3.6 Emaranhamento codificado em pares de biespinores sob boosts de
3.6.3 Estados antissimétricos sob boosts de Lorentz
O framework geral introduzido nas últimas seções descreve quantitativamente as mudanças nas correlações globais, quantificadas por EG, e no emaranhamento spin-spin induzidas por boosts de Lorentz agindo em uma superposição genérica de estados de duas partículas descritas com biespinores autoestados de helicidade. Os resultados gerais obtidos podem ser especializados para qualquer tipo de superposição e, em particular, como a natureza das partículas fermiônicas requer a descrição através de funções de onda antissimétricas (ITZYKSON; ZUBER, 1980), superposições antissimétricas da forma
|Ψodd
sr (p, q)i =
|us(p)iA⊗ |ur(q)iB− |ur(q)iA⊗ |us(p)iB √
2 (3.207)
serão agora consideradas. Vale ressaltar que para partículas de Dirac, como elétrons, quarks e neutrinos, algumas das configurações da forma acima são muito difíceis de serem produzidas fenomenologicamente e, portanto, alguns exemplos que serão considerados a seguir serão ilustrativos.
No referencial S tal que p = −q, no centro de momentum, os autoestados de helicidade positiva e negativa são dados por
|χ1(p)i = |χ2(q)i = |z+i,
|χ2(p)i = |χ1(q)i = |z−i, (3.208)
e, no referencial não transformado S, os autoestados são também autoestados o operador de spin de Pauli, ˆΣz. Para estados se propagando ao longo da direção z é suficiente considerar
boosts na direção n no plano x− z, ou seja n = sin (θ)ex+ cos (θ)ez como esquematizado na Figura 12.
Figura 13 – Variação do emaranhamento global para o estado (3.209) em função da rapidez ω e da direção θ do boost (esquerda) e em função apenas da rapidez do boost (direita) para θ = 0 (linha sólida e preta), π/4 (linha tracejada e vermelha) e π/2 (linha tracejada e pontilhada e azul). A escala de cores vai do azul (0) ao vermelho (1). A rapidez inicial dos biespinores no referencial S é ω0 = arccosh(Ep/m) = 1. O emaranhamento global codificado nos
graus de liberdade do par de biespinores (3.209) sempre aumenta para boosts não paralelos aos momenta p e q (com respeito a S). Para boosts de alta rapidezes, EG tende ao seu valor máximo 1, uma vez que para o estado em S
EG[ρ] = 1/2. O emaranhamento entre os spins é nulo em todos os referenciais
N(S)A,(S)B[ψ 1] = 0.
Adaptando a notação para levar em conta as simplificações introduzidas quando se considera (3.208), o estado antissimétrico é dado por
|ψ1i = |u1
(p)iA⊗ |u2(q)iB− |u2(q)iA⊗ |u1(p)iB
√
2 , (3.209)
que é uma superposição de helicidades, apesar dos spins serem separáveis. Como Ξ(S)A
s r = Ξ(S)B
s r = |z+ihz+| para quaisquer s e r,o operador densidade reduzido aos spins, dado pela
Eq. (3.205), é invariante diante de transposição parcial com respeito a qualquer um de seus subsistemas e, portanto, um boost de Lorentz não cria emaranhamento entre os spins deste estado. Entretanto, o emaranhamento global EG não é invariante, como mostra a Figura. 13 que apresenta o gráfico de ∆EG em função da rapidez ω e do ângulo θ do boost. Boosts paralelos aos momenta em S não aumentam o emaranhamento total no estado. Por outro lado, qualquer boost não paralelo aos momenta aumenta EG devido a um aumento nas entropias reduzidas tanto das paridades quanto dos spins. Para boosts de alta rapidez,
EG tende a seu valor máximo (∼ 1).
Um estado maximamente emaranhado entre os spins, em S, é construído com a superposição antissimétrica entre helicidades positivas
|ψ2i = |u1
(p)iA⊗ |u1(q)iB− |u1(q)iA⊗ |u1(p)iB
√
Figura 14 – Variação do emaranhamento global (esquerda) e do emaranhamento entre os spins (direita) em função da rapidez do boost ω para o estado (3.211). A transformação das correlações neste estado são independentes do ângulo do boost θ e, apesar do emaranhamento global aumentar devido ao boost, com comportamento similar ao mostrado na Fig. (13), o emaranhamento entre os spins é degradado. No limite de boosts de alta velocidade, SAB é separável de todos os outros graus de liberdade, e o emaranhamento spin-spin se anula. Neste limite todo o emaranhamento está concentrado apenas entre as paridades intrínsecas.
que, de acordo com a correspondência (3.208), pode ser reescrito como
|ψ2i = |u1
(p)iA⊗ |u1(q)iB− |u2(p)iA⊗ |u2(q)iB
√
2 , (3.211)
que corresponde a uma configuração mais realista, uma vez que as partículas A e B possuem momenta bem definidos, p e q, respectivamente. A Fig. 14 apresenta os gráficos da variação do emaranhamento global e do emaranhamento spin-spin de |ψ2i em função
da rapidez do boost ω. Neste caso, tanto a variação de EG quanto de N é independente do ângulo do boost e, como no caso do estado (3.209), o emaranhamento global aumenta diante boosts de Lorentz. Por outro lado, o emaranhamento entre os spins é degradado pelo boost e, para boosts de alta velocidade, o estado reduzido aos spins é completamente separável.
O terceiro estado antissimétrico considerado é dado por
|ψ3i = |u1
(p)iA⊗ |u2(p)iB− |u2(p)iA⊗ |u1(p)iB
√
2 , (3.212)
que descreve uma superposição de duas partículas se movendo na direção ez com momenta iguais. Este caso é fenomenologicamente interessante pois ∆v = 0 é um invariante de Lorentz, ou seja, dois elétrons que possuem um referencial de repouso em comum possuem ∆v = 0 em todos os referenciais. Neste caso, o emaranhamento entre os spins depende do
momentum p mesmo no referencial S. Diferente dos outros exemplos, tanto o emaranha-
Figura 15 – Variação do emaranhamento global sob boosts de Lorentz para o estado (3.212). As curvas no gráfico da esquerda estão em correspondência com as apresentadas na Fig. 13. Diferente das Figuras 14 e 15, o emaranhamento global exibe um comportamento não monótono para θ < π/2. Para boosts paralelos ao
momentum em S, θ = 0 (curva sólida), o emaranhamento global atinge seu
mínimo para ω = 1, que corresponde ao referencial no qual os biespinores estão em repouso: neste caso todas as correlações quânticas correspondem apenas ao emaranhamento entre os spins.
na Figura 16, exibem um comportamento não monótono sob boosts. Em particular, para
boosts paralelos ao momentum p com rapidez arccosh( Ep/m), o emaranhamento global é mínimo, uma vez que este referencial corresponde ao referencial de repouso das partículas no qual há apenas emaranhamento spin-spin. Para boosts de alta rapidez o emaranhamento distribuído entre os graus de liberdade do estado aumenta, apesar do emaranhamento entre os spins, como no caso do estados (3.211), ser completamente degradado.
Figura 16 – Variação do emaranhamento entre spins sob boosts de Lorentz para o estado (3.212). O comportamento das correlações quânticas codificadas entre os graus de liberdade de spin é complementar ao exibido pelo emaranhamento global mostrado na Fig. 15. Para θ < π/2 o comportamento é não-monótono com um ponto de máximo local correspondente ao referencial de repouso dos biespinores e com uma completa degradação para boosts de alta velocidade.
Por último é importante mencionar que, apesar da medida (3.185) ter sido con- siderada, o emaranhamento em estados de 4 qubits pode ser calculado através de outro quantificador global definido de maneira similar a EG, mas dado em termos das entropias reduzidas de subsistemas compostos de pares de qubits (RIGOLIN; OLIVEIRA; OLI- VEIRA, 2006). Esta quantidade é calculada com termos da forma Tr[ˆσαk
i ˆσβjlρ{αk;βl}] e contém, além da informação dada por EG, correlações entre pares de subsistemas. Para o caso dos estados antissimétricos considerados aqui, o comportamento desta quantidade é similar aos mostrados nas Figs. 14 - 15 e não contém nenhuma informação extra sobre a variação do emaranhamento dos biespinores sob boosts de Lorentz. Outro ponto de vista para o emaranhamento multipartite é obtido ao se considerar a geometria do espaço de Hilbert composto e estudando as distâncias entre um dado estado e o conjunto dos chamados estados K-separáveis (BLASONE et al., 2008a). Neste caso, a quantificação do emaranhamento multipartite captura mais informações sobre as diferentes componentes que contribuem para o emaranhamento total.