PREFACE

LES LOIS DU HASARD. ^XLVII correspondante. Docile^{ala theorie}

du

probabilisme,

chacun

resistera a la tentation

de

verser sa provision tout entiere

dans

1'urnefavorable a

Fopinion

qui ^lui agree^leplus.

Les

assemblies n'ont pas ^tente

Pepreuve;

^elles

cherchent

lesur,

comme

Pascal, le

probable ne

^leursuffitpas.

Laplace,

reprenant une

idee

de Condorcet,

^cherche

dans

le

compte

^{des votes}

concordants ou

discordants des divers

juges

^la

chance

_qu'ils ont

de prononcer

juste.

Se

_separant

pourtant de Condorcet

^sur

un

_{point de}

_grande

importance,

il fait varier cette probabilite d'une cause _{a Pautre,}

mais

la fait,

dans chaque

^cause, egale

pour

^{tous les}juges; ^{la seule}

donnee

introduiteest le

nombre

des juges favorables a

chaque

opinion. ^Si

un _jury

de

douze

_negres

prononce

^{sur le vol} d'une banane, ^la probabilite de bien juger ^sera, d'apres ^la formule,

precisement

^la

mme,

^a _majorite egale,

que pour douze

conseillers ala

Cour ^de

^{cassation decidant}

^une

ques-tion

de

droit.

La

probabilite,

dans

les calculs de Poisson, ^{reste la}

meme

pour

^{toutes les causes; il n'ignore pas qu'elle}

^peut

^varier,

mais

^ilcroit obtenir, sans doute,

une de

ces

approximations

bien conduites

dont

_{parleLaplace.}

Une urne

contient des boules noires

ou

_blanches; la pro-portion ^est

inconnue;

^il suffira,

pour

^{la decouvrir,}

de

faire

un _grand nombre ^de

_tirages.

Le

_rapport

du nombre

des boules blanches sorties

au nombre

^total des tirages fera con-naitre leur proportion

dans Turne. La

_verite,

malheureuse-ment,

aussi differente de 1'erreur

que

^{la couleur}

blanche

Test

de

lanoire,

ne

s'endistingue pas^si facilement.

Supposons, en second

^lieu,

deux

urnes

en

_presence.

On

ignore ^la proportion des boules noires

ou

_{blanches, et,} a cfhaque tirage,

on

fait eonnaitre,

non

^la couleur des boules,

mais

leuraccord settlement

ou

leurdisaccord.

On

ne"pourina

B.

d

XLVIII PREFACE.

par

de

telles epreuves, ^si

souvent

_qu'elles soient repetees,

determiner

^la composition des urnes,

mais seulement

ren-fermer

le

doute dans

des limilesplus

ou moins

etroites.

En

consultant trois urnes

an

lieu

de

_deux, le

probleme

^se resout

exaotement.

_Si, tirant

une

boule

de

_chacune,

on

sait quelles

urnes

s'accordent a

donner meme

couleur, 1'epreuve,

suffisamment

_repetee, ^fera connaitre, avec telle probabilite

qu'on voudra,

^la composition des ^trois urnes, sans distinguer toutefois les cas

ou

lesnoires seraient

changees

en blanches, et

reciproquement.

Poisson

et

Cournot

substituent

aux

trois urnes les trois juges

d'un meme

tribunal. Si Pierre,

Paul

et Jacques

pro-noncent

sur

un _grand

noinbre d'affaires,

on

pourra, sans savoir si leurs decisions sont _justes

ou

_injustes, connaitre leurs differences d'opinion.

La formule

qui ^{revele les} boules blanches des urnes s'appliquera

aux

chances

de

bien juger,

en

_{repoussant toutefois,}

pour chaque

^{magistral, la}

proba-bilite

de

se

tromper

plusd'une fois sur deux.

Mieux

vaudrait sans _cela, apres avoir vu, lu, relu, paperasse et feuillete les pieces

du

_{proces, jouer,}

comme

faisait Bridoye, ^la sentence a troisdes.

Les deux _problemes

assimiles

par Poisson

sont, en_realite, tres differents. Si Pierre et

Paul

s'accordent souvent contre Jacques,^il

pent

^{se faire}qu'ils aient,sur certains cas douteux,

une

_{opinion pareille} ^et _que,

en

la

repoussant, Jacques

com-prenne mieux

la loi. Peut-etre Pierre et

Paul

montrent-ils

pour

certains plaideurs

une meme

indulgence,

pour

^d'autres

une

egale.rigueur.

Pour

etre plus eclaire, plus droit, plus impartial, Jacques ^{alors serait} diffame

par

^{la formule. Si} Paul,

quand un ^de

^ses collegues a opine^le premier, ^n'a pas la hardiesse

de

le contredire,^la formule

y

^verra

une preuve

de

son m&rite. Est-elle digne

de

confiance?

Sans

s'arr6ter a

LES LOIS DU HVSARD. XLIX desdifficultesaussi _visibles,Poissonn'apas^craintd'assigner,

pour un

jurepris

au

hasard, ^la probabilite

de

decider_juste.

D'apres

Tensemble

des

documents

interpretes

parses

calculs,

chaque

jure,

en France,

^se

trompe ^une

^{fois sur trois. C'est}

beaucoup

^:

^Condorcet

^n'en

demanderait

_pas

davantage.

Quelques

^centaines

de

cesjures sans lumieres ^lui sufiiraient

pour

promettre,

au nom de

la Science,

aux

accuses innocents toute la securite

d'un joyeux

^touriste qui,

par un _temps

serein,

s'embarque

^sur

une mer

sans ecueils.

VI.

L'actionlibre des etres

humains,

^{celle aussi} des

animaux, quoi

qu'en^{ait dit}Descartes,

mele

a

Tenchainement

deseffets et des causes

un element

inaccessible

au

calcul.

La

liberte

du

choix produit, a

parler rig-oureusement, ^{les seuls cas} fortuits.

Les

lois

du hasard

etendent plus loin leur

domaine. Un homme

_agite

un

_cornet, lance les des,

doucement ou avec

force, droite

ou

a

gauche,

^{use sans conlrainte}

de son

libre arbitre; ^il

amene sonnez

i fois sur36.

On

substitue

au

bras

de

chair des

organes

^{de cuivre et} d'acier.

Une machine

_jette les des, ^les ramasse, ^les lance encore,

mue _par

la forceaveugle d'un ^ressort entretenue

par

d'autres ressorts.

Tout

est

determine; un geometre

^{calcule a}

Tavance

la succession des _points.

La formule donne sonnez

\ foissur 36.

Tous

lessoldats

d'une nombreuse armee

sont

appeles tour 4 tour i dire

un nombre moindre _que

7, le

premier venu.

Dans

leurs repomses^ ^inscrites

deux _par

_deux,

on

rencontre

deux 6

ⁱ foissur36. ,

,

L PREFACE.

D'ou

vient cela?

Les

lois

du hasard

genent-elles ^la liberte des efforts musculaires? reglent-elles

Tordonnance

d'un

me-canisme aveugle?

troublent-elles le caprice

de 100000

ima-ginations qui ^les ignorent? ^II n'en est pas ^{ainsi. Si}

Ton

influencelavolonte de ces

hommes;

^{si le}mecanicien, ^rebelle klaloi

de

_Bernoulli,

prend

plaisir ala mettre

en

_defaut; sile

joueur de

^des s'y applique avec

ou

sans adresse, toutes

nos

assertions seront fausses.

A

tout effort le hasard est docile;

sans souci

de

laregie, ^{il suit les}grosbataillons.

Le hasard

est sans vertu ^: impuissant

dans

les

grandes

affaires, ^il

ne

trouble

que

^les petites. Mais,

pour

^conduire

les faits

de

nature a

une

fin assuree et precise, ^il est,

au

milieu des _agitations et des varietes infinies, lemeilleur et le plus simple des

mecanismes. Les vapeurs

s'elevent, ^les vesi-cules se forment, ^les nuees s'epaississent, ^les vents les dis-persent, ^les meient, ^les entre-choquent,

engendrent

^la

tem-pete ^{et la} pluie^{; le} hasard conduit tout sans surveillance ni deliberation aucune, et,

precisement

parce qu'il estaveugle,

il remplit ^{le lit}

de

tous les fleuves, arrose toutes les

cam-pagnes

^et

donne

a

chaque

^{brin d'herbe sa ration necessaire} de gouttes ^d'eau.

TABLE DBS MATIERES.

Pages.

PREFACE v

GHAPITRE

I.

ENUMERATION DBS CHANCES.

1. Definition de la probability. L'egalite des chances est supposesdans la definition. 2. Exemple ^d'une enumeration mcorrecte. 3. Autre exemple. ^4. Le nombre des cas ne doit pas etreinfini. Contradiction, resultantde Toubli decettecondition. 5. Deuxieme_exemple. 6. Troi-sieme exemple. ^7. Quatrieme exemple. 8, 9, 10, 11, 12, 13. Solu-tionde quelques problemes par l'enume>ation^{deschances. 14.} Pretendu paradoxe du chevalier de Me*re. 15. Combien faut-il tenter de coups pour ^obtenir une probability donnee de produire au moins une fois un e've'nementdontla probabilite^est connue? 16,Problemedu_jeude ren-contre. 17. Problemerelatifaux _tiragesde boules numeiotees sansles remettre _apres chaque tirage. ^18. Probleme relatif au depouillement

<Tun scrutin de ballottage. ^19. Une urne contient des boules nume*-rotees, quelle ^{est la} probability pour que ^sur n tirages ^la somme des points^{tires ait}unevaleur donnee. _{20, 21.}Applicationaucasdetroisde"s.. i-a3

GHAPITRE

II.

PROBABILITES TOTALES ET PROBABILITES COMPOSEES.

22, Lessolutionsde problemes ^{isol^s} ne font pasune thorie. 23. Th6o-remedes probabilites ^{totales. 24.} Probabilites compos6es. ^25. Casou

le premier ev^nement influe sur la probability du second. 26. Les the"oremes ne sont dernontr6sque ^danslescas pourlesquels ^la probabilite*

estdefime; on complete ^les definitions. Les theoremes deviennem gen^-raux. 27. Erreurcommisedans latheoriedutiralacible, 28. Erreur commise dans ^la tb^oriedes _gaz. 29. Erreurcommise dans Tapprecia-tiondes pronostics surietemps. 30. Problemerelatifaux _tirages faits,

dansuneurne. Faussete d'unraisonnemenLen_apparencetres plausible.

31. Probability du brelan au jeu de ^la bouillotte, 32. Avantage.^{dax ,}

LII CALCUL DBS PROBABIL1TES.

Pages.

banquier au jeu dc trente-et-quarante. ^33- Etudes sur lejen du

bac-carat. 34. 35. Problemede lapoule 24~4 8

CHAPITRE

III.

ESPERANCE MATHEMATIQUE.

36. Definition de 1'esperance mathematique. ^37. Assertion exageree de Poisson. 38. La recherche de I'espeYance mathematique ^{et celle dela} probabihte* sont deux _problemesdistmcts. 39. Exemple ^{de la} simpli-fication d'un probleme par ^la recherche directe de 1'esperance mathe*-matique. ^40. Beuxieme_exemple. 41. Troisieme exemple. ^42. Qua-trieme exemple^dans lequel^la recherche de1'esperance mathematique^fait connallrelaprobabilite. ^43.Calcul d'une espe>ancemathematique^deduite des probability's des divers cas possibles. ^44. Probleme sur lejeu de

de"s. 45. Discussion de laformule obtenue. 46. La valeur probable d'une foncrion n'est pas determined par celle des grandeurs dont elle depend. ^47. Exception ^relative auxsommes et aux_produits quand ^les facteurs sont independants. ^48. Paradoxe de Saint-Petersbourg.

49. Insuffisance des explications proposers par Condorcet ^et par ^Poisson.

50. La _reponse du calcul est parfaitement raisonnable ^{et n'a} besom d'aucunejustification. 51, 52. lnsgnifiance de Pexplicationproposee par Daniel Bernoulli et devenue ce'Iebre sous le nom de theorie de

I'espe-rance morale _49-67

GHAPITRE

IV.

THEOBEME DE JACQUES BERNOULLI.

53. R^gularite* observed des resultats du hasard. 54. Probabilite des preuves repe'ie'es. 55. Evenemenisdont la probabilite est maximum.

56.Valeur _approche'e du_produit i a.3.../i. 57. Probabilite maxima dans unese"ried'e"preuves. ^58. Probabilityd'un evenement_peudifferent du plus probable. ^59. Fiction d'uri e*cartrepresente par une variable continue. 60. Premidre verification. ^* 61. Deuxieme verification.

62. Calcul exact de la valeur probableducarre de1'ecart; elle ne differe pas de la valeur approchee. ^63. Troisieme verification. 64. Calcul exact de la valeur probable del^cart,^{elle n'est} pas gale a ^lavaleur ap-proche'e. ^65. La probabilite pour que l'e"cart soit infe"rieura unelimite donne'e est donnee _par une _integrate que Ton a reduite en Table.

66 La probabilite d^junecart absolumfeneurauue limitefixe tendvers zero; quand ^le nombre des e"preuves augmente, ^{c^est} Tdcart relatif qui tend versze"ro. 07. La probabilite d'unecart _a,sur _p,^preuves, depend de_-p::exemples numeriques. ^68.feart probable et e"cartmoyen; leur

V?

rapport. ^69. Representationdunombre_probabled'arriveesen mtrodui-santunfacteurdontlavaleur determine la contiance meritee par^la for-mule. 70. Ce _qu'on doit entendre par jouer plus ou moins _{gros jeu}r

expression de _iaquelle dependent ^les chances de _perte sur un _grand

TABLE DBS MATIERES. LIII Pages.

nombrede_parties. 71 Applicationdu theoremedeBernoulliaux chances electorates. 72. Differences entre les conditions re*el!es et les donnees du probleme precedent. ^73. Le the*oreme de Bernoulli suppose ^la probability d'un evenement invariable, ^il suppose ^aussi que ^cette pro-babilite* ait une valeur objective; remarques ^{sur cette} question.

74, 75.Exemple^d'unese"rie d'epreuves^faites avec probability variable.. 68-96

CHAPITRE

V.

DEMONSTRATIONS ELEMENTAIRES DU THEOREMS DE BERNOULLI.

76.Lorsqu'un e"v6nement douteux peut ^se presenter de _plusieursmanieres etqu'une ^certainegrandeur^resultede chaqueepreuve, ^la valeur probable differedemomsenmomsdela moyennedes valeurs obtenues. 77. Appli-cation aune serie de _parties faites a un memejeu de hasard. ^78. Gas oulejeu^estequitable, ^lesenoncessetrouvent en defaut. 79. Epreuves successives de deux e*venements contraires. 80. Troisieme

ctemon-stration du the"oreme deBernoulli 96-108

CHAPITRE

VI.

LA RUINE DES JOLEURS.

81. Lorsqu'un joueur joue indefiniment^a unjeu equitable, ^sa ruine tdtou tard estcertaine. La proposition semble conrradictoire, ^elle ne _{Pest pas.}

82. Lorsque deux joueurs ^luttent indefiniment, quellesque^soientles conditionsdujeu, Tundes deux doitfinirpar^seminer. 83. Calcul nu-merique. ^84. La_pertepeut ^{entrainerlaruine} avant la fin du nombre convenu de_parties.Cela accroitleschancesderuine. 85. Deuxmanieres d'enoncerle probleme de ^la ruine des joueurs. ^86. Gasou, Pierre pos-se'dant

m

francs joue indefiniment^aunjeu Equitable. ^87.La valeur pro-babledunombredes partiesest infinie.IIn'y apas contradiction. ^88. De-monstration dere*nonc6 pre'ce'derit. 89. Calculdeschancesde ruinedans unnombredonne"de_parties. 90. Exemplesmime>iques. ^91. Gas ou deux joueurs ont des fortunes donne"es. Chance de ruine de chacun.

92. Gas oil le jeu ^n'est pas equitable. ^93. Autre maniered'obtenirle

m6me^resultat. 94, Gas ou lesdeux_joueurs ontm&ne fortuneet expo-sentla m^me raise. 95. Probability"pourqu'utxjoueurquijoue inde-finiment finisse par ^seruiner. Trois cas peuvent ^se presenter. ^96. Le cas ou la ruine n'est pas certaine est celui ou le joueur ^a un avan-tage. 97. Exemple numerique. ^98. Probabilite d^treruin^ precise*-ment_apresunnombredonne"de_coups. 99. Vaieur approch^e^dela pro-babilite\^- tOO. Probabilitypour que^laruinesoitposte*neureau_jjL^lJmocoup.

101. Valeur maxima de ^la probability. ^102. Valeur maximade ^la valeur approch6e. ^103. Valeur probable du nombre des parties jouees avant la ruine de Tun des _joueurs. 104. Gasou lejeu ^n'estpas Equi-table.Theoreme deM. Rouche". 105. Evidence apparente du th.e'oreme.

106. Insuffisance de la demonstration. 107. Reductiondu casora Ik ^-. jeu^estEquitableaucas g^ntoL^{- 108.Casoules}fortunes soat^galesen

LIV CALCUL DBS PROBABILITIES.

cornmencant lejeu. ^109.Gas ou deux_joueurslultantl'iin contre 1'autre peuvent Tun et 1'autre 6tre ruines. Insuffisance d'un raisonnement _qui.

semblefort simple. ^110. Cas ou Pierre et Paul possedent chacun ^afr. 111. Cas ou iis possedent ^{3fp. 112.} Gas _general. 113. Examen d'une combinaison _proposeepouraccroltreles chances de gain 10^-1^1

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