Transformação do emaranhamento em estados quirais

(S)

2 são definidos

em termos dos biespinores livres us(p)como

uf_s(p)= ˆ

I4+ (−1)fˆγ5

2 us(p), (3.213)

com f = 0, 1, e podem também ser investigados no presente contexto. Diferente da helicidade, a quiralidade é um invariante de Lorentz, como visto na seção 2.2.4, apesar de, para partículas massivas, a quiralidade não ser uma quantidade conservada (BERNARDINI,

2006c; BERNARDINI,2006b). Esta propriedade de invariância tem implicações para as leis de transformação do emaranhamento de superposições de estados quirais

ψChiral(p, q)= 1 N M X i ci|ufsii(p)i A ⊗ |ugi ri(q)i B_{, (3.214)}

onde fi é a quiralidade do biespinor |ufi

si(p)i

A _{e gi é a quiralidade de |u}gi

ri(q)i

A_{. Estados} quirais construídos através da projeção de estados de helicidade são escritos de maneira simplificada como

|uf

s(p)i = |f(P )i ⊗ |χ(S)s (p)i (3.215) com |fi = (|+(P )_{i + (−1)}f_|−(P )_{i)/2 os autoestados do operador ˆσx, de modo que a matriz}

densidade de (3.214) é dada por

ρChiral = 1 N M X i,j

cic∗j(|fiihfj|)A⊗ Ξ(S)Asisj ⊗ (|giihgj|)

B

Como os autoestados quirais são invariantes diante de boosts, o operador densidade (3.216) se transforma como ρ′_Chiral = 1 N M X i,j

cic∗j(|fiihfj|)A⊗ Ξ′ (S)Asisj ⊗ (|giihgj|)

B_{⊗ Ξ}′ (S)B rirj , (3.217) onde Ξ′ (S)A i j = ˆOfiΞ (S)A sisj Oˆfj, com ˆ Ofi = cosh ω 2  ˆ I2(S)A− (−1)(fi)sinh ω 2  n_{· ˆ}σ(S)A, (3.218)

e as mudanças no emaranhamento global são exclusivamente devido as mudanças nos termos de spin Ξ(S)A

sisj. Uma situação particular para fi = f e gi = g é tal que Ξ

′ (S)A i j = ˆOf Ξ(S)Asisj Ofˆ , e ρ′_Chiral = 1 N M X i,j

cic∗j(|fihf|)A⊗ Ξ′ (S)Ai j ⊗ (|gihg|)B⊗ Ξ′ (S)Bi j ,

que possui correlações quânticas invariantes quando estados antissimétricos como os das Eqs. (3.211)-(3.212) são considerados. Na realidade, os estados quirais

| ψ2(3)Chirali = ˆ I4+ (−1)fˆγ5 2 !A ⊗ Iˆ4 + (−1) g_ˆγ 5 2 !B |ψ2(3)i, (3.219)

com f, g = 0, 1, são tais que, para um boosts na direção n = (sin(θ), 0, cos(θ)),

ρChiral₂₍₃₎ → ρ′ Chiral2(3) = ρChiral2(3) ,

4 Emaranhamento spin-paridade na simula-

ção da equação de Dirac com íons aprisi-

onados

A mecânica quântica relativística da equação de Dirac têm como consequência diversos fenômenos únicos. Os dois exemplos mais conhecidos são o paradoxo de Klein e o efeito zitterbewegung (GREINER, 2000; ITZYKSON; ZUBER, 1980). Como descrito parcialmente na seção anterior, o paradoxo de Klein ocorre, em sua versão mais simples, no estudo de espalhamento por barreiras de potencial. Devido à relação de dispersão energia-momentum da partícula livre e da descrição da barreira como um potencial escalar, sob condições específicas há maior corrente de partículas espalhadas do que incidentes, contradizendo o esperado no problema não-relativístico. Já o efeito zitterbewegung está associado à descrição de estados de biespinores com pacotes de onda: mesmo livre da influência de potenciais externos, o valor médio da posição de um pacote de ondas solução da equação de Dirac, oscila com o tempo. Em ambos os casos os efeitos estão associados com as soluções de energia negativa da equação de Dirac.

Diferente de outras predições da equação de Dirac, como por exemplo as correções hiperfinas dos níveis de energia do átomo de hidrogênio, tanto o paradoxo de Klein quanto o efeito zitterbewegung são fenômenos de altas energias associados a parâmetros dificilmente mensuráveis em laboratório. Por exemplo, a frequência de oscilação associada ao efeito

zitterbewegung é da ordem de 1021 _{Hz (LAMATA et al.,2007), fora do alcance de qualquer}

aparato experimental. Um modo de contornar esta limitação natural é através da simulação

quântica (GEORGESCU; ASHHAB; NORI,2014): utilizar um sistema quântico controlável

(simulador quântico) e mensurável para emular o comportamento de um sistema quântico sob o qual medidas são muito difíceis de serem realizadas, conforme esquematizado na Fig. 17.

Dentre os diversos efeitos e sistemas que foram implementados através de protocolos de simulação quântica podemos citar a simulação do efeito Unruh com íons aprisiona- dos (ALSING; DOWLING; MILBURN, 2005), da radiação de Hawking com circuitos supercondutores (NATION et al., 2009) e da expansão do universo com condensados de Bose-Einstein (FISCHER; SCHüTZHOLD, 2004). Mesmo sistemas de matéria con- densada possuem análogos utilizados para simular fenômenos como transições de fase quânticas (GIORGI; PAGANELLI; GALVE, 2010) e supercondutividade a altas tempe- raturas (YAMAGUCHI; YAMAMOTO, 2002). Um sistema controlável muito utilizado como simulador, não apenas da equação de Dirac mas de outros sistemas citados acima,

Figura 17 – Representação esquemática do conceito de simulação quântica. O simulador quântico é pensado de modo a haver um mapa entre o simulador e o sistema. Deve haver uma correspondência entre os estados inicial do sistema |φ(0)i e do simulador |ψ(0)i, entre os estados finais |φ(t)i e |ψ(t)i, e entre os operadores de evolução temporal U′ _{do sistema e U do simulador. Apesar de o sistema}

quântico a ser simulado não é completamente controlável, mensurável ou acessível experimentalmente, o sistema utilizado como simulador é controlável no sentido de ser possível preparar o estado inicial, de se controlar a evolução temporal e de medir o estado final. Desta maneira, através da do simulador se obtém informações sobre o simulado. Figura adaptada de (GEORGESCU; ASHHAB; NORI, 2014)

são os íons aprisionados (GEORGESCU; ASHHAB; NORI,2014).

Os íons aprisionados já foram propostos e utilizados experimentalmente para a simulação de diversas facetas da dinâmica de Dirac (LAMATA et al.,2011). Desde a simu- lação do paradoxo de Klein e do efeito zitterbewegung (LAMATA et al.,2007;CASANOVA et al., 2010; GERRITSMA et al., 2011), que foram implementados experimentalmente, até a proposta de protocolos para simular o oscilador de Dirac (BERMUDEZ; MARTIN- DELGADO; LUIS,2008) e efeitos de potenciais externos. É possível, por exemplo, utilizar um íon de quatro níveis internos para simular os efeitos de um campo magnético (ou elétrico) externo constante em uma partícula neutra (TENEV; IVANOV; VITANOV,

2013). Neste último caso, o Hamiltoniano simulado é tal que as soluções irão apresen- tar emaranhamento entre spin e paridade intrínseca (BITTENCOURT; BERNARDINI; BLASONE,2016).

Este capítulo é dedicado à descrição do emaranhamento intrínseco dos biespinores de Dirac no contexto da simulação quântica com íons aprisionados. O Hamiltoniano do simulador quântico, neste caso, é composto de três termos: o Hamiltoniano de banda lateral vermelha, formalmente equivalente ao Hamiltoniano de Jaynes-Cummings, o Hamiltoniano de banda lateral azul, chamado de anti Jaynes-Cummings, e o Hamiltoniano de carrier. Através de uma escolha conveniente de parâmetros é possível estabelecer uma relação

entre o Hamiltoniano que descreve a dinâmica do íon aprisionado com o Hamiltoniano de Dirac. Em particular, considerando um íon de quatro níveis é possível simular os efeitos de acoplamento não-minimal com campo externo constante (TENEV; IVANOV; VITANOV,

2013). Neste caso, examinando a relação entre simulador e sistema é possível identificar a correspondência entre a correlação intrínseca dos biespinores e o emaranhamento no sistema de íons aprisionados e, utilizando o ferramental introduzido no capítulo 3, é possível estudar não apenas essas correlações mas também a evolução temporal de qualquer estado inicial. Desta maneira, será descrita a relação entre as correlações nos dois sistemas tornando possíveis, dado o grau de controlabilidade do simulador, as medidas do emaranhamento entre spin e paridade intrínseca através de íons aprisionados. Por último, o formalismo utilizado pode ser estendido de modo a incluir efeitos de ruídos externos, o que será feito na última seção deste capítulo de maneira simplificada.