A modelagem matemática de escoamentos em meios porosos é fundamentada nas equa- ções básicas da mecânica do contínuo, expressas pelas leis de conservação (massa, quantidade de movimento e energia), as quais são definidas em uma escala microscópica. No entanto, mesmo com o desenvolvimento atual da computação, a resolução de tais equações se torna extremamente difícil devido à complexidade da geometria dos canais porosos e às condições de contorno prevalecentes (VAFAI et al.,2005).
As equações definidas em escala microscópica podem ser representadas em escala macroscópica por meio da utilização de valores médios das grandezas com relação a um volume grande o suficiente para abranger muitos poros e superfícies (REV – Representative Elementary Volume). Através dessa abordagem, apesar de não ser possível conhecer o perfil de velocidade entre dois grãos sólidos dentro do meio poroso, obtém-se uma velocidade do fluido em um sentido médio. AFigura 4ilustra um esquema do REV (VAFAI et al.,2005).
Figura 4 – Representação da escala microscópica (no sistema cúbico à esquerda), onde as di- mensões são menores do que o diâmetro característico (dp) das partículas sólidas
constituintes do meio poroso, e do REV (no sistema cúbico à direita), o qual tem uma dimensão característica l muito maior que o diâmetro dp
. dx’ dy’ dz’ dz dy l=dx dp l >> dp dx’=dy’=dz’ << d REV p
Fonte: Adaptado deVafai et al.(2005)
Considera-se um meio poroso constituído por partículas indeformáveis e fixas no espaço através do qual há um escoamento isotérmico e monofásico de fluido newtoniano com massa específica (ρ) e viscosidade (µ) constantes. É possível escrever a equação da continuidade e do
Capítulo 4. Escoamento em Meios Porosos 32
movimento (Navier-Stokes) em escala microscópica para o fluido como, respectivamente, ~ ∇ · ~v = 0 (4.1) e ρ ∂~v ∂t + ~∇ · (~v~v) = − ~∇p + µ∇2~v + ρ~g, (4.2) em que p é a pressão e ~g é a intensidade do campo exterior.
A porosidade, dada conforme
φ = Vf Vt
, (4.3)
é função do volume total do REV (Vt) e do volume de poros do REV (Vv). Vv é equivalente
ao volume de fluido (Vf) quando ele satura o meio poroso, que é o caso da modelagem deste
trabalho.
A velocidade média intersticial e a pressão média intersticial, representadas por h~vi∗ = 1 Vf Z Vf ~vdV (4.4) e hpi∗ = 1 Vf Z Vf pdV, (4.5)
correspondem a grandezas médias relacionadas aos espaços preenchidos com fluido, de forma a desconsiderar as partículas sólidas do meio poroso.
Os valores instantâneos da velocidade (~v) e da pressão (p) podem ser descritos como uma variação randômica em torno dos valores médios:
~v = h~vi∗+ ~v0 (4.6)
e
p = hpi∗+ p0, (4.7) em que os termos ~v0 e p0 indicam a flutuação instantânea, com média nula.
Aplicando a média volumétrica na Equação 4.1 e na Equação 4.2 e decompondo a velocidade e a pressão em valores médios e flutuantes, é possível obter as equações de transporte em escala macroscópica por:
~ ∇ · (φh~vi∗) = 0, (4.8) e ρ ∂ ∂t(φh~vi ∗ ) + ~∇ · (φh~vi∗h~vi∗) + ~∇ · (φh~v0v~0i∗) = − ~∇(φhpi∗) + µ∇2(φh~vi∗) + φρ~g + ~Ff s, (4.9) em que o termo φh~v0v~0i∗representa a tensão adicional devido variações de velocidade no REV,
com ocorrência similar às tensões de Reynolds que aparecem na turbulência; o termo ~Ff s
representa a força resistiva interfacial de interação fluido-sólido, com contribuição da pressão e tensões de cisalhamento atuando na superfície sólida. Detalhes das promediações realizadas se encontram emVafai et al.(2005).
Capítulo 4. Escoamento em Meios Porosos 33
4.1.2 Equação de Darcy
É possível definir a velocidade média superficial do fluido, também conhecida como velocidade de Darcy, pela equação
h~vi = φh~vi∗, (4.10)
que representa uma média sobre a área transversal total do escoamento (incluindo as partículas sólidas e o fluido).
No caso de escoamento uniforme e estado estacionário ou quase estacionário, aEqua- ção 4.9pode ser simplificada pela equação
− ~∇hpi + ρ~g = − ~Ff s/φ, (4.11)
que se encontra escrita em função da pressão do fluido nos poros (hpi = hpi∗). A expressão para ~
Ff senvolve vários termos, sendo função da força de arrasto de Stokes, da força de atrito devida à
camada limite de advecção, da força de massa virtual invíscida e da força viscosa de memória de Basset devido à camada limite transitória. Os termos constituintes de ~Ff sdependem do regime
de escoamento do fluido, sendo relacionados ao número de Reynolds, assim como da geometria microscópica dos sólidos, o que torna necessária a utilização de procedimentos experimentais para determinação dos coeficientes pertinentes (VAFAI et al.,2005).
No limite dos fluxos oscilantes de baixa frequência, o termo ~Ff s pode ser simplificado
em equação confirmada porHsu et al.(1999) por meio de experimentos para fluxos através de meios porosos em uma ampla faixa de números de Reynolds:
− ~∇hpi + ρ~g = µh~vi k + hcpρµ|h~vi|h~vi k3/2 + F ρ|h~vi|h~vi √ k , (4.12) em que k[m2] é o coeficiente de permeabilidade e F e hc são parâmetros dependentes da
geometria microscópica do meio. Do lado direito da equação, o primeiro termo contabiliza efeito da camada limite viscosa para número de Reynolds muito baixo, o segundo termo para número de Reynolds intermediário e o terceiro termo para número de Reynolds alto.
Quando o escoamento de fluido na matriz porosa é lento, apenas o primeiro termo do lado direito daEquação 4.12 se torna relevante, fazendo com que possa ser simplificada na conhecida equação de Darcy:
h~vi = k µ
− ~∇hpi + ρ~g. (4.13) Em escoamentos incompressíveis e verticais, aEquação 4.13pode ser escrita como:
h~vi = −k µ
~
∇ (hpi + zρgz) , (4.14)
em que z é a distância medida a partir de um plano horizontal de referência, sendo que z é positiva na direção contrária a gz. A Equação 4.14 pode ser rearranjada em função da condutividade
Capítulo 4. Escoamento em Meios Porosos 34 hidráulica (K[m/s]) por h~vi = −K ~∇ hpi ρgz + z , (4.15) em que K = kρgz/µ.
A Equação 4.15foi obtida a partir de dados experimentais pioneiramente por Darcy
(1856) e é utilizada com frequência na fluidodinâmica em meios porosos. A equação de Darcy é amplamente utilizada na modelagem de escoamentos de fluidos em formações geológicas, como reservatórios de petróleo e aquíferos, em que o número de Reynolds é pequeno (Re < 1). Nestes casos, diz-se que o escoamento é darcyano, que, em meios porosos, é equivalente ao escoamento laminar em meios sem obstáculos (MASSARANI,2001).
A equação de Darcy, quando combinada à equação da continuidade (Equação 4.8), resulta na equação clássica da hidráulica subterrânea:
∇2(hpi + zρg
z) = 0. (4.16)
Neste caso, a profundidade é igual à −z.