i CALCUL DES PROBABILITES.
On
jette deux des; les six points du premier, en s'associantauxsix du second, peuvent former trente-six combinaisons : la pro-babilite d'amener une d'entre elles, double deux par exemple,
est3-L.
La probabilite d'amener3 et4 est
^
: chacun des des pouvantdonner 3 lorsque Pautre donne 4? ^
J
a deux combinaisons favo-rabies 3 et 4? 4 et 3; on leurdonne
lememe nom,
3 et 4? maiselles sont reellement distinctes.
La
probabilited'un evenement
est lerapportdu nombre
des casfavor
ablesau nombre
total des caspossibles.Une
condition ebtsous-entendue : tonsles cas doivent etre egalement possibles.La
definition, sans cetterestriction, n'auraitaucun sens,llpeutsefaire que
Tevenement
arrive,il se pent aussi qu'il n'arrive pas; ce sont deux caspossibles, un seul est favorable. Tonte probabilite serail done . L'erreurestgrossiere. D'Alembert a eleve J'objec-lion etrefuse de passeroutre.
Avant
de compler les chances? il faut constaler qu'elles ontmeme
vraisemblance.2. Trois coffrets sont d'apparence idenlique.
Chacun
a deuxliroirs, chaque tiroir renferme une medaille. Les medailles du premier coffretsont en or; celles du deuxieme coffret en argent;
le troisicme cofiret contient une medaille d'or et une medaille d'argenl.
On
choisit un coffret; quelle est la probabilite pour trouver, dans ses tiroirs,une
piece d'or etune piece d'argent?Trois cas sont possibles et le sont egalement puisque les trois.
coffrets sont d'apparenceidentique.
Un
cas settlement est favorable. La probabilite est|.Le
coffret est choisi.On
ouvre un liroir. Quelle que soit la medaille qu'onj
trouve, deux cas settlement reslent possibles.Le
tiroir qui reste ferme pourra contenir une medaille dont le metal differe ou non de celui dela premiere. Sur ces deux cas, un seul est favorable au coffretdont lespiecessont differentes.
La
proba-bilite d'avoirmislamain sur cecoffret est done^.
Comment
croire, cependant, qu'il suffira d'ouvrir un tiroirpour changerla probabilite et de | Televera |?
Le
raisonnement nepeutetre juste. II ne Test pas en effel.CH4P. I. KNL'MERAIION DES CHANCES. 3
Apres I'ouverturedu premier tiroir deux cas reslenl possibles.
Surces deux cas, un seulest favorable, celaestvrai, mais les deux cas n'onl pas
mme
vraisemblance.Si la piece qu'on a vue esten or, I'autre pent tre en argent, mais on aurait avantagea parier pour qu'elle soil en or.
Supposons, pour en faire paraitre I'evidence,qu'au lieude trois cofFrets on en ait trois cents. Cent conliennent deux medailles d'or, cent deux medailles d'argent et cent une medaille d'or et
unemedaille d'argent.
Dans
chaque coffret on ouvre un tiroir, onvoit parconsequent trois cents medailles. Cent d'enlre elles sont en oret cent en argent, cela est certain; les centautres sont
dou-leuses, elles appartiennentaux cofFrets dont les pieces ne sont pas pareilles : le hasard en reglerale noinbre.
On
doit s'attendre, en ouvrant les trois cents tiroirs, a y voir moins de deux cents pieces d'or : la probabilite pour que la pre-miere qui se presente appartienne a Pun des cent cofFrets dontI'autre piece esten orest done plus grande que |.
3. Supposons, pour second exemple, que Pierre et Paul jouent auxboules; celui (|ni placerala boule la plus rapprochee
du
but gagnera. Us sontegalement habiles; mais Pierre a deux boules a jeter, Paul u'en a qu'une. Quetleest la probabilite pour quePierre gagne?Sur
trois boulesjeteespar des joueursegalement liabiles, Pierre en a deux.La
probabilite de gagnerest pour lui |.Ne
pourrait-on pas dire cependant :Chacune
des boules dc Pierre pent lre meilleure oumoins bonne
qne la boule dePaul; quatre cas ^ont done possibles. Surles quatre, un seul fait perdre Pjerre, celui ou ses deux boules sont
Tune
et I'aulre moins bonnes que celle de Paul, les trois autres cas lui sont favorables. La probabilite de gagner, pour Pierre,estf.L'enumeration
et
exacte, mais les cas n'ont pasm^me
vrai-semblance.Paul a de bons et mauvais coups. Si la boule
qu'il a lancde I'emporte sur la premiere boule de Pierre, il est a croire, sans rien savoir de plus, qu'elle n'est pas parmi les mauvaises. La chance pour qu'elle soit moins
bonne
que la seconde boule de4 CALCUL DBS PROBABILITIES.
Pierre est diminuee. Parmi les quatre cas possibles, ceux dans lesquels Pierre
vamcu
dansun
coup est vainqueur dans 1'autre sont moinsvraisembJables que ceux dans lesquels ses deux boules ont lemme
sort.4.
Une
remarque encore est necessaire : 1'infini n'est pas unnombre;
on ne doit pas, sans explication, I'introduire dans les raisonnements.La
precision illusoire des mots pourrait faire naitre des contradiclions. Choisirau
hasard, entre unnombre
infini de cas possibles, n'est pas uneindication suffisante.
On
dernancle, par exemple, la probabilite pour qu'un nombre, entier ou fractionnaire,commensurable
ou incommensurable, choisiau hazard
entre o et too, soit plus grand que 5o. La re'ponse senible evidente : lenombre
des cas favorables est lamoitie de celui descas possibles. La probabilite est .
Au
lieu du nombre, cependant, on peut choisirson carre*. Si lenombre
est compris entre 5o et 100, Je carre le sera entre ^5ooel 10000.
La probabilite pour qu'un
nombre
choisiau hazard
entre o et 10000 surpasse 2000 semble evidente : lenombre
des cas favo-rables est les trois quarts dunombre
des cas possibles. La pro-babilite estf.Les deux problemes sont identiques. D'ou vient la difference des reponses? Les enonces
manquent
de precision.Les contradictions de ce genre peuvent etre multipliees a Tinfini.
o.
On
traceau hasard
une corde dans un cercle. Quelle est la probabilite pour qu'elle soit plus petite que le cote du triangle equilateral inscrit?On
peut dire : si Pune des extremite"s dela corde estconnue, ce renseignementne change pas la probabilite; la symetriedu cercle ne permet d'jattacheraucune influence, favorable ou defavorablea I'arrivee de 1'evenementdemande.
L'unedes extre'mites dela cordee'tant connue
5
la direction doit tre r^glde par lehasard. Si
Ton
trace les deux cdte'sdu
triangleequilateral ajant pour
sommet
le point donne, ils forment entre eux et avec la tangente trois angles de60. La
corde, poure*treCHAP. I. ENUMERATION DES CH \NCES. 5
plus grande que le cdte du triangle equilateral, doit se trouver dans celui des trois angles qui est compris entre les deux autres.
La probabilite pour que le hasard entre trois angles egaux qui peuvent le recevoir le diri^e dans celui-la semble, par definition,
On
peutdire aussi : si1'on connait la direction de la eorde, ce renseignement nechange paslaprobabilite. La symetriedu cercle ne peimetd'y atlacheraucune influence, favorable ou defavorable aParrivee cle Pevenement demande.La direction de lacordeetant donnee, elle doit, pour tre plus grande que le c6te du triangle equilateral, couper
Pun
ou Pautre des rayons qui composent le diametre perpendiculaire, dans lamoitie la
plus voisine du centre. La probabilite pour qu'il en soit ainsi semble, pardefinition, egale a|.
On
peut dire encore : choisir une corde au basard, c'est en choisir au hasard ie point milieu. Pour que la corde soit plus grande que le cote du triangle equilateral, il faut et il suffitquele point milieu soit a uue distance du centre plus petite que la moitiedurayon, c'est-a-dire a Pinterieur d'un cercle quatre fois plus petiten surface. Le
nombre
des points situes dans Pinterieur d'une surface quatre fois moindre est quati-e fois moindre. Lapro-babilite pour que la corde dontle milieu estchoisi au hasard soit plus grande que le cote du triangle equilateral semble, par defini-tion, egale a {.
Entre ces trois reponses, quelle est la veritable?
Aucune
des trois n'est fausse, aucune n'est exacte, la question est mai posee.6.
On
choisit au hasard un plan dans Pespace; quelle est la probabilite pour qu'il fasse avec 1'horizon un angle plus petit
-On
peut dire : toua les angles sont possibles entre o et -, la probability pour que le choix tombe sur un angle inferieur a 7 4 est|.On
peut dire aussi : par le centre d'une sphere,menons
un rayon perpendiculaire au plan en question. Choisir le plan au6 C4LGUL DES PROBXBILITES.
hasard, c'est choisir au hasard Ie point ou cette perpendiculaire perce !a sphere.
Pour
que Tangle tin plan avec 1'horizon soil pins petit que 2,il faut que la perpendiculaire coupe la sphere dans 1'interieur d'une zone dont la surface est
cosT)
=
4-Le
rapport de la surface de cette zonea celle de ia demi-sphereest
asin2^
=
0,29.o
La
probabilite estdone 0,29.Cette question,
comme
laprecedente, est mal posee et les deux reponses contradictoires en sont lapreuve.7.
On
fixe au hasard deux points sur la surface d'une -phere;quelle est la probabilite pour que leur distance soit inferieure
a 10'?
Le
premier point peut tre suppose connu, la position qu'il occupe, quelie qu'elle soit, ne change rien a la probabilite cher-chee,Le
i^rand cercle qui reunitles deuxpoints peut etre egalemenl suppose connu, les chances possibles sont les niemes dans toutes les directions. Si Ton partage ce cercle en 2160 arcsde io', dema-niere que le point
commun
soit un point de division, les points situes dans le^ deux arcs separes par ie pointdonne
rcmplissent senls la conditiondemandee
: la probabilite est done^^o =
On
peut dire anssi : le premierpoint etantconnu, pourque
le second soit a une distance moindre que io', il faut qu'il soit situe dans nne zone dont lasurface est2i6o
Le
rapport de lasurface de cetiezone a celle de la sphere est 0,0000042308=
plus de deux cents fois
plus petiteque 77^.
CHAP. I. ENUMERATION DBS CHANCES. 7
Les probabilites relatives a la distribution des etoiles, en les
supposant semees
au hasard
sur la sphere celeste, sontimpos-sibles aassigner si la question n'estpas precisee davantage.
8. L'application clirecte de la definition, lorsque les cas pos-sibles sont en
nombre
determine etd'egale vraisemblance, est souvent, au contraire, un probleme facile appartenanta la theorie des combinaisons.