5.4.1 Transição da Rugosidade em Dimensões Superiores
Pellegrini e Jullien(1991) propuseram um modelo denominado DB/DARS que consiste em uma interpolação entre o modelo balístico, com probabilidade de ocorrência p, e o modelo
Capítulo 5. Modelos de Deposição 45
de Family, com probabilidade de ocorrência (1 − p). Os autores realizaram simulações em uma superfície d-dimensional [espaço de dimensão (d + 1)], que permitiu, entre outras coisas, a obtenção do expoente efetivo (em tempos curtos) β e a verificação do comportamento da densidade dos depósitos para d = 1, 2 e 3.
Gráficos de β versus p para diferentes valores de L foram construídos, sendo que os encontrados para d = 1 e 2 estão presentes naFigura 13.
Figura 13 – β versus p para (a) d = 1 e (b) d = 2.
(a) (b)
Fonte: Modificado dePellegrini e Jullien(1991)
Observa-se que, em d = 1, aumentando o valor de L, ocorre suavização da curva β versus p. Em d = 2, há um valor limite de p (denominado pL) para o qual ocorre uma alteração
abrupta dos valores obtidos. Para p < pL, β é pequeno, representando expoentes efetivos bem
próximos aos de EW; a partir de p = pL, β aumenta acentuadamente e, em p > pL, é próximo a
0,25, que é consistente com a equação KPZ. Observando aFigura 13, nota-se que o valor de pL
se encontra em uma faixa de 0,3 a 0,4 para d = 2.
É importante enfatizar que é esperado que o modelo DB/DARS seja descrito pela classe KPZ para qualquer p > 0 e, consequentemente, em tempos longos e substratos muito grandes os valores assintóticos dos expoentes α, β e z devem ser compatíveis com os encontrados para tal classe (CHAME; REIS,2002). Como a transição que ocorre em pLnão deve mudar a cinética
de enrugamento, os valores de β efetivo obtidos porPellegrini e Jullien(1991) em p < pLnão
foram calculados em tempos suficientemente longos. O mesmo vale para valores β efetivo nos depósitos em d = 1 para p < 0,3 (aproximadamente).
Pellegrini e Jullien(1991) também estudaram a densidade (ρ∞) dos depositos porosos
formados, sendo por eles calculada como: ρ∞=
Np
Ldh, (5.19)
Capítulo 5. Modelos de Deposição 46
Curvas ρ∞versus p foram construídas para diferentes valores de L e para d = 1, 2 e 3.
Todas as curvas exibiram uma forma sigmoidal com um ponto de inflexão, mas somente para d = 2 e 3 a inclinação da tangente no ponto de inflexão divergia quando L → ∞. O gráfico em d = 2 se encontra naFigura 14(a).
Figura 14 – (a) ρ∞versus p e (b) −∂ρ∞/∂p versus p para d = 2.
(a) (b)
Fonte: Modificado dePellegrini e Jullien(1991)
O ponto de inflexão foi melhor observado com o cálculo da derivada −∂ρ∞/∂p a partir
das diferenças entre pontos sucessivos. O resultado se encontra naFigura 14(b). Com isso, foi possível estimar o ponto de transição em pL = 0,39 ± 0,01 para d = 2.
A transição foi considerada como correspondente a um limiar de percolação, que só ocorre em depósitos formados com p ≥ pL. Abaixo deste limiar, não deve haver conectividade
dos poros através do depósito.
Yu e Amar(2002) também chegaram à mesma conclusão dePellegrini e Jullien(1991) quanto à existência de uma zona de transição de percolação para os modelos DB/DARS em espaço tridimensional. Em seu trabalho, os autores verificaram que, quando p = pL, a rede
de poros é um fractal com df ≈ 1,9 (df < de, em que de = 3). Considerando p < pL, a rede
também vai parecer um fractal em escalas de comprimento pequenas devido a efeito de tamanho finito e, em p > pL, a rede não apresenta característica fractal por ter dimensão fractal próxima a
3 (df = de).
Além dos cálculos referentes à dimensão fractal,Yu e Amar(2002) mostraram a variação da área superficial como função da probabilidade p e observaram que, para p > 0,35, a área superficial total aumenta rapidamente, como esperado se cada partícula do depósito fizer parte da superfície interior do mesmo. Para p < 0,35, a área superficial decresce rapidamente, indicando um valor mais preciso para a transição de pL= 0,35.
Capítulo 5. Modelos de Deposição 47
5.4.2 Região de crossover para Valores Pequenos de p
Grossmann, Guo e Grant(1991) investigaram que, quando o coeficiente λ da equação KPZ apresenta valor pequeno e o coeficiente ν um valor grande, há a ocorrência de uma transição (crossover) do crescimento linear proposto por EW para o comportamento da equação KPZ. Eles propuseram que o tempo em que ocorre a transição de escala (tempo característico, tc) é dado
conforme a seguir:
tc∼ λ−m1, (5.20)
em que m1pode ser obtido por argumentos de escala.
Chame e Reis (2002) observaram que, para valores pequenos de p e valores de L
suficientemente grandes, a rugosidade da interface apresenta regime de acoplamento fraco da teoria KPZ. Tal fato pode ser observado nos resultados obtidos porPellegrini e Jullien(1991) em valores de p < 0, 30 (aproximadamente), quando o expoente efetivo β foi próximo do previsto por EW. Dessa forma, pode-se dizer que há três regimes distintos: i) regime de crescimento linear, determinado por EW, para t << tc; ii) regime de crescimento não linear, determinado por KPZ,
para tc<< t << tx; iii) regime de saturação em t >> tx. Dados de simulações possibilitaram
encontrar uma relação entre λ e p na forma de lei de potência, de modo que o valor de λ decresce rapidamente com a diminuição de p e, como consequência, tcaumenta rapidamente, tornando a
região de crossover significante.
O valor de tx é de extrema importância, já que, caso tx << tc, a região de transição
para a escala KPZ não é observada e, ao invés da saturação obedecer ao regime KPZ, será dada conforme a classe EW. Para que tx seja grande o suficiente para a existência da zona
intermediária KPZ, o valor de L deve ser suficientemente grande, sendo necessário que seja maior do que um tamanho crítico.
Os expoentes α||e α⊥, introduzidos nasubseção 5.3.4, foram determinados porKrug e
Meakin(1990) no regime de acoplamento fraco da equação KPZ. Nesta situação, como a taxa de crescimento dos depósitos no regime linear irá obedecer os expoentes de escala EW (z = 2 e α = (2 − d)/2), as seguintes expressões para os expoentes α||e α⊥ são válidas:
α|| = d (5.21)
e
α⊥ =
d
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6 METODOLOGIA
Neste capítulo, serão mostrados os principais algoritmos utilizados neste trabalho. Eles foram programados em linguagem C e, por isso, algumas operações e simbologias características dessa linguagem serão utilizadas, como deslocamento de bits e matrizes.
6.1 Geradores de Números Aleatórios
Conforme mostrado naseção 3.4, um gerador congruencial linear produz uma sequência de números pseudo-aleatórios f1, f2, ... por meio da fórmula de recorrência
fi+1 = (afi+ c)mod(m). (6.1)
Tais geradores são algoritmos que produzem, pela utilização de repetições, uma sequência estatisticamente independente de números limitados por um valor máximo. Nos geradores do tipo MINSTD e derivados, onde m é uma potência de dois, os bits mais significativos apresentam maior aleatoriedade em comparação aos bits menos significativos, que possuem um padrão mais regular. Nestes geradores, valores de a comumente utilizados são os números 16807,65539 e 1101513973, chamados números mágicos.
Para que os números obtidos por meio de um gerador congruencial linear tenham elevada aleatoriedade, eles devem possuir muitos bits bastante aleatórios. Isso pode ser alcançado por meio de deslocamento de bits, que possibilita a união dos bits mais significativos de números obtidos por diferentes geradores em que poucos bits têm como aleatoriedade razoável. Como exemplo, tem-se o caso a seguir, no qual foram utilizados os números inteiros positivos de 32 bits r, rr, rrr e num:
r*=16807; rr*=65539;
rrr*=1101513973;
num=((r>>6)+((rr>>29)<<26)+((rrr>>29)<<29));
num tem os 10 primeiros bits bastante aleatórios, que são obtidos a partir de outros três números inteiros independentes r, rr e rrr. Os números rrr e rr fornecem 3 bits cada e o número r fornece os últimos 26 bits, onde os 4 primeiros podem ser considerados bastante aleatórios. Como os últimos 22 bits de num são pouco aleatórios, sua aplicação é restringida a situações em que 10 bits aleatórios sejam suficientes (ex. produzir um número inteiro aleatório entre 1 e 210= 1024).
Para modelos mais sensíveis aos números aleatórios, outros mecanismos para aumento da aleatoriedade podem ser utilizados. Um exemplo é o caso em que o número auxiliar s decide quais números são multiplicados pelos números mágicos duas vezes ou uma vez, como a seguir: s *= 1101513973; r *= 1101513973; r += (s>>31)*65538*r;
Capítulo 6. Metodologia 49
rr *= 1101513973; rr += ((~s)>>31)*16806*rr; rrr *= 1101513973; rrr += (s>>31)*16806*rrr; num = ((r>>29)<<6) + ((rr>>29)<<3) + (rrr>>29);
Durante a obtenção da sequência de números aleatórios, outra possibilidade de aumento da aleatoriedade consiste em alterar a fórmula de recorrência com um número mágico diferente daquele usado na repetição principal em partes específicas do código.