La probabilite d'un evenement compose est le produit des probabilites des evenements simples dent il exrge la reunion

Un

cas doitelre _pre'vu-, c'est celui oula probabilitedu second

eve-nement

est influenced par^Ja maniere dontse produit ^le premi'er.

Si, par exemple, une urne contientdeux Louies blanches^et deux boules _{noires, quelle} estla

probabilite, en tirant deux bottles de suite sans ^les> remet^re dans Turne, pour ^obtenirles deux boules blanches? La probabilite d'en obtenir une an premier tirage ^{est i;}

niais, an second, ^{elle est} douteuse: egale ^a| si le premier tiragea enleve une boule _nojire, elle sera|seulement si la boule _disparue

estblanche. Quelle^estcelle de ces deux fractions qui doit servir de rnulliplicateur? C'est ^laseconde, evidemment.

Dans

le premier des

deux

cas supposed, 1'evenement

demande

est devenu

impos-sible. Peu _importe la probabilite des epreuves qui viennent ensuite.

\

La

probabilite d*un evenement

compose

^{est le} produit de la probabilite du premier Evenement par ^la probabilite qu'acqmert

le second

guand ^on

^sait

gue

^le

premier

^estarrive.

On

a souvent

commis

des errenrs graves en oubliant ^{les dei}

1 -niers motsde cete'nonce*. ^v

26. Les deux theoremes pr^c^dents sont^etdoivente*tre

incom-pletement demonlres. Laprobabilite, en _effet, n'a ete defiuie que pour une ^{classe tres rebtreinte} d'evenemenls. 11 enexiste d'autres, incertains

comme

_eux, dans lesqueU I'enum^ration des cas ne pent ^rien apprendre. Les _principes leur sont-ils applicables?

Sont-ils des a presentdemontres pour eux^? Les _principes sont applicables.

26 CA.LCUL DBS PROBABILITES.

Us ne sont pas encore d<montre"s.

Comment

^{le seraient~iIs? Les}

probabilitiesdont^ilsdonnentlamesuren'ont_pasm<lmee"tedefinies.

Quelle ^{est la} probabilite pour que ^{la Seine soit gelee a Paris}

clans le couranl de Tannee 1990?

Pour

qu'un medecin appele pres d'un malade sache decouvrir la nature, ^la cause etle

remede

dn

mal?

Pour

qu'un hoznme age de quarante ans, aujourd'hui bien por-tant, atteigneTage ^desoixanle ans?

11fautcompleter ^la definition; lous ces cas Ltii echappent.

La probabilite d'tm evenement, quelle qu'en ^{soit la} nature, ^est dile egale ^a une fraction donnee_{/?, Jorsque} celni qui attend I

7

evc-neinenl pourrait echangerindifleremment le.s craintes on les espe-rances, ^les avantages on les inconvenieuts attaches a 1'arrivee de cet eve"nement contre lesconsequences supposees ^identiques de ^!a sortie d'une boule puisee dans une urne dout la composition ^fait naitre une pt'obabilileegale a/?.

Comment,

^{dans des cas tcls} que ceux qu'on ^{a cites,} justifier

une telle assimilation?

Ce

n"est pas en ce

moment

^la _question. Si FassimiJation e^t impos>sible^? on ne le fera pas. Si on la fait, ^il

hmdra

^la_justifier.

La

definition, dans Jes deux _cas, resteirreprochable.

Lorsque rassimilationsei-a faiteetjustifiee, on en _acceptera les consequences.

On

^{aura le} droitde _dire, par exempts ^:

Si, apres ^avoir appeleun _inedecin, on evalue a

~

la probabilite pour qu'il vienne et a _J la probabilitepourqu'il procure,^s'ilvienl, la guerison du malade; sans discuter ces _chifFres, celui qui ^les admet peut ajouter ^: Laprobabilite pour que ^le malade soitvisite*

etgueri par^{le inedecin} est,

pour

^moi,

Celui qui accepte, en _effet, les probabilite*s -^^et|-est, par defi-nition, dans le menoe doute que ^si, en _presence de dix urnes indiscernables dont neuf renierment

une

boule blanche et

deux

boules _noires, il cherchait la probabilite pour ^{mettre la}

main

sur I'une des neuf urnes dont la

composition ^est connue eten tirer

une boule blanche. L'identite' de^

deux

_problemes est admise; elle fait j>artie de I'^nonce. Si

on

allegue ['impossibility de mesurer en

CHAF. II. PROBABILITES TOTALES ET COMPOSEES. ₂₇ chiffres les

probability's dontnous parlous, 1'objection serait anssi peu ^fondle que ^{si, evaluani la} longueur ^d'un

champ

d'apparence rectangulaire ^a 3oo m el la largeur ^a ioom

, on contestait le droit d'ajouter,

independamment

^{de lonle} verification, cesmesures, ^si douieuses

qu'elles soient, ^et ces appreciations assignent au

champ

une surface de trois hectares.

La

_regie des probabililes ^{totales et celle} des probabilites

com-posees s'appliqueront ^{a loutes les} combinaisons de probabilites simples -aupposees evaluees en nombres. L'evaluation _{sera plus}ou moins judiciVuse, plus ou

moms

_justified, les consequences

vau-(Jrontce

qu'elle vaut elle-meme, mais^sans introduire aucun doute nouveau.

Leb precautions prescribesdans

1'applicalion desdeux _principes sont indispensables, bien entendu, quand ^{on les} transporte aux cas nouveaux.

II ne faudrait pas^dire, par exemple ^:

La probabilite pour que ^{la Seine soit} gelee a Parisen 1996 ^est

la

somme

des probabililes pourqu'elle ^NOit gelee pendant chacun dc^ mois _qui composent^1'annee.

Elle pentgeler, en _effet, en _plusieurs moih diflerents, et (23) 1'application du principe des probabilites ^totalesn'est paspermise.

Si Ton a evalu^ la probability pour qu'il gele demain a_|, celle

pour qu'il tombe de la

neige ^a-{, la

probability pour ^{voir ala ibis} de la glace ^etde la neige n'est pas

~.

La _gelee,en _efl'et, ^si elle se presente, change ^la probabilite de la neige.

Nous

citerons trois exemples inleressants d'erreurs

commises

par Poubli de ^ces conditions necessaires dans 1'enonce des prin-cipes.

27. PROBLEMS

XV. On

tire

a

la cible.

L'arme,

^{sans etre} parfaite, ne presente

aucun

defaut systematique; ^les devia-tions ont en tous sens

m&me

probabilite.

U _hypo

these est-elle realisable?

On

^le_suppose.

Quelle ^estla probabilite

pour que

^lepoint

frappe

^soit

a une

distance

du

but comprise^{entire r et4-}dr?

Les donneessont insuffisantes, cela sembleevident.

On

^a rdsolu cependant^le probleme par unefausse application desprincipes.

28 CALCUL DES PROBABILITES.

Rapportons ^le point ou_frappe la balle a deux axesde coordon-nees ayanl pour origine ^lecentre de ^la _cible, c'est-a-dire le point que Ton ^{veutatteindre. SoienL} <p(#)

dx

la probability inconnue pour que ^Pabscisse du _{point frappe}

tombe

entre so et

x

-+-dx,

v(y)dy

^la probability pour que ^I'ordonnee

tombe

entre

y

^et

y

^4-dy. La probabililepour que^laballefrappe^lerectangle

dx

_dy, dontles coordonnees sonla?ely. ^est, d'apres ^le principe des pro-babilites composees,

CetLe probabilite, d'apres notre hypothese, ne doit dependre que ^deladistance du point frappe ^a 1'origine, et

Ton

doit avoir

Cette equation ^suffit pour determiner ^{la fonction} y.

On

en dedtiit, en prenant ^lesderivees successlvement par rapport ^{a cc et}

La fraction

-^

^{-est parconsequent constanle,elTon en conclul}

que ^{la fonction} <p(^?), qui doit ^s'annulei- quand

x

est infini, est de la forme

Ce

_re^ultat, fort remarquable, ^n'est pas, malheureusement^

acceptable.

La connaissance delavaleurde

x

changerail, en effet, la

proba-bilite de celle de

y

^{et le lacteur} par lequel ^il faudraitmultiplier v(x)d3C) pour ^{obtenir la} probabilite d'un ecart

y

^{dans tin sens,}

associe a un ecart

x

dans_1'autre, serait une fonction incon)ue de

x

et

de^,

^{tres differente}peut-^tre de

p(jK)-La

deviation de laballe depend, ^{en effet,} du soin

plus ou moins grand ^et plus

ou

moins habile avec _lequel le coup ^{a ete} prepare*.

Si I'on a r^ussi sous uncertain pointde vue, ^il

y

^a plusde^clxances pour que ^lecoup ^soit bon et que ^{tons les ecarts soient} petits en me'me _temp^. Lademonstration precedenle ne ^tient aucun

comple

CHAP. II. PROBVBILITES TOTALES ET COMPOSEES. 29 de ceLte remarque; ^Jes probabilites

y

^{sont traitees}

comme

ind6-pendanles.

28.

Un

_{physicien justement} celebre, Maxwell, ^a propose ^dans 1'etudo des gaz un raisonnement donlTillusion_est semb]able.

Les molecules d'un _gaz, suivanl nne theorie que nous^n'avons pas ^{a discuter, se}

meuvent

en Lous sens avec de grandes ^vitesses.

Les directions sont regimes par^le hasardaussibienqueles vitesses, mais loutes les vilesses ne sont _pas egalement probables; ^la vitesse

maxima

et La vitesse

moyenne

^{varienlavec la} temperature.

C'est la probabilite pour qu'une ^moleculeait nnevilesse donnee qn'on espere decouvrir, sans introduire d^autres conditions.

Soit _<?(%) ^la probabilile pour que ^la composante paraliele ^a Taxe des

X

de la vitesse d'une molecule _prise an hasard soit x.

La

probabilite pour que ^{les trois} composantes ^soienl

x,y,

^z paralle-lement aux trois axes _sera, d'apres ^le theoreme des probabilites

composees, proportionnelle

Mais La probabilite pour qu'une ^moleculeait unevitessedonnee, sans que ^1'ou indique dans quel ^{sens, doit ^tre} une fonction de cetle _vitesse, puisque ^{toutes les directions} sont supposces

egale-ment

_possibles.

On

^{doitdone avoir}

etcette condition suffit pour ^determinerlaforme dela fonction

<p.

On

en _deduit,

comme

_(27),

La demonstration n'est pas acceptable. Le principe des proba-bilites composers n'a pas et^ correctementapplique. ^Sila

compo-santedelavitesse d'une molecule parall&lementa^I'axe des

X

^est5?, lavaleurde

x

_supposee

connue

influe surla probabilite pour que

la vitesse composed parallelement ^a Taxe des

Y

^soit _{y. Si, par}

exemple,

x

est gal a la vitesse maxima, ^le

mouvement

est

certai-nement

_dirig^ parallelement ^a Taxe des

X,

^{et la} probabilite de

y

est nulle.

30 CALCUL DES PROBABIL1TES.

La

conclusion obtenue,

independamment

^des objections qtie ^la iheorie peaLfaire naitre, ne naerite done aucaneconfiance.

29.

On

_{pourrail multiplier} les exemples; nous en citerons tin troisieme ^:

Un

me'teorologisle annonce chaque ^{soir le} temps qu'il fera le lendemain. La probabilitepourqu'il pronostiquejuste^estsupposee egale ^a p.

Un

secondobservateur _fait, de son _c6te, des predictions donl Inexactitude a pour probabilite

p

^]'.

Les deux observateurs s'accordent pour predire qu'il pleuvra demain. _Quelle est la probabihie pourqu'ils se Irompent ^{tons les}

deux?

La probabilite pour que ^le premier^se trompe ^{est t} p.

La

probabilite pourque ^{le second se} trornpe^{est i}

p

^1'.

La

probabilite pour qu'ils se trompent ^{tons les} deux est une probabilite composed, ^{mais elle n'est} pas mesuree _par le produit

La

probabilite composee ^estle produit de (i p) par^la

proba-bilite'

pour que ^le second observateur se Lroinpe, quand on ^sait que ^le premier ^{a fait un faux} pronostic.

Les donne"es du probleme ^{laissent cette} probabilite

complete-men

^tineon nue.

Si Jes

deux

observateurs ont recu les me"mes _lecons, s'ils ont adopte ^les

memes

_principes, en presence des

mmes

faits ils por-terontle m^rne _jugemenl. Si

Tun

se trompe, ^I

7alitre se trompera aussi; ^le second facteur du _produit sera Tunite. L'accord certain des deux, predictions ne diminue _pasla chanced'erreur.

Si Jes deux methodes soutdifFerentes, ^les conclusions pourront

1'etre aussi, sans pour ^cela devenir iodependantes. Certains

s/m-ptomes sonl necessairenientapprecies de^la

mme

_rnaniere, et leur

nombre

inconnu laisse le probleme^insoluble*

Si

Tun

des me'teorologistes annonce

qu'il pleuvra, ^1'autre _qu'il ne _{pleuvra pas,} la probabilite pour qu'ils disent juste tons deux

n'est pas

pp

^{1 :} elle est nulle.

30.

PROBLEME XVI. Une

urne contient trots boules

mar-quees i, 2 et3.

On

en tire

deux

success

wement,

en remettant

CHAP. II. PROBABILITIES TOTAT.ES ET COMPOSEES. 31

dans

Curne, apres ^le

premier

tirage, ^laboule

qui

^enest sortie.

Quelle ^{est la} probabilite

pour _que

^le plus

grand numero

sorti soit 2?

Pour

_que 2 soil ^le plus grand ^des numerss _sorlis, ^il fautque ³ ne se soit pas montre etque^{I'on n'ait} pas ^tire

deux

fois le n ⁱ.

Pour

qu'al'une des epreuves ³ ue _{sorte pas,} la probabiliteestf*

Pour

qu'il ne sorte ni au premier ^{ni au} second _tirage, elle est

-|.

Pour que ^{i sorte} deux fois, ^la probabilite ^{est i;} | ^est par conse-quent ^la probabilite pour qu'il ne sorte pas ^{a I'un et} 1'autre tirage.

L'evenement

demande

semble done

compose

^{de deuK} autres-dontles

probabilites sont| et-|; ^il ne faut pascependant ^{faire le} produit de ^cesdeux fractions. IIfaut (2o) multiplier | par ^Ja pro-babilite pour que ⁱ ne sorte pas ^{2 fois,} lorsque ^{I'on sait}

que

^3>

n

^yest

pas

^{sorti. Celte} probabilite" est|; ^le

numero

3 e*tant ecarte,

il n'en resle en efiet que ^deux. La probabilite pour que ^{i sorte}

est_|, pour qu'ilsorte deux fois

, et pourqu'il ne sortepas ^deux.

fois, par consequent, ^{elle est} |.

Laprobabilite

demanded

est

On

aurait pu ^{dire :}

Pour

_que le plus grand des

numeros

sort-is-soit 2, ^il fautque 2 soit sorti etque ³ nele soit pas.

La probabilite de n'amener2 a aucune desdeux _epreuves est_{|- ?} celle de I'amener uoe fois au moins _est, par consequent, ^-.

Laprobabilite|^{doit etre}multipliee par^laprobabilite dene

pas-amener

_4> sachant

que

^{2 est sorti.}

Si 2 est sorii au premier tirage, ^la probabilite dene _pas

amener

3 au second est ^.

Si 2 est sorti au second _tirage, la probabilite de ne pas avoir

amene

3 au premier^est |. Acceptons done ^cettteprobabilitef qui convient aux

deux

_cas, nous trotiverons pour ^la probabilite*

de-mandee

Le

disaccord avec le resultat precedent^est

un

avertissement. II n'etait paspermis,

comme

nous1'avons _fait, de partager ^{la sortie}

32 CALCUL DES PROBABILITES.

-supposee ^{de 2 en}

deux

cas distincts etde supposersuccessivement 2 sord a la premiere on a la seconde _epreuve. ^{II a} pu ^{sortir a} touLes deux; ^{notre calcnl faitenlrer} deux fois en comple ^{le cas}ou

les

deux

tirages auraient, 1'un et I'autre, amene" le point ^2.

31.

PROBLEMS XV11.

Probabilite des brelans

aujeu

^{de la}

bouillotte.

La bouillotte se joue avec vingt ^carles.

On

enleve d'nn jeu de trente-deux cartes _{les sept,} les valets et les dix.

Chacun

des quatre joueurs ^{recoit trois cartes.}

On

retourne la treizieine.

Un

_joueurabrelan lorsque ^{ses trois cartes} sontde me'me_espece,

trois rois, trois as, etc. 11a brelan carre* lorsqae ^{toates trois} sont de me'ine espece que ^{la retourne.}

Soil pt ^la probability pour que ⁱ joueurs design^{e*s aient} des brelans.

On

deduit dn theoreme des probabilite*s composees

20^.3.2

=

o,ooooi36o8,

8.3.2 _ae

=

0,0000006^981^.

On

_pent ^avoir brelan en effetquelle que ^{soit la} premiere carte;

la probabilite pour ^avoir une _premiere carte est _^J, celle ponr que ^ia deuxieme soit de

mme

_{espece que} la premiere ^{est , et} pour que ^{la troisieme soit de}

mme

_{espece que} ^lesdeuxautres ^la probability ^est

^.

Cette probability /?^ calcul^e

pour

un

premier joueur^a qui ^1'on donneraittrois cartes, sans s'occuper des autres, convient a

Tun

quelconque ^{des trois, car la} maniere de distribuer les cartes est indifferente.

Lorsqu'un premier joueur ^a brelan, ^la probabilite pour qu'un second Tail aussi est

change,

^{II faut d'abord} _que ^fa _premiere

carte rende le brelan _possible. La probability ^est ||, car eile ne

CHAP. II. PROBABILITES TOTALES ET COMPOSEES- 33 doit pas ^{tre celle} qui complete ^{le brelan} deja ^fait; pour que ^la deuxieme carte soit pareille a la premiere, ^la probabilite ^est

~,

etpour que ^{la troisieme soit} pareille aux deux autres elle est

~.

Oa

^{en conclat}

/>=<pi-tf

AA;

lesautresformnles se demontrent de la

mme

^maniere.

P*i Pi, pzi P* sont des probabilites ^totales. Si I'on represente par

w

tla probabilite pour que ⁱjoueurs designe's aient des bre-lans etqu'ils soient seals a en _avoir,on aurales relations

P\

=

73Ji

H-II est _clair, en _effet, que ^la probabilite pour qu'un joueur ^ait brelan se

compose

^{de la} probabilite ^tzt pour qu'il Fail seul

?

de la probabilite ^37jj2 pourqu'il Faiten

mme

_{temps que}

^Fun

ou Tautre de ses adversaires, de la probabilite

3w

2 pour qu'ii Fait avec deux d'entre eux, cequi^fait trois cas, et de la probabilitew* pour que

les qnatre joueurs aient brelan.

On

deduit des equations (i)

et, par consequent,

wit.

=

0,000000669,

Tn3

=

0,0000 ragiS, ny2

=

o,ooo386244, TUi

=

0,016345764.

La

probabilite pourqu'il n'j ^ait aucun breian est

Rj ^{etant la} probability d'avoir brelan pour ^le joueur de rang ⁱ -quand ^les precedents n'en ontpas.

On

^a evidemment

JR.i

=

7J5j[H 3TZTg-+-3TiTa HW^j

B.

34 CALCUL DBS PROBABILITIES.

La probabilile

R

4 pour qne ^le quatrieme joueur ^{ait brelan, les} autres ne I'ayant pas, ne differe pas en ^effet de _Wj.

R

3, probabilite pour que ^{le troisieme}joueur^{aitbrelan, les}deux premiers ne 1'ayant pas, ^esl une probabilite ^{totale. II} pent ^avoir brelan tout _seul, la probabilite ^estw<; on1'avoir en me-me temps que ^le quatrieme ^{joueur, la} probabilite ^esttsjj.Lesautresformules

se justifientpar des raisons semblables.

On

en conciut

R!

=

_/?i

=

_0,017554,

R>

=

_/?i ^1=0,0171312,

R

3

=

_{Pl 2/?2-f-Ps}

=

_0,016782,

R

4 pi 3^-4-3/?³

p

⁴

=

_o,[634576,

Q =

o,933₉5.

32.

PROBLEME

XVIll. Quelle ^{est la} probabilite

de

la

chance

_favorable reservee

au banquier dans

^le

jeu de

^trente

et

quarante?

Le

_{jeu de} trenle et quarante ^se joue avec

un

_grand

nombre

de cartes, reunion de divers jeus complets ^{meles en} un _seul, bien entendu.

On

abat une a une assez de cartes

pour

^{obtenir une}

somme

de points superieure ^{3o, les} figures ^e*tantcomptees pour ^10et

les autres cartes pour ^le

nombre

de points qui s'y trouvent

mar-ques.

Une

seconde cpreuve^{suit la} premiere.

Le hasard

donne

ainsi deux sornmes toutes deux _plus grandes que 3o ^{et egales au} plus ^a 4o.

Le

_{joueur parie pour} celle des deux

sommes

_qu'il choisit et

gagne ^{si elle est} plus grande que ^I'autre.

Si les

sommes

sont egales, ^le coup ^{est nul.}

Un

seul cas est excepte", celui ou Ton adeux fois 3i.

Ce

^refait de 3i est le seul avantage ^reserve* au banquier; ^il a droit, dans ce_{cas, a} la moitie'des mises.

Nous

supposerons ^le

nombre

des cartes assez grand pour que, pendant ^les deux _{premiers lirages,} on puisse ndgliger 1'inflnence des cartes sorties sur les probability des divers

points. ^S'il y ^a huitjeux, par exemple, ^et par consequent trente-deux _sept, la

CHAP. II. PROB4BILITES TOTALES ET COMPOSEES. 35 sortie cPun _sepidiminue la probabilite d'en voir^sortir un second.

II serait difficile de dire quelles sont les cartes dont la sortie accroit ou diminue la probabilite du refait de 3i.

Nous

neglige-rons cette tres

petite influence.

Soit P^ ^laprobabilite pour que, en ^abattant successivement les cartes, ^la

somme

_prenne a un certain

moment

la valeur n.

La

somme

ⁱ ne _pent se produire qu'au premier coup, ^si Ton abat un as. La probabilite pour ^{cela est}

~;

^{on a}

La

somme

2 pent^se produire de deux manieres : 2 au premier coup ^{; as} au premier, ^{as an} second.

On

a

p₂==J_ ₌₌

_L = J/

I_,JL\

i3 i3² i3 V i3/

La somme

3 peut ^se produire de ^trois manieres : 3 au premier coup ^; passer par ^la somrne 2 obtenue en une ou en deux fois et la faire suivre d'un _as;

commencer

_par un as7 puis

amener

un 2.

On

en deduit

On

a, eugeneral, tantque

n

est inferieur a 10, Prt=73

+

75

Pl+

T3

P2+

^{'' *}

73 Pn^~

On

trouve ainsi

PI

=

_0,076927,

P3

=

_0,089212,

P4

=

_0,096075,

P5

=

_o,io8465,

P_e

=

_0,111424,

P7

=

_0,117995,

P₈

=

_0,129226,

P9

=

_0,139166.

36 GALCUL DES PROBABLLITES.

A

_partir du _{point 10,} les conditions changent; quatre ^cartes differentes, en _effet, les dix et les trois figures, peuvent

amener

dix points.

On

a

Au-dessus de n

=

10, ^la formule evidenie P

=

7

^{o(Pn-1-HPft-2+-..-*-}

P-9

)~*~

73

P

donne

PII

=

_0,120218, P22

=

_0,142640,

PJ2

=

_o,124908, P₂₃

=

_o,146089,

P13

=

0,129613, P₂₄

=

P u-o,i343o4, P₂₅

=

PIS=0,139898, Pa6=0,161192, Pis

=

_0,143167, P27

=

_0,152728,

Pl7⁼⁼0,l47J43, P2 8

=

_0,154272,

P18

=

_0,161978, P₂₉== o,i55382,

P19

=

_o,i56o2r, P₃₍₎

=

_0,168488,

P20

=

o.218024, P3i

=

_0,148218.

P₂₁

=

_o,i4oo33,

La

probabilite d'obtenir 3i e'tani

P

3H, celle de Fobtenir deux

fois est

(P3i)²

=

_0,0219686.

Poisson, dans

un Memoire

de lecture _{difficile, a Irouve',} pour valeurapprochee ^{de la} probabilite du refaitde _3i,

0,021967.

II tient compte ^de 1'in.fluence des cartes

dja

passees sur^la pro-babilite de celles qui ^{suivent et} suppose ^huit jeux reunis. L'in-fluence est petite, on le voitpar^la concordance du re*sultat exact

du

calcni faiten _snpposantle

nombre

desjeux ^{infini avecle}

r^sul-tatapproche ^de1'autre.

II ne faut pas ^croire que 1'influence augmente lorsque, ^le jeu continuant, ^{les cartes} deviennent moins nombreuses. II s'agit, en _effet, decalculer

wantage

^du banquier ^etnon son _bene'fice,

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