Considerações sobre metaestabilidade, rigidez e modos vibraionais

modos vibraionais

Umestadomeaniamenteestável,ourígido,éum estadoondetodasasforçasdosistema

estão balaneadas. Do ponto de vista do seu potenial termodinâmio, o sistema se

enotra emum mínimo desta função. Logo, todos os modos vibraionais têm freqüênia

positiva.

Umestado metaestáveldeveonter pelomenosum estadomeaniamenteestável. No

entanto, omo o sistema possui movimento térmio, ele pode se desloar ao longo desta

superfíiedenida pela função

G

^{e enontrar outros mínimos de potenial. Por ausa do}

nossoproessodemédiasobreasposiçõesdaspartíulasdesritonoiníiodesteapítulo,é

possívelquea posição

{ R ~ ^m _i }

^{sejamedidaemum intervaloonde osistemaesteja visitando}

dois mínimos. Neste aso estaremos medindo um ponto de sela e portanto surge um

modo instável. Note que o apareimento deste modo instável não implia que o sistema

nãosejarígido,maselepodenosindiaromosãoosproessosderelaxaçãodestesistema,

justamente porque é uma medidade omo elese desloa aolongo dasuperfíiede

G

^.

Umpontoimportanteaser disutidosão asmedidasdestesmodosinstáveis.

Observa-mos queaFig.(3.7)não apresentamodosinstáveis(queapareeriamnoeixonegativodas

freqüênias, aso tivessem sido medidos) para nenhum valorde

h f i

^{medido. Poderíamos}

<f>=7.9x10^5 <f>=8.0x10^4 <f>=6.7x10^3 <f>=6.2x10^2

<f>=360 <f>=260 <f>=100 <f>=50

<f>=19 <f>=18 <f>=17 <f>=17

<f> = 7.9x10^5 <f> = 330

Fig. 3.9: Os primeiros12ampos de desloamento são exemplos de modos vibraionais

paraum sistemaom

N = 256

^{. Osdois últimosexemplos}orrespondema mo-dosvibraionaisparaumsistemaom

N = 1024

^{partíulas. Todososexemplos}

orrespondem a valores diferentes de forçade ontato média

h f i

^{, os quais são}

espeiados nas legendas de ada gura. As freqüênias orrespondentes de

ada modosão muito pequenas, variando entre

ω/ h f i ≈ 0.0125

^e

0.0375

^.

esperar que estes modos apareessem para valores de

h f i

^{menores, que orrespodem à}

frações de volume menores e as partíulas teriam mais mobilidade. Efetivamente,

medi-mos alguns modosinstáveisnolimite de pequenas forças médias

h f i

^{, noentanto, onosso}

métodode estudo ontém intrinseamente um problema que diulta análise destes

mo-dos. A razão é que, omo preisamos de um

t 1

^{para denir a rede de forças de ontato}

e o potenial termodinâmio,no limite em que

h f i → 20

^{, a denição de}

t 1

^{que respeite}

os ritérios para manter a robustez das nossas medidas (apêndie A) a mais deliado.

Portanto, denir se os modos instáveis que apareem são físios ou são provenientes da

nossa média, neessita a araterização destes modos vibraionais. Este trabalho de

a-raterizaçãoéum temapossivelmentemuitointeressante, porque hádiversos autoresque

os relaionam om os proessos de relaxação estrutural (82) ou om o aráter de uidez

do sistema (46; 74). Voltaremos a este assunto no apítulo 6, onde apresentamos um

exemplo quedeixará mais lara esta disussão.

Neste apítulo mostramos que é possível fazer uma analogia entre um sistema de

es-feras duras em seu estado metaestável e um sistema elástio uma vez que seja feita uma

médiatemporal. Opotenialquedesreveas interações entre aspartíulas é exatamente

logarítmionolimiteemque

φ = φ c

^,onde

h f i

^{diverge. AenergialivredeGibbs}

G

^podeser

vistaomo aenergia de um sistemade partíulas àuma posição média

{ R ~ ^m _i }

^onetadas

por molas ujas onstantes elástias

κ

^{não são onstantes, mas variam} logaritmiamente om a distânia

h

^{entre as partíulas. A existêniadeste potenialontínuo nos permite}

alularosmodos vibraionaisdosistemae portantoapliaros resultadosderivadospara

sistemaspouoonetadosqueforamapresentadosnoapítulo2. Norestodatese,

usare-mos o fatode que o sistemade esferas durasse omportaomo um sistema elástiopara

apliarateoriadevibraçõesdesistemapouoonetadoseompreenderaspetos omoa

rigidezdosistemaem suafase amorfaeosmeanismosde relaxaçãodadinâmiadurante

a fasevitrosa e natransição para oestado líquido.

Neste apítulo, estudaremos as propriedades mirosópias que garantem a rigidez que

araterizaa fasevitrosa. Noapítulo2,mostramos quea ondiçãode rigidez para

siste-mas elástios pouo onetados é derivada impondo que todos os modos vibraionais do

sistema sejam estáveis. No apítulo 3, mostramos que uma aproximação para a energia

livre de Gibbs de um sistema de esferas duras no seu estado metaestável pode ser

es-rita omo

G = − β ^{−1 P} _{hij i} ln( h h ij i )

^{. Denimos um estado rígido omo sendo um estado}

de mínimo do potenial termodinâmio e portanto onde todos os modos normais têm

freqüêniaspositivas. Desta forma,aondição de rigidezderivadapara sistemaselástios

pouoonetados,

δz > C 0

q p/B

^{,seapliaaosistemadeesferasdurasedevesersatisfeita}

em ada mínimo do seu potenial termodinâmio. Como

B

^{pode ser alulado para as}

esferas duras,

B ∼ h f i ²

^e

h f i ∼ p

^{,existe uma onstante}

C ₁

^talque:

δz ≥ C 1 p ^−1/2 .

^(4.1)

Notequeeste resultadorelaionaaestabilidademeâniaàestrutura mirosópiado

sistema: a partir de uma propriedade mirosópia a oordenação

z

^{é possível inferir}

aestabilidademeânia observada empiriamente. Épossívelportantoentender arigidez

do sistema a partir de sua estrutura mirosópia. Lembramos ainda que a ondição de

rigidezdeveser respeitadaemadasubsistema de tamanho

l ^∗

^{equeeste valoresalaom}

o exesso de oordenação

l ^∗ ∼ δz ⁻¹

^{. Além disso, o ritério leva em onta o número de}

ontatos médio do sistema. Desta forma, salientamos que a rigidez é analisada segundo

um ritério global.

Com base neste ritério, mostraremos que a rigidez exibida na fase vitrosa requer a

formação de uma estrutura rígida om número de oordenação grande o suiente para

respeitar o ritério de Maxwell, Eq.(2.13). Esta estrutura foi apresentada no apítulo

anterior e orresponde a uma rede, onde as onexões entre as partíulas são denidas

pelas forças de ontato, as quais se formam pela transferênia de momentum entre as

partíulas.

Para testar o ritério de rigidez, Eq.(4.1), derivado para as esferas duras, utilizamos

estabilidademeânia: ristaismonodispersosquadradoehexagonalem

2d

^. Mostraremos queparaestessistemasoritérioderivadoparaesferasdurasfunionaeemseguidavamos

apliá-loao vidrode esferas duras.

4.1 Estabilidade do ristal quadrado e do ristal

hexagonal

Neste seção, analisamos a rigidez em dois asos já onheidos: ristais monodispersos

quadradoehexagonalem

2d

^{. Sabe-sequeoristalhexagonaléumsistemarígidoenquanto}

que arede quadrada é um sistemainstável(92;108).

Com base no ritério de rigidez reém derivado, ondição (4.1), duas grandezas são

importantes para analisarmos se um sólido é meaniamente estável ou não: pressão

p

e oordenação

z

^,

δz ≥ C 1 p ^−1/2

^{. Para o ristal hexagonal, a oordenação é 6. Logo,}

δz = 6 − z c = 6 − 4 = 2

^{. Como}

p ∼ h h i ⁻¹

^{, para valores de}

ǫ

^{pequenos, temos}

p ∼ ǫ ⁻¹

^.

Noteque

δz = 2

^{émuito grandeom relaçãoao valorde}

ǫ

^{ea ondição (4.1) é}satisfeita:

δz ≫ ǫ ^1/2

^{e portanto o ritério india que o sistema é estável} meaniamente. O outro sistema é o ristal quadrado, onde

δz = 0

^{. Neste aso, para qualquer valor de}

ǫ > 0

^,

observamos que o ritérioEq.(4.1) não é satisfeito.

Numeriamente, o queoorre é ilustradonaFig (4.1). Partimos de uma onguração

quadrada,onde

δz = 0

^{,diminuímososseus diâmetrosporuma quantidade}

ǫ > 0

^e

lança-mos a simulação dotipo evento dirigido. Em pouos passos omputaionais, observamos

que a onguração quadrada se destrói e o sistema nal é um ristal hexagonal, o qual

é meaniamente estável. Portanto, o nosso ritério de rigidez deduzido para as esferas

duras está emaordo om o queesperávamos para estes dois sistemasonheidos.

Calulamosasdensidadesdeestados

D(ω)

^{destessistemasporquesãoexemplos}

didáti-os ondepodemosinferiralgumasaraeterístias sobreosmateriais. AguraFig.(4.1-b)

é um exemplo de

D(ω)

^{para um ristal quadrado e Fig.(4.1-) para um ristal}

hexago-nal. Notemos que a rede quadrada Fig.(4.1-b) apresenta um exesso de modos de baixa

freqüênia emomparaçãoaoomportamentode Debye(

D(ω) ∼ ω

^{para sistemasem}

2d

⁾

quevemdofatodequeosistemaépouoonetado

∗

. Apareemalgunsmodos instáveis.

Para o ristal hexagonal, observamos o omportamento linear para baixas freqüênias,

omo esperado para um sólido ristalino,onde osfnos são aproximadamenteondas

pla-∗

ÉinteressanteobservarqueesteristaléumsistemaompletamenteordenadoeapresentaoPiode

Bóson. Estaaraterístiasustentaanossaargumentaçãodaseção1.2.1dequeadesordemdomaterial

não devesera araterístiaresponsávelpela existêniadeum exessode modosvibraionais debaixa

0 2 4 6 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 2 4

D( ω)

ω ω

( a )

( b ) ( c )

Fig. 4.1: (a)Colapsoda rede quadradae onguraçãonal ristal hexagonal. (b)

D(ω)

vs.

ω

^para

ǫ = 10 ⁻⁴

^{para o ristal quadrado. O sistema apresenta um exesso}

de modos de baixafreqüêniaealguns modos negativos: há

2N = 2048

^modos

normaisdos quais

80

^{são negativos. ()}

D(ω)

^vs.

ω

^for

ǫ = 10 ⁻⁴

^{para oristal}

hexagonal.

D(ω) ∼ ω

^{para baixas} freqüênias: o sistema se omporta omo um sólido de Debye neste limite. Em ambos os asos,

t 1 = 4 10 ⁵

^.

D(ω)

^foi

alulada usando aequação (3.10).

nas. Neste aso, não foram enontrados modos instáveis, o que está em aordo om o

esperado para sistemasrígidos.

Mostramosqueparaestesexemplosonheidos,oritérioderigidezEq.(4.1)funiona.

Na seção seguinte, vamos apliá-lopara estudara estabilidade dovidrode esferas duras.

4.2 Estabilidade do vidro de esferas duras: rigidez

marginal

Medimosnumeriamenteaoordenação

z

^{aforçade ontatomédia}

h f i

^{paraváriosvalores}

de

φ

diferentes. Para algumasfraçõesde oupação

φ

^{, oorreram terremotose foipossível}

denir mais de um estado metaestável. Cada um destes estados é araterizado por um

par

(z, h f i

^{), os quais são} apresentados na Fig.(4.2). Note que esta medida é onsistente om a igualdade da ondição (4.1). Este fatosugere que o vidrode esferas duras vive no

limite de estabilidade marginal.

10 ² 10 ³ 10 ⁴ 10 ⁵ 10 ⁶ 10 ⁷ 10 ⁸

< f >

10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

δ z

10 ² 10 ⁴ 10 ⁶ 10 ⁸

10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

δz ~ p^(-0.5)

Fig. 4.2: Gráo log-log de

δz

^{vs da força média}

h f i ∼ p

^{. As medidas foram feitas}

para diferentes estados metaestáveis e para sistemas om tamanhos

N = 256

(írulos) e

N = 1024

(quadrados). A linha equivale à

δz = p ^−1/2

^{, a qual é a}

igualdade doirtério (4.1).

Éimportanteentendermosumaonseqüêniadestaondiçãode estabilidademarginal:

o sistema neessariamente apresenta um exesso de modos de baixa freqüênia. Isto é

medidoomputaionalmente,omopodemosveriarnaFig.(3.7),mastambémpodemos

entendê-lo se pensarmos na derivação da ondição de rigidez para um sistema pouo

vibraionais anmalosfossem positivos, Eq.(2.17). Isto leva a um balanço entre

z

^e

p

^{, o}

qual,noaso das esferas durasoorre de maneiralimite. Todos osmodos vibraionaisdo

sistemadeesferasdurassãoestáveisjáqueosistemaérígidonafasevitrosa,mashávários

deles que estão no limiar da instabilidade. Ou seja, eles estão próximosde serem modos

maios e portanto as utuações na oordenação ou na pressão do material podem fazer

que um modo maio apareça. A existênia deste exesso de modos de baixa freqüênia

terá um papel essenialnadesrição dadinâmiadosistema nopróximo apítulo.

4.2.1 Rigidez marginal e freqüênia araterístia

ω ^∗

^{dos modos}

anmalos

Neste ponto, podemos voltar à Fig.(3.8), a qual expliita uma leide potênia entre

ω ^∗

^e

h f i

^{. Amedidamostraque}

ω ^∗ / h f i ∼ h f i ^−1/2

^{. Naoasião,dissemosqueestamedidarevela}

uma araterístia mirosópia do vidro de esferas duras e agora estamos no momento

de poder ompreendê-la.

Ateoriadevibraçõesdesólidospouoonetadosprevêaexistêniadeumafreqüênia

araterístia

ω ^∗

^{dos modos anmalos, dada por}

ω ^∗ ∼ B ^1/2 δz

^{. Mostramos na seção}

anteriorqueovidrodeesferasduraspossuiovalorexatode

δz

^{parasustentarsuapressão:}

δz ∼ p ^−1/2

^{. Como}

B ∼ p ²

^{,istoimpliaque}

ω ^∗ ∼ B ^1/2 δz ∼ p ^1/2

^{. Destaforma,veriamos}

quearelaçãoentre

ω ^∗

^e

h f i

^{tambémrevelaaondição de rigidezmarginaldafasevitrosa}

dosistema.

4.3 Propriedades elástias do vidro de esferas duras

O potenial termodinâmio derivado para as esferas duras orresponde à energia de um

onjunto de partíulas em uma dada posição

{ R ~ ^m }

^{. Assim, os resultados sobre as}

pro-priedades elástias deduzidos para sistemas pouo onetados tambémse apliam neste

sistema. Qual é a resposta elástia dovidrode esferas duras a uma apliaçãode tensão?

E aum isalhamento?

Para o módulo de ompressão

B

^{, obtemos(23; 29):}

B ∼ ∂ ² V

∂r ² ∼ 1

h ² ∼ p ² .

^(4.2)

Este resultado já tinha sido enontrado anteriormente (105; 99). O mesmo

ompor-tamento oorre para um ristal de esferas duras (109). Na teoria de vibrações de sólidos

pouo onetados, mostra-se que o módulo de isalhamento depende de

δz

^{para um}

sis-tema elástiopouo onetado,Eq.(2.21):

G ∼ Bδz

^.

Assumindoqueovidrodeesferasdurasémarginalmenterígido,omonossosresultados

numériossugerem, temos:

G ∼ p ^3/2

^(4.3)

Os oeientes de elastiidade do vidro de esferas duras indiam que, quando

p

^é

muito grande, o que oorre quando a fração de oupação

φ

^{é próxima à}

φ c

^{, é mais fáil}

isalhar o sistema do que omprimi-lo. Esta propriedade é bastante interessante e está

de aordo om a distribuição espaial dos modos vibraionaisapresentados naFig.(3.9).

Notemosque,seháumagrandedensidadesde partíulas,elasestãomuitopróximasumas

das outras e o espaço livrepara qualquer rearranjo entre elas é muito pequeno. Logo, o

usto energétio para omprimireste material deve ser enorme, pois as esferas são duras

e não existem hanes de interpenetração. Ao fazermos um isalhamento, permitimos

movimentos transversais entre as partíulas e, omo o sistema é desordenado e pouo

onetado,elasonseguemserearranjar. Seobservarmososmodosdevibraçãodosistema,

os desloamentos transversais entre as partíulas são omuns e o sistema sofre grandes

rearranjosde partíulas para grandesvalores de pressão.

Neste apítulo, usamos os resultados do apítulo anterior, onde mostramos que um

vidrodeesferas durasseomportaomoum sólidoelástiopouoonetadopara estudar

o sistema. Usamos a teoria de vibrações de sólidos pouo onetados para estudar a

estabilidademeânia quearaterizaafase vitrosaeas proprieadeselástiasdosistema.

Mostramos que a rigidez que arateriza a fase vitrosa é relaionada a uma propriedade

geométria mirosópia não-loal do sistema: o número de oordenação

z

^{deve possuir}

umvalormínimoparaadasubsistemadetamanho

l ^∗

^,onde

l ^∗ ∼ δz ⁻¹

^{eportantodivergeà}

φ c

^{. Nossosdadosnumériossugeremqueovidrodeesferas duraséapenas}marginalmente estável, o que garante a existênia de modos de vibração de baixafreqüênia. Parte dos

resultados apresentados neste apítuloestão publiados em (61).

Noapítuloanterior,estudamosarazãomirosópiadarigidezdovidrodeesferasduras.

Mostramosque arigidezoorreporque, paraada subsistema de tamanho

l > l ^∗

^,a

oor-denaçãodomaterialésuienteparasustentarasuapressão. Osistemaémarginalmente

estável eistoimpliaque hámodos de vibraçãode baixa freqüênia,osmodos anmalos.

Quando perturbamos osistemaaolongo das direçõesde um modode baixafreqüênia, a

forçaderestauraçãoémuitopequenaeportantoémaisfáilfazê-loedernestas direções.

Por estarazão, érazoávelpensarqueestes modos de baixafreqüêniaatuamnoproesso

de relaxação do sistema. Qual seria a inuênia destes modos de baixa freqüênia na

dinâmiado sistema?

Neste apítulo,investigaremosadinâmiadosistemade esferasdurasduranteasfases

de líquidosuper-resfriadoenafase vitrosa. Primeiramentemostraremosomo identiar

as fases da dinâmiae algumas de suas araterístias. Em seguida, estudamos omo os

modos vibraionaisde baixa freqüênia se omportam durante a relaxação mirosópia

dosistemaeomoeles partiipamdasua relaxaçãoestrutural,tantonafasevitrosaomo

na fase de líquidosuper-resfriado. Mostraremos que apenas uma pequena fração de

mo-dos são importantes para a relaxaçãomirosópia, osquais são os de menorfreqüênia.

No que onerne a relaxação estrutural, quando ela oorre, o sistema ede na direção

de seus modos mais maios, ou seja, modos om mais baixas freqüênias: grande parte

da amplitude dos desloamentos observados podem ser deompostos em uma fração de

modos muito pequena. Finalizaremoso apítulo mostrando que as heterogeneidades

di-nâmias existentes no sistema de esferas duras podem ser vistas omo onseqüênia da

heterogeneidadedos modos vibraionaisanmalosdosistema. Apartir destaobservação,

prevemos uma esala de omprimento dinâmia que diverge quando o sistema atinge a

máxima oupação

φ c

^{, aqual foi} reentemente medida omputaionalmente(110).

5.1 As fases da dinâmia

Identiamos as fases da dinâmia por meio da função de autoorrelação de densidades

das partíulas do sistema. A autoorrelação de densidades é uma medida mirosópia

de quanto aspartíulas semovemom relaçãoàsuas posições iniiais. Relembramossua

denição:

C(~q, t w + t, t w ) = h e ^{i~ q . ( R ~ j (t w +t)− R ~ j (t w ))} i

^(5.1)

Lembramos que sistemas em equilíbrio não envelheem e por isto não é importante

a informação sobre o tempo de espera

t w

^{para omeçar a medida; é relevante apenas}

a diferença

t − t w

^{. Assim, a função de} autoorrelação de densidades para sistemas em equilíbrio édada por:

F (~q, t) = h e ^{i~ q . ( R ~ j (t)− R ~ j (0) )} i ,

^(5.2)

onde

hi

^{signia a média feita sobre todas as partíulas,}

R ~ j (t)

^{é a posição da partíula}

j

^{no tempo}

t

^{. Esolhemos a norma dovetor}

~q

^{de maneiraque a} autoorrelação deaia a zero quando, quando, em média,as partíulas se movemuma distâniada ordemde seu

diâmetro

σ

^:

|| ~q || = 2π/σ

^.

Curvas típias da função de autoorrelação de densidades para diferentes frações de

volume

φ

^sãoapresentadas naFig.(5.1). NaFig.(5.1-a),adaumadas urvasorresponde a valores de

φ

^{no intervaloonde o sistemaestá nafase de líquido}super-resfriado, a qual oorre aproximadamente para

0.77 < φ < 0.786

^{. Cada uma delas é resultado de uma}

média feita sobre vários intervalos de tempo

∆t

^{, om}

∆t > τ

^{. Nesta fase, o tempo de}

relaxação

τ

^{,quedenimosomo}

F (~q, τ ) = 0.3F (~q, 0)

^{,énito. Reonheemososdiferentes}

regimes de relaxação desritos desritos na seção1.1.1: relaxação mirosópia,

β

^e

α

^.

Na Fig.(5.1-b), são apresentadas algumasurvas om fraçõesde volume

φ

orrespon-dentes à fase vitrosa, a qual oorre aproximadamente para o intervalo

φ ₀ ≈ 0.79 ≤ φ ≤ φ C ≈ 0.84

^{. Cada uma das urvas representa a orrelação de densidades de uma únia}

amostra, sem média em diferentes intervalos de tempo. Ao ontrário do que oorre na

fase de líquido super-resfriado, não podemos denir otempo

τ

^{, pois,dentrodo intervalo}

de tempo de simulação, o sistema não atinge a etapa de relaxação

α

^{. Logo, sempre}

me-dimos o sistema para tempos

t w < τ

^{, o que implia que a função de orrelação depende}

do tempo de espera

t w

^{e que o sistema está fora do} equilíbrio. Nas urvas da Fig.(5.1),

t w = 0

^.

10 0 ^-2 10 ^-1 10 ⁰ 10 ¹ 10 ² 10 ³ 10 ⁴

Fig. 5.1: (a)Exemplosdaautoorrelaçãode densidades

F (~q, t)

^dosistemaemequilíbrio.

Cada urva é resultado de uma média sobre diversas amostras independentes

e foramfeitas para sistemasom

N = 64

^{partíulas. (b) Curvasde}

autoorre-lação de densidades

C(~q, t, t _w )

^{para o sistema na fase vitrosa. Cada uma das}

urvas orresponde a uma medida feita em um únio sistema, para os quais

onsideramos

t w = 0

^{. Observamos eventos de relaxação abruptos, hamados}

terremotos: a orrelação deai por uma fração nita quase instantaneamente.

Medidas feitas em um sistema om

N = 256

^{partíulas. No detalhe:}

ampli-ação do terremoto orrespondente à

φ = 0.8372

^{. Os segmentos de linha om}

tamanhos

t ₁

^{são utilizadosparadenira posiçãomédia das partíulasdurante}

um estado metaestável. Em todos os asos,

| ~q | = 2π/σ

^{. Como o sistema é}

isotrópio,

~q

^{pode ter uma direção qualquer, e, om o objetivo de obter uma}

5.1.1 Estados metaestáveis e terremotos

Observemos o que oorre, por exemplo, para de

φ = 0.8372

^{: a gura exibe um plat}

durante um erto tempo, o que implia que as partíulas se movem em torno de suas

posições, mas não há movimento relativo entre elas. No deorrer do trabalho, faremos

referênia à esta dinâmiasobre o plat omo sendo a dinâmia em torno de um estado

metaestável. Num erto momento, a autoorrelação de densidades deai por um valor

nito em um intervalo de tempo muito pequeno. Como é uma medida feita sobre a

média de todas as partíulas, a queda abrupta na medida de autoorrelação india que

diversas partíulas semoveram aomesmotempo: este evento abrupto éoque hamamos

de terremoto.

A posição média das partíulas num estado metaestável

l

^é representado por

| R ^l i ≡ {h R ~ j i ^t } , j = 1...N

^{, onde}

hi ^t

^{india média temporal sobre um intervalo de tempo}

t 1

^{. Este}

intervalo está representado no detalhe da Fig.(5.1) pelos segmentos de linha e ele deve

respeitar asondiçõesdenidas noapêndie A. O ampo de desloamento relativoa um

terremoto

| δR ^e i

^{entre dois estados} metaestáveis suessivos

l

^e

m

^{é então denido omo}

| δR ^e i ≡ | R ^m i − | R ^l i

^.

Estes eventos de relaxação abruptos bem omo os estados metaestáveis não oorrem

somente na fase vitrosa do sistema. Se olharmos para

F (~q, t)

^{do sistema no equilíbrio}

sem fazer média sobre diferentes intervalos de tempo, veremos que o sistema também

apresenta plats interrompidos por quedas abruptas em sua função de orrelação, omo

podemosobservar na Fig.(5.2). A denição dos terremotos nesta faseé feita exatamente

damesmamaneiraquenafasevitrosa. Ossegmentosde linharelativosàmédiatemporal

damesmamaneiraquenafasevitrosa. Ossegmentosde linharelativosàmédiatemporal

No documento Ö Ñ ÒØÓ Ó ÔÓÙÓ ÑÓ ØÓ Ö Ö Ô Ó ÕÙ ÑÓ Ô ÐÓ ØÓ Ð ÓÑÔÖ Ò Ö Ñ Ñ Ò Ù Ò Ñ Ú Ö Ó ÑÓÑ ÒØÓ ÙÖ ÒØ Ó ÕÙ Ù Ø Ú ØÖ Ð Ò Óº ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ñ Ù Ó Ö Ö Ô Ó ÕÙ ÑÓ ÔÓÖÕÙ ØÓ Ð Ö (páginas 63-0)