Resumo dos prinipais pontos apresentados no apítulo

apítulo

Nesta seção, faremos um resumo breve dos pontos esseniais que foram disutidos neste

apítuloe que serão utilizadosaolongo datese.

•

^Aestabilidademeâniadeumsólidopodeserestudadaapartirdeseusmovimentos oletivos: seus modos vibraionais. Se onheermos o potenial de interação

V ij

entreduaspartíulas dosistemaeseeste potenialforontínuo,podemosenontrar

amatrizdinâmiadosistemaeportantoteraessoaos seusmodosvibraionaisom

suas respetivas freqüênias

ω

^{. A partir da análise de} estabilidade destes modos, inferimos seum sistema é rígidoou não.

Para que um sistema seja meaniamente estável, ou rígido, todos seus modos

vi-braionais devem ser estáveis. Modos vibraionais instáveis são representados no

eixonegativo das freqüênias.

•

^{Sistemas om número de oordenação}

z

^{próximo ao limite isostátio,}

z c

^{, são ditos}

pouo onetados. Em razão da baixa onetividade, tais sistemas apresentam um

exesso de modos vibraionais de baixa freqüênia om relação ao que seesperaria

para um sólido normalque obedee à leide Debye.

A densidade de estados de um sistema pouo onetado tem um valor típio de

D(ω) ∼ 1/ √

B

^para

ω > ω ^∗

^.

Anaturezadestesmodosorrespondentes aoexessoéaraterizada: elessãomodos

anmalos, os quais diferem ompletamente de ondas planas. Eles são estendidos

pelo sistema, possuindo um omprimento araterístio

l ^∗ ∼ δz ⁻¹

^{, o qual diverge}

nolimite isostátioe uma frequênia

ω AM

araterístia.

•

^{A rigidez oorre se e apenas se}

δz ≥ p/B

^{. Como este ritériodeveser respeitado}

emadasubsistemade tamanho

l ^∗

^{,elerevelauma}araterístiaimportantesobrea rigidez nestes materiais: elaé uma propriedade não-loal. Esta ondição de rigidez

é representada pelodiagramada Fig.(2.9).

•

^{Seaondiçãoderigidezésatisfeitaapenas}marginalmente,ouseja,quandooexesso deoordenação

δz

^{temovalorexatoparasustentarsua própriapressão, istoimplia}

aexistênia de modos anmalosde baixa frequêniano sistema.

O modelo de esferas duras é um sistemaonde aspartíulas não interagem enquanto não

se toam e, uma vez que se enontram, experimentam um potenial repulsivoinnito de

forma que não podem se interpenetrar. Tais elementos desrevem sistemas físios ujas

interaçõesde urto alane sejam as mais relevantes. Embora seja um sistema

extrema-mente simples, vimos no apítulo 1 que ele apresenta uma fenomenologia bastante ria,

exibindo diversas fases. Conforme expliadonaintrodução,aumentando-se lentamente a

fração de volume

φ

^{a partir de uma fase uida, o sistema ristaliza. No entanto, se}

φ

aumentarapidamente,aspartíulasnãotêm tempode seorganizarnumafaseristalinae

o sistema experimenta uma transição vitrosa. O tempo

τ α

^{que arateriza as}

desorrela-çõesdasutuaçõesde densidade reserapidamenteom

φ

^{. Afasevitrosa aontee entre}

um dado

φ ₀

^{, aima doqual o tempo}

τ _α

^{se torna inaessível}numeriamentee

φ _c

^{, onde se}

atinge o limite máximo de oupação para um sistema desordenado (

φ RCP

^{). A Fig.(3.1)}

esquematizaodiagramade fasesdasesferas duras emduas situaçõesdiferentes: aumento

gradativo da densidade e oorrênia da fase ristalina e, na parte inferior, um aumento

abruptodadensidadedetalmaneiraqueasesferasdurasexperimentamumafasevitrosa.

O sistema de esferas duras será utilizado ao longo do trabalho omo modelo para

estudar propriedades estátiasde sistemas amorfos e araterístiasda dinâmiade

ma-teriais vitrosos. Para estudar as propriedades mirosópias do sistema e assoiá-las à

suarigidez,desejamosapliarosresultados dateoriadevibraçõesdesólidospouo

one-tados apresentados no apítulo anterior. Em partiular, há dois resultados importantes:

(i) sistemas pouo onetados apresentam um exesso de modos de baixa freqüênia em

omparaçãoa sólidos normais. Taismodos emexesso orrespondem amodos anmalos,

os quais são araterizados por um omprimento araterístio

l ^∗ ∼ δz ⁻¹

^{e (ii) a rigidez}

oorre se esomentese

δz ≥ C 0

q p/B

^{em ada subsistema de tamanho}

l ≥ l ^∗

^.

Estes resultados, se apliáveis aovidro de esferas duras, nos permitiriam(i)

ompre-ender que meanismos mirosópios garantem a rigidez do sistema em sua fase vitrosa

Fig. 3.1: Diagramadasfasesparaumsistemadeesferasdurasomofunçãodadensidade

de partíulas. Na partede ima dagura háum esquemadatransição da fase

líquidapara afaseristalina. Napartede baixo, aeharepresentaum rápido

aumentodadensidade,de formaqueosistemaatingeafasevitrosa. Osvalores

de

φ

^{são para um sistema de esferas} monodisperso em3d.

vitrosa e próximoà transição para oestado líquido.

Masestesresultadossãoapliáveisaovidrode esferasduras? Porumlado, osistemaé

pouoonetadoparavaloresde

φ

^próximosa

φ c

^{,estandoexatamentenolimiteisostátio}

quando

φ = φ c

^{(92; 44; 99). Por outro, a teoria de vibrações é derivada om base na}

análisede estabilidadedosmodosnormaisdosistemaeportantoéneessária aexistênia

de um potenial ontínuo que nos permita alular estes modos. Para esferas duras, o

potenial é fortemente desontínuo o que, em prinípio, impediria a apliação da teoria

para este sistema.

Noentanto,mostraremosnesteapítuloqueasesferasdurasseomportamomo

siste-maselástiosumavez queumamédiatemporalsejafeita: osistemapodeser desritopor

um poteniallogarítmio, oqual setorna exato nolimite emque

φ → φ _c

^{. Este resultado}

está em ótimo aordoom as simulações numérias. Talpotenialefetivo permite denir

os modos normais do sistema e apliar os resultados que foram deduzidos para sistemas

elástiosàs esferas duras.

3.1 Número de oordenação e força de ontato

Consideramosum sistemade esferas durasemduas dimensõesauma fração de oupação

φ

^{próxima a}

φ _c

^{, onde a relaxação estrutural do sistema é} pratiamente ongelada. O

sistemaébidisperso

∗

,tendometadedas partíulasdiâmetro

σ

^{eaoutrametadediâmetro}

1.4σ

^{. Partimos de uma onguração amorfa à}

φ = φ c ≈ 0.84 ^†

^{, onde as partíulas estão}

emontato. Reduzimos seus diâmetros poruma quantidade relativa

ǫ

^{, o que leva auma}

fração de oupação

φ = φ c (1 − ǫ) ²

^{. Atribuímosveloidadesaleatóriaspara adapartíula}

e lançamos a simulação tipo evento dirigido (event-driven) (101; 102): a ada tempo

omputaional

t c

^{, alulam-se as possíveis olisões entre todas as partíulas do sistema.}

Cadapartíula

i

^{sedesloaumadistânia}

∆~r i = ~v i t min

^,onde

~v i

^{éaveloidadedapartíila}

i

^e

t _min

^{é o menor tempo de interação entre os pares de partíulas. Apenas um par de}

partíulas interage a ada

t c

^{e as suas veloidades no tempo posterior são denidas de}

maneira que a interação onserve energia inétia e momentum linear. Lembramos que

neste sistema não háatrito e portanto não preisamos onsiderar omomentoangular.

Noteque,aodiminuirmososdiâmetrosdaspartíulaseatribuirmosveloidadesaelas,

introduzimosmovimentotérmioaosistema. Podemosentãodenirumatemperatura

efe-tiva,aqualédadapelosomatóriodos quadradosdas veloidadesdaspartíulas. Comoas

olisõesonservamenergiaemomentum, estamostratando de um sistemaàtemperatura

onstante (103). Para grandes temperaturas, as partíulas têm grandes veloidades e o

tempo de olisão

t min

^{entre elas é pequeno. Ao ontrário, se a} temperatura for baixa, o tempo é grande. Portanto, o valor que atribuímos à temperatura apenas determina

a esala de tempo da dinâmia e por isto podemos xá-la sem perda de generalidade.

Fixamos

β = 1/k B T = 1

^{. Odiâmetro}

σ

^{das partíulasdene aunidade de} omprimento.

Como o tempo de relaxação estrutural

τ α

^{do sistema é muito grande durante a fase}

vitrosa, a dinâmia é pratiamente ongelada. Assim, duranteum intervalode tempo, a

posição média das partíulas é bem denida. Durante estes intervalos de tempo onde o

sistema se omporta omo um sólido, é possível denir uma rede de forças de ontato

‡

.

Introduzimosumtempoarbitrário

t 1

^{quedeve ser muito maior queotempo}

τ c

^{de olisão}

entre duas partíulas e muito menor do que

τ _α

^{. Duas partíulas são} onsideradas em ontato se elas olidirem durante o intervalo de tempo

t ₁

^{. Isto nos permite denir o}

número de oordenação do sistema

z ≡ 2N c /N

^{, onde}

N c

^{é o número total de ontatos}

durante

t 1

^e

N

^{é onúmero de partíulas. A forçade ontato}

f ~ ij

^{entre duas partíulas}

i

^e

j

^{é denida omo o momentum total queelas troam porunidade de tempo:}

f ~ ij = 1

Osistemadeveserpolidispersoparaevitararistalização(100).

†

Asonguraçõesnumériasà

φ = φ c

^{foramedidaspelosautoresdareferênia(23).}

‡

A idéia de força de ontato foi desenvolvida para estudar meios granulares (104) e reentemente

Fig. 3.2: Diagrama de fases das esferas duras em 2d. A gura destaa dois aspetos

importantes que foram disutidos no texto: (i) durante a fase vitrosa,

τ α

^é

muito grande e por isto é possível fazer média temporal sobre as partíulas

do sistema e denir suas posições médias. (ii) O diâmetro das partíulas é

reduzido de

ǫ

^{a partir da onguração}

φ c ≈ φ RCP

^{. Mostramos um exemplo de}

uma onguraçãobidispersa amorfa à

φ = φ c

^e

N = 256

^.

onde a somaé feitasobre o número total de olisões

n _col [t ₁ ]

^entre

i

^e

j

^{que oorreram no}

intervalo de tempo

t ₁

^{, e}

∆ P ~ _n

^{é o momentum troado no}

n

^{-ésimo hoque. A Fig(3.3) é}

um exemplo doampode forças obtidoutilizando-se uma onguraçãobidispersa auma

fração de volume

φ

^próximade

φ c

^.

Conforme disutiremos mais adiante, na fase vitrosa o sistema apresenta

envelhei-mento (aging): observam-se eventos de relaxação abrupta, os quais hamamos

terre-motos. Nestes asos, uma fração signiativade partíulas se desloa aomesmo tempo,

normalmenteemregiõesdiferentesdaamostra. Entre esteseventosraros,hálongos

perío-dosondenãoseobservarelaxaçãoestrutural

§

. Todasasnossasmedidassãofeitasdurante

estes períodos. É importanteomentar aesolhadointervalo

t ₁

^{porque, emprinípio,}

o-ordenação eforçapoderiamdepender dele. Noentanto,estas quantidadesnão dependem

de

t 1

^{se forem} respeitadas asseguintes ondições: (i)

τ c ≪ t 1 ≪ τ α

^{e (ii) terremotos não}

oorrem durante o intervalo de tempo

t 1

^{. A disussão detalhada sobre a esolha de}

t 1

^e

testes darobustez de nossas medidasfrentea esta esolha estãono apêndie A.

§

Estesterremotosserãodesritoseestudadosnoapítulo5. VerFig.(5.1),ondeelessãoaraterizados

pormeiodafunçãodeautoorrelaçãodedensidades

C(~ q, t)

^.

Fig. 3.3: Forçasdeontatoparaumsistemaom

N = 256

^partíulas,

ǫ = 10 ⁻⁴

^e

t 1 = 10 ⁵

olisões. Osentros das partíulas estãorepresentadospelos pontoseasforças

de ontato pelos segmentos de linha. A largura dos segmentos é proporional

à amplitude da força entre as partíulas. Observe que há um balanço entre

as forças sobre ada partíula, omo deve ser paraas esalas de tempo onde a

estrutura é meaniamenteestável.

3.2 Potenial efetivo e energia livre de Gibbs do vidro

de esferas duras

Atéomomento,estabeleemosasbasesneessáriasparadeniropotenialefetivo.

Reap-tulandobrevementeasonsideraçõesfeitasatéaqui: ovidrode esferasduraséumsistema

quepermanee emequilíbriomeâniodurantelongosintervalosde tempo. Introduzimos

movimentotérmioreduzindoodiâmetrodaspartíulas elançandoumadinâmiadotipo

evento dirigido. Relatamos que o sistemapermanee emum estado metaestável durante

longotempo,oqualéinterrompidoporeventos de relaxaçãoabruptos quehamamos

ter-remotos, onde as partíulas se rearranjamaté enontrarem um novo estado metaestável.

Duranteestes longos períodos de metaestabilidade, denimosa rede de forças de ontato

e agora mostraremos omo podemos desrever as interações entre as partíulas om um

potenial efetivo.

Para denir um potenial efetivo para o sistema, preisamos relaionar as forças de

ontato

f ij

^{om osespaços}

h ij

^{entre aspartíulas}

i

^e

j

^,onde

h ij

^{édenido omonagura}

(3.4). Duranteointervalodetempo

t 1

^,osvaloresinstantâneosdestesespaçosvariamentre 0 quando elas estão em ontato e alguns espaços típios

h ≈ ǫ

^{e portanto esta medida}

não retorna uma informação preisa sobre o ontato

ij

^{. Por isto, ao invés de onsiderar}

aposição instantânea de ada partíula,onsideramossuas posiçãomedia

R ~ ^m _i (t)

^durante

o intervalo

t 1

^{, denida omo:}

Ovalorde

h ij

^{deveser denido omooespaço médioentre aspartíulasdurantetodo}

o intervalode tempo

t ₁

^:

h h ij i = || R ~ ^m _i (t) − R ~ ^m _j (t) || − r i − r j ,

^(3.3)

onde

r i

^{éo raiodapartíula}

i

^.

Começamosonsiderandoumalinhade esferasdurasequilibradasaumadada pressão

p

^{. Este sistema é onheido omo gás de Tonks (106), o qual foi o primeiro a mostrar}

teoriamenteque,sezermos uma médiatemporalnas olisõesemum sistemade esferas

duras limitadasao movimento em uma dimensão, podemos denir uma força efetiva

f ij

entre duas partíulas. A idéia que usamos aqui é exatamente a proposta feita na seção

anterior: onsideramososistemaduranteumintervalodetempoondeeleémeaniamente

estável. Durante este intervalo, o sistema pode ser araterizado por uma pressão

p

^{, a}

qual é diretamente proporional à média das forças de ontato entre todas as partíulas

do sistema (apêndie A). Assim, temos um sistema isotérmio e isobário(103), para o

qual podemos alular a função de partição introduzindo espaços

h i

^{entre as partíulas,}

denido

h i = r i,i+1 − r i − r i+1

^{, onde}

r i,i+1

^{éa distâniaentre asesferas}

i

^e

i + 1

^:

Z ∼ ^Y

i

Z _∞

0 dh i e ^{−βph i} .

^(3.4)

Ostermosqueontêmaenergiainétiaforamexluídos

¶

. Podemosisolarumontato

entreduaspartíulas

i

^e

i+1

^{ealularotrabalhoneessárioparaabri-lodeumadistânia}

h i

^{. Otrabalhoédado peloproduto}

f ij h i

^,onde

f ij

^{éa forçade ontato denida naseção}

¶

Notemosque olimite superior daintegralnão éestritamenteinnito, masélimitado porumvalor

h max

^{. Como}

h max ∼ N/(f β )

^(105),

e ^{−βph max}

^{deaiazeropara}

N ≫ 1

^{paraqualquervalorde}

φ

^próximo

a

φ c

^{, poisapressãoémuitograndenestelimite.}

anterior. Podemos esrevera função de partiçãodaseguinteforma:

em umarelaçãoentre asforças de ontato entre duaspartíulas

ij

^{eseus espaçosmédios:}

f _ij = 1

β h h i i , ∀ i.

^(3.6)

Esta expressão é válida om ousem forçaexterna.

Agora demonstraremos queaEq.(3.6) podeser estendidaa umvidrode esferas duras

a

φ = φ c

^{para qualquer dimensão. Conforme omentado no apítulo anterior, a}

φ c

^{, se}

aspartíulas-hoalhosãoremovidas, osistemaémarginalmenteonetadoouisostátio:

z = z c

^{. Sistemasisostátiostêma}partiularidadede apresentartantosgrausde liberdade de desloamentosquanto foremos número de ontatos. Esta propriedade onduz a duas

onseqüênias: (i)aonguraçãodosistemapodeserdenida peloonjuntodedistânias

entre as partíulas em ontato e (ii) estes graus de liberdade são independentes. Isto

impliaque a função de partiçãoé oproduto dos termos orrespondentes aada ontato

individual. Portanto,seumsistemaestá emequilíbriomeânionumestadometaestável,

o ampo de forças

| f i = { f _ij }

^{é bemdenido epodemos esrever:}

Z ∼ ^Y

hiji

Z _∞

0 dh _ij e ^{−βf ij h ij} .

^(3.7)

Exatamente omo foi feito para o aso

d = 1

^{, podemos alular a força entre os}

ontatos:

f ij = 1

β h h ij i , ∀ h ij i .

^(3.8)

Novamente, esta relaçãoéválidaom ousemforças externas. Observequeesta derivação

apenasonsideraargumentostermodinâmioseportantotambéméválidaparapartíulas

brownianas.

A relaçãoentre força e distâniafoi veriada numeriamente. A Fig.(3.5) apresenta

nossos resultados de simulaçãopara valores de

φ

^próximosà

φ c

^{emperfeita onordânia}

om a Eq.(3.8).

O potenial termodinâmio de um sistema à

T

^e

p

^{onstantes é a energia livre de}

10 ^-7 10 ^-6 10 ^-5 10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2

Fig. 3.5: Gráo log-logdaamplitude da forçade ontato vs. osespaços

h

^{denidos na}

Eq.(3.3) para vários valores de

ǫ

^{em um sistema de}

N = 256

^{partíulas em 2}

dimensões. Cada pontorepresentaum par (

f ij

^,

h h ij i

^{)assoiadoom oontato}

ij

^{. Ospontos olapsamna urva teória,denida pelaEq.(3.6).}

Gibbs

G

^{,a qual pode ser alulada a partirda expressão(3.7),}

G = β ⁻¹ ln Z

^:

G = − β ^{−1 X}

hiji

ln h h ij i

^(3.9)

Fisiamente,

G

^{orresponde à energia de um onjunto de partíulas atérmias om}

posições

{ R ~ i

m }

^{queinteragematravés dopotenial}

V ij

^:

V ij (r) =

Portanto, as esferas duras se omportam omo um sistema elástio que responde à

apliação de um ampo externo de forças omo se estivesse submetido a um potenial

logarítmio,o qual éexato nolimite

φ = φ c

^.

Antesde omeçarmosaapliarestepotenialefetivo,enfatizamosqueaequação(3.8)

pode ser obtida a partir de um argumento de esala baseado em idéias físias bastante

intuitivas. A freqüênia de olisões

ν

^{entre duas partíulas}

i

^e

j

^{depende dos espaços}

h

entre elas:

ν ∼ v/h ij

^{, onde}

v

^{é aamplitude médiado vetor veloidade das partíulas. O}

momentum linear troado entre elas numa olisão,é tipiamente

|| ∆ P ~ || ∼ mv

^,onde

m

^é

amassadapartíula. Considerando

m = 1

^{equeonúmerode olisõesentre}

i

^e

j

^durante

o intervalo de tempo

t 1

^{é igual a}

ν t 1

^{, ao utilizar a Eq.(3.1), tem-se:}

f ij ∼ ^hv h ij ⁱ

. Como

h v ² i ∼ β

^, reenontramos

f ij ∼ βhh ¹ ij i

^.

3.2.1 Correção da força quando

δz > 0

Quando

φ

^{é reduzido a partir de}

φ c

^{, a oordenação do sistema aumenta e portanto ele}

não vive mais no limite isostátio. Neste aso,

h _ij

^{não são mais variáveis} independentes na Eq.(3.7) e a Eq.(3.8) não é mais válida. Para estimar a orreção que deve ser feita

à Eq.(3.8) quando

δz > 0

^{, esrevemos a função de partição isolando um ontato}

ij

^da

seguinte maneira:

Z ∼

Z ∞

0 dh ij e ^{−βf ij h ij} e ^{−βG(h ij )} ,

^(3.11)

onde

G (h ij )

^{é a energia livre total do sistema. Podemos esrever}

G (h ij )

^omo

G (h ij ) = G ⁰ +∆ G (h ij )

^,om

G ⁰

independentedoespaço

h ij

^{enesteasoonossotrabalhoonsisteem}

estimar

∆ G (h ij )

^{. Para tanto,}onsideramosque a Eq.(3.8) éválida emuma aproximação de primeira ordem e que

∆ G (h ij )

^{é o usto de energia neessário para abrir um ontato}

de amplitude

e = h ij − h h ij i = h ij − f _ij ⁻¹

^{num sistema de partíulas queinteragemom o}

potenial (3.10). Na referênia(29) é alulada a aenergia gasta pelosistema aoefetuar

umarespostaelástiaaumaperturbaçãoloaldeamplitudepequena

e

^:

δE ∼ δzBe ²

^,onde

B

^{é o módulo de ompressão. Como o potenial é ontínuo,}

B

^{pode ser alulado para}

um sistema de esferas duras:

B ∼ V ^′′ (r) ∼ f _ij ²

^{. Com isto, podemos estimar}

∆ G (h _ij ) ∼ δzf _ij ² (h ij − f _ij ⁻¹ ) ²

^{e podemos esrever}

∆ G (h ij ) = δzC ij f _ij ² (h ij − f _ij ⁻¹ ) ²

^{, onde}

C ij

^{é uma}

onstantede ordemum epode variar de aordoomoontatoonsiderado. Substituindo

∆ G (h ij )

^em(3.11), reesrevemos a equação:

Z ∼

Z ∞

0 dh ij e ^{−βf ij h ij (1+2δzC ij )} .

^(3.12)

Calulamos os espaços médios

h h _ij i

onsiderando-se uma expansão até a primeira ordem em

δz

^:

h h ij i = _βf ¹

ij (1 − 2C ij δz)

^{. Portanto, a relação entre força e distânia para}

um sistema om

δz > 0

^obedee:

f ij = 1

β h h ij i (1 − 2C ij δz).

^(3.13)

Testamosnumeriamenteesteresultadoalulando

C(δz) ≡ h f ij β h h ij ii ^ij − 1

^,onde

hi ^ij

esta orreção é pequena, da ordem de 3-4% quando

δz ≈ 1

^{. Como estamos} interessados em estudarosistemapróximoaolimiteisostátio,onde asorreçõesde ordem

δz

^{não são}

relevantes, estas serão desprezadas norestante donosso trabalho.

0 0,5 1 1,5 2

δz -0,05

-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0

C ( δ z )

Fig. 3.6: Correçãomédiadaforça,

C(δz) ≡ h f ij β h h ij ii ^ij − 1

^vs.

δz

^{paradiferentesvalores}

de

φ

^{. Ovalor}

δz ≈ 1.5

^{orresponde a uma fração de oupação de tipiamente}

φ ≈ 0.82

^{. Alinhaéum ajustelineardospontosqueonvergemparaapredição}

teória alulada em (3.13). Observe a esala no eixo

y

^{: as orreções são no}

máximo de

5%

^{naexpressão daforça, Eq.(3.8).}

3.2.2 Força de ontato média omo parâmetro de ontrole

Normalmenteusamos afração de oupação

φ

^{omo parâmetrode ontrole das transições}

de fases do sistema. Esta medida tem a vantagem de ser aessível experimentalmente,

mas ela apresenta uma ambiguidade quando pensamos naforçade ontato média

h f i

^do

sistema, denida omo:

h f i = 1 N

X N

hiji

|| f ~ ij || ,

^(3.14)

onde

f ~ ij

^{é dada pelaEq.(3.1).}

Relatamos a existênia de terremotos no sistema omo sendo um evento onde uma

onsiderável fração de partíulas serearranjaao mesmotempo. Durante este proesso, o

médias entre as partíulas

h ij

^{aumentam. Portanto, embora}

φ

^{se mantenha onstante,}

h f i

^{diminui. Logo, é possível ter mais de um valorde}

h f i

^{para um mesmo valorde}

φ

^.

Mostramos noapítulo anterior quea teoria de vibrações de sólido pouo onetados

arateriza as vibrações do sistema om base em duas grandezas: oordenação

z

^e

pres-são

p

^{. A pressão}

p

^é diretamente proporional à

h f i

^{(ver Anexo A) e portanto, para}

desrevermososistemausandoareferidateoria,utilizaremos

h f i

^{omoparâmetrode}

on-trole. Usando este parâmetro, o intervalo de oorrênia da fase vitrosa é entre

h f i ≈ 20

e

h f i → ∞

^.

Salientamosque, para osistemade esferas duras,

h f i ∼ p ∼ 1/h

^{, onde}

h

^{é ointervalo}

araterístioentreaspartíulas,denidoem3.3. Podemosentãoexpressar

p

^omofunção

dafraçãode volume

φ

^usandoque

φ = φ C (1 − ǫ) ²

^{. Como}

h ≈ ǫ

^,para

ǫ

^{pequenospodemos}

esrever:

φ = φ C (1 − 2h)

^{. Assim,}

p ∼ (φ C − φ) ⁻¹

^.

3.3 Cálulo dos modos vibraionais

Duranteos intervalosde tempo nos quaisas esferas durasestão num estadometaestável,

mostramosque épossíveldeniruma redede forças de ontatoea energialivrede Gibbs

para o sistema,

G

^{. Podemos expandir}

G

^{em torno das posições}

{ R ~ ^m _i }

^{de equilíbrio das}

partíulas para desrever as vibrações dosistema.

Realizamos um proesso análogo ao que foi feito na seção 2.1 e alulamos a matriz

dinâmia

M

^{dosistema,ujostermossãodadospelaexpressãoEq.(2.6). Usandopotenial}

efetivo derivado para as esferas duras, Eq.(2.3), tem-se, para ada ontato

h ij i

^,

V _ij ^′ = β/ h h ij i

^e

V _ij ^′′ = β/ h h ij i ²

^{. Assim,tomando}

β = 1

^{,ostermosdamatrizdinâmiasãodados}

Para enontrar os modos normais do sistema suas respetivas freqüênias,

diagona-lizamos

M ^k

^. Representamos os modos normais por

| δR ^α i

^{, onde o índie}

α = 1, ..., 2N

lassia os modos em ordem de freqüênia

ω ^α

^{. A densidade de estados}

D(ω)

^é

ons-truídalassiandoasfreqüênias

ω ^α

^emintervalos, deformaquetemosadistribuiçãode

ons-truídalassiandoasfreqüênias

ω ^α

^emintervalos, deformaquetemosadistribuiçãode

No documento Ö Ñ ÒØÓ Ó ÔÓÙÓ ÑÓ ØÓ Ö Ö Ô Ó ÕÙ ÑÓ Ô ÐÓ ØÓ Ð ÓÑÔÖ Ò Ö Ñ Ñ Ò Ù Ò Ñ Ú Ö Ó ÑÓÑ ÒØÓ ÙÖ ÒØ Ó ÕÙ Ù Ø Ú ØÖ Ð Ò Óº ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ñ Ù Ó Ö Ö Ô Ó ÕÙ ÑÓ ÔÓÖÕÙ ØÓ Ð Ö (páginas 48-0)