Supõe-se que um meio poroso seja formado aleatoriamente por partículas sólidas em um espaço de tamanho total Lde, com d
ecorrespondendo à dimensão espacial. Esse meio é dividido
em sítios hipercúbicos de aresta unitária, de forma a totalizar Lde sítios presentes. Cada sítio
desse meio se encontra vazio com uma probabilidade q e se encontra ocupado com uma partícula sólida com probabilidade 1 − q.
Algumas definições adicionais são (STAUFFER; AHARONY,2003): • cluster: é um conjunto de sítios vazios que se encontram conectados;
• limiar de percolação (qc): é a mínima probabilidade q na qual um cluster infinito aparece,
considerando L → ∞. Dessa forma, qc, também definido como probabilidade crítica,
é um ponto abaixo do qual (q < qc) a probabilidade de existir um caminho de sítios
vazios conectados ligando pontos infinitamente distantes é nulo e acima do qual (q > qc) a
probabilidade de existir tal caminho é sempre 1;
• comprimento de correlação (ξ): abaixo do ponto de transição de percolação, ξ pode ser considerado a distância média em que sítios vazios estão conectados. Neste caso, existem apenas clusters conectados finitos, com um tamanho linear da ordem do comprimento de correlação. O hipervolume médio desses clusters é ξde. No ponto de transição, o
comprimento da correlação se torna infinito (ξ → ∞) e, acima do ponto de transição, pode ser interpretado como o "tamanho típico"dos clusters finitos, que não se conectam ao clusterinfinito. Para q próximo de qc, ξ é dado por
Capítulo 4. Escoamento em Meios Porosos 36
em que νcé um expoente crítico.
AFigura 5contém um exemplo de simulação, com representação de diferentes probabili- dades de ocupação de partículas no meio.
Figura 5 – Percolação em redes bidimensionais quadradas com tamanho de sistema L x L = 128 x 128. As probabilidades de sítios vazios são (a) q = 0,50; (b) 0,55; (c) 0,59; (d) 0,70. Sítios ocupados por partículas sólidas são representados na cor verde, os sítios vazios sem fluido estão em branco e os sítios vazios preenchidos com fluido estão em azul. O fluido percorre a rede de baixo para cima em aproximadamente q ≥ 0,59.
(a) (b)
(c) (d)
Fonte: Elaborado pelo autor
4.3.2 Introdução a Fractais
Objetos fractais são aqueles que apresentam a mesma morfologia em diferentes escalas de observação. Os fractais denominados auto-similares são invariantes em mudanças de escala que ocorrem da mesma forma em todas as direções (transformações isotrópicas). Muitas superfícies e interfaces são exemplos de objetos auto-afins, que são invariantes quando a mudança de escala ocorre por um fator diferente em cada direção (transformação anisotrópica) (FEDER,
1988). Exemplos de fractais auto-similares e auto-afins se encontram naFigura 6e naFigura 7, respectivamente.
O cluster infinito em q = qcé um exemplo de um fractal auto-similar. Quando q 6= qc,
clusterspodem parecer fractais em escalas de comprimento l menores ou iguais do que a distância de correlação (l ≤ ξ) (STAUFFER; AHARONY,2003).
Capítulo 4. Escoamento em Meios Porosos 37
Figura 6 – Triângulo de Sierpinski com construção de fractal auto-similar. Em (i) o triângulo se encontra totalmente preenchido. Em (ii), um triângulo de área correspondente a 1/4 da área total é retirado, originando 3 triângulos preenchidos. Em (iii), o mesmo processo é repetido para cada um dos 3 triângulos. O processo pode ser repetido indefinidamente. Ao aumentar o tamanho da caixa tracejada em (iii) de forma igual em todas as direções, obtém-se o triângulo em (ii).
(i) (ii) (iii)
Fonte: Adaptado deBarabasi e Stanley(1995)
Figura 7 – Construção de fractal auto-afim. O triângulo em (i) é substituído pela estrutura presente em (ii). A figura em (ii) é dividida, resultando em 4 triângulos idênticos. O processo é repetido para cada um desses triângulos, resultando em (iii). O processo pode ser repetido indefinidamente. Ao ampliar a caixa tracejada em (iii) em fatores diferentes em cada direção, obtém-se a imagem em (ii).
(ii)
(i)
(iii)
Fonte: Adaptado deBarabasi e Stanley(1995)
O cálculo da dimensão fractal (df) é útil para determinar se um objeto é fractal ou não.
Existe uma relação entre a dimensão fractal, o número de blocos necessário para recobrir o objeto (Nb) e o tamanho linear de cada bloco (l), dada por
Nb ∼ l−df. (4.21)
Rearranjando a equação anterior de forma a isolar df, tem-se
df = lim l→0
ln Nb
ln (1/l), (4.22) em que l → 0 para que a equação seja válida para objetos de formas mais complicadas (a equação se torna válida assimptoticamente à medida que o recobrimento se toma mais fino). A dimensão df coincidirá com a dimensão euclidiana (de) para os objectos da geometria tradicional
38
5 MODELOS DE DEPOSIÇÃO
5.1 Conceitos Preliminares 5.1.1 Rugosidade
Nos modelos discretos, pode ser considerada uma abordagem tridimensional em que o substrato de deposição das partículas é retangular de largura e de profundidade L. Ele é formado por L2sítios (x, y), cada um com lado de tamanho unitário. As partículas do depósito são então
cubos de aresta unitária.
A descrição da superfície é importante para uma visão quantitativa dos modelos de deposição. A superfície externa é definida como o conjunto de partículas de maior altura em cada posição (x, y) do depósito (KRUG,1997). Esta altura é denotada por h(x, y, t). A altura média da interface é então dada pela média espacial
h(t) = 1 L2
X
{x,y}
h(x, y, t). (5.1)
A unidade de tempo é escolhida como o tempo de deposição de L2partículas na interface. Costuma-se dizer que este é o tempo de deposição de uma monocamada (termo que se aplica exatamente a depósitos lisos e seus poros). Dessa forma, sendo Np o número total de partículas
depositadas no sistema, o tempo é dado por t = Np
L2. (5.2)
A flutuação da altura com relação à altura média em um dado depósito é definida como a rugosidade da interface (BARABASI; STANLEY,1995), representada por
W (L, t) = s 1 L2
X
{x,y}
[h(x, y, t) − h(t)]2. (5.3)
Se a dinâmica de deposição envolve mecanismos aleatórios, a rugosidade de diferentes amostras no tempo t é diferente. Então, define-se a rugosidade média W (L, t) = hW (L, t)i como a média configuracional no tempo t. Em geral, o termo rugosidade é usado para denotar W (L, t), exceto quando o interesse são as distribuições de W (L, t).
5.1.2 Enrugamento Cinético
Os fenômenos de enrugamento cinético são encontrados sempre que uma interface é colocada em movimento na presença de flutuações, seja ela de origem térmica, cinética ou caótica. A dinâmica de interfaces pode ser descrita por equações de evolução que, tipicamente, são dadas em termos de equações diferenciais parciais com um componente de ruído estocástico.
Capítulo 5. Modelos de Deposição 39
Exemplo conhecido é a equação não-linear deKardar, Parisi e Zhang(1986), abreviada como KPZ. Com o progresso na compreensão dos aspectos universais de processos através da equação KPZ, uma variedade de exemplos de enrugamento cinético foi sugerida e experimentalmente investigada, como em colônias de células, em bordas de folhas de papel consumidas por fogo ou em uma interface instável de dois fluidos em meio poroso (KRUG,1997).
Os conceitos básicos de enrugamento cinético clássico de uma interface móvel separando duas fases termodinâmicas isotrópicas estão associados às simetrias dos diferentes sistemas e permitem abordar questões relativas à formação, ao crescimento e à dinâmica de interfaces
(BARABASI; STANLEY,1995).
5.2 Modelo de Deposição de Family