto do ponto de vista teórico quanto do ponto de vista experimental, consiste em considerar apenas dois níveis de energia para os estados internos do íon, conforme esquematizado na Fig. 18.
Figura 18 – Representação esquemática de um íon de dois níveis internos aprisionado em uma armadilha harmônica. O potencial harmônico confina o íon a um espaço restrito na armadilha, sendo seu estado de movimento descrito como um oscilador harmônico simples. A interação entre o íon aprisionado e um laser é então utilizada para manipular tanto o estado interno quanto o estado de movimento.
O Hamiltoniano completo do íon aprisionado de dois níveis é dado por (LEIBFRIED et al., 2003)
ˆ
onde ˆ HM ovimento = ˆp 2 ˜m + ˜ m 2 W(t) ˆx
descreve a dinâmica do estado de movimento do íon de massa ˜m aprisionado pelo potencial harmônico W (t) da armadilha e
ˆ
HInterno= ¯h ωge
2 ( |eihe| − |gihg| ),
o Hamiltoniano associado aos níveis internos com ¯hωge a diferença de energia entre os níveis g e e do íon. O último termo de (4.1) descreve a interação entre o laser e o íon:
ˆ
HIon−Laser =
¯h
2Ω(|gihe| + |eihg|) × (ei(k ˆx−ωt+φ)+ e−i(k ˆx−ωt+φ)),
onde k e ω são, respectivamente, o número de onda e a frequência efetivos do laser, φ é a fase do laser, Ω descreve os elementos de matriz do acoplamento entre o campo eletromagnético e os níveis internos do íon1 e ˆx é o operador de posição do íon aprisionado. Na expressão
acima supõe-se que o íon se move apenas em uma direção, sendo direta a generalização para o caso tridimensional. No Hamiltoniano ˆHIon−Laser o campo eletromagnético do laser
não é quantizado, sendo descrito através de uma onda plana e considerando os termos de menor ordem da aproximação multipolar que geram transições entre os estados eletrônicos.
A dinâmica de interação com o laser é melhor descrita na representação de interação, na qual o Hamiltoniano do sistema será dado por
ˆ˜
HIon = ˆU0†HˆIon−LaserUˆ0, (4.2)
com ˆU0 = exp
− (it/¯h)( ˆHM ovimento+ ˆHInterno) , para o qual ˆ˜ HIon = ¯h 2Ω (ˆσ ge +eiωge+ ˆσ−gee−iωget) ×
×e(it/¯h) ˆHM ovimento
ei(k ˆx−ωt+φ)+ e−i(k ˆx−ωt+φ)
e−(it/¯h) ˆHM ovimento, (4.3)
com ˆσge
+ = (ˆσ−ge)† = |eihg| o operador de elevação para o sistema de dois níveis descrito
no espaço {|gi, |ei}. As exponenciais dependentes do tempo se combinarão em termos da forma exp[±i(ωge± ω)t], e os termos proporcionais a ωge+ ω irão oscilar rápido em comparação com a frequência livre ωge sendo descartados na chama aproximação de onda rotativa (rotating wave approximation - RWA). Deste modo os termos exponenciais a serem considerados são da forma exp[±i ˜ω t], com ˜ω = ωge − ω o detuning entre as frequências. A transformação para a representação de interação da parte associada ao movimento, o último termo de (4.3), equivale a substituir o operador posição ˆx pelo seu equivalente na
1 Por exemplo, para um acoplamento dipolar com um elétron da camada exterior do íon
¯h
2Ω = e−hg|E0· x|ei, com e− a carga do elétron e E0o campo elétrico.
representação de Heisenberg ˆx(t). Em termos dos operadores de criação e aniquilação, ˆa† e
ˆa, do oscilador harmônico que descreve o movimento do íon, ˆx(t) é dado por (LEIBFRIED et al., 2003)
ˆx(t) = η
k[ ˆau
∗(t) + ˆa†u(t) ],
onde u(t) é uma função associada à solução da equação de Schrödinger com potencial harmônico dependente do tempo W (t), e η é o parâmetro de Lamb-Dicke dado por
η= k
s ¯h
2 ˜mν = k ∆, (4.4)
com ν a frequência de oscilação do íon na armadinha e ∆ a extensão da função de onda para o estado fundamental do oscilador harmônico. Em uma primeira aproximação, válida na maior parte das situações experimentais, u(t) ≃ eiνt e o Hamiltoniano na representação de interação (4.3) será dado por (LEIBFRIED et al.,2003)
ˆ˜
HIon = ¯h 2Ω0ˆσ
ge
+ exp{i η( ˆae−iνt+ ˆa†eiνt)} ei( φ−˜ωt)+ H. c., (4.5)
onde Ω0 é uma frequência corrigida levando em conta as aproximações utilizadas para se
obter (4.5). Se a extensão da função de onda associada ao estado de movimento do íon for muito menor que o comprimento de onda do laser - o chamado regime de Lamb-Dicke - então ηqhˆa + ˆa†i ≪ 1 e (4.5) é simplificado para
ˆ HLD = ¯h 2Ω0ˆσ ge + h
1 + iη(ˆae−iνt+ ˆa†eiνt)i
ei(φ−˜ωt)+ H. c.. (4.6)
Dependendo dos valores de ˜ω, o Hamiltoniano ˆHLD acopla diferentes estados inter- nos e de movimento do íon. São apenas três as ressonâncias do Hamiltoniano simplificado (4.6) (LEIBFRIED et al., 2003): • ˜ω = 0 para a qual ˆ HLD → ˆHC = ¯h 2Ω0( ˆσ+ geeiφ+ ˆσ −gee−iφ) (4.7)
que é chamada de ressonância de carrier. Este termo gera a transição |gi ↔ |ei com frequência Ω0 sem modificar o estado de movimento do íon;
• ˜ω = −ν para a qual ˆ HJC = ¯h 2Ω0η ˆaˆσge
+eiφ+ ˆa†ˆσge−e−iφ
, (4.8)
que é a ressonância de banda lateral vermelha (red sideband), formalmente igual ao Hamiltoniano de Jaynes-Cummings importante em óptica quântica na descrição da luz com átomos (SHORE; KNIGHT, 1993). Este Hamiltoniano gera transições do tipo |ni|gi ↔ |n − 1i|ei, com |ni o autoestado do oscilador harmônico que descreve o movimento do íon (a†|ni = |n + 1i);
• ˜ω = ν para a qual ˆ HLD → ˆHAJC = ¯h 2Ω0η ˆa†ˆσge
+eiφ+ ˆaˆσge−e−iφ
, (4.9)
a ressonância de banda lateral azul (blue sideband), uma contraparte da ressonância anterior, comumente chamada de Hamiltoniano anti Jaynes-Cummings. Este termo promove transições do tipo |ni|gi ↔ |n + 1i|ei;
As três principais ressonâncias de (4.6) estão esquematizadas na Fig. 19. Em particular, como comentado acima, a ressonância de banda vermelha é formalmente igual ao Hamiltoniano de Jaynes-Cummings, comum ao campo da óptica quântica. Esta similaridade foi o tema de diversas analogias entre os dois sistemas tendo como consequência diversos resultados interessantes na física de íons aprisionados (LEIBFRIED et al.,2003). A ressonância de banda azul não possui um similar no campo da óptica quântica, tal processo violaria a conservação de energia para o sistema átomo-fóton e é chamada de anti Jaynes-Cummings devido a sua forma ser, de certa maneira, um contraponto à ressonância de banda vermelha. De agora em diante, a ressonância de carrier será chamada por C, a ressonância de banda lateral vermelha será chamada de Hamiltoniano de Jaynes-Cummings (JC) e a ressonância de banda lateral azul de Hamiltoniano de anti Jaynes-Cummings (AJC).
Na maioria dos experimentos de íons aprisionados, as aproximações utilizadas para obtenção do Hamiltoniano (4.6) são válidas (LEIBFRIED et al., 2003), e os Hamiltonianos C, JC e AJC são os principais termos a serem considerados, sendo o toolbox dos íons aprisionados. De fato, a combinação dos termos acima foi utilizada, por exemplo, para a implementação de portas quânticas (CIRAC; ZOLLER, 1995; SCHMIDT-KALER et al.,
2003b) e em diversos protocolos de simulação quântica (GEORGESCU; ASHHAB; NORI,
2014), em particular, para a simulação da equação de Dirac, conforme será mostrado a seguir.