Resumo e disussão

Maxwell ponderou, há mais de 150 anos, que o ritério global de rigidez de um sistema

é mais exigente que o ritério de estabilidade loal. Em partiular, para um sistema a

d

dimensões, apartirde um ritérioloalonluiríamosquesão neessárias

d + 1

^partíulas

em ontato parasustentarumapartíula. Noentanto,se, emmédia,este foronúmerode

oordenaçãode umsistema,Mawxellprovouqueelenão seráestável, poissãoneessários

pelo menos

z c = 2d

^{ontatos por partíulapara que o sistema seja rígido. Abaixo deste}

número de oordenação, apareem os modos maios, os quais têm freqüênia zero e

per-mitemqueosistemarelaxeaolongode suasdireçõessemforçade restauração. Portanto,

aestabilidade meâniade um sólidoexigeaestabilidade frenteamovimentosoletivos e

esta informaçãoestá ontida nos modos de vibração do sistema. Assim, as propriedades

de vibração de um sistemaestão intimamenteonetadas àsua estabilidademeânia.

Esta onexão é diretamente estabeleida na teoria de vibrações de sólidos pouo

o-netados (27; 28; 29). Um sólido pouo onetado é aquele para o qual o número de

oordenação

z

^{épróximoaolimite de}estabilidade

z c

^{,olimiteisostátio. Osautores}

mos-tramqueabaixaonetividadede umsólidoimpliaaexistêniadeumexesso demodos

de baixa freqüêniaom relação aoomportamentode Debye, ohamado pio de Bóson.

EstePioésupostamenteumaaraterístiamuitorelevanteemsólidosamorfos,deforma

que entender sua origem e saber a que estes modos orrespondem se tornou imperativo

para a ompreensão das araterístiasdestes materiais. Para sólidos pouo onetados,

os autores assoiaram a existênia destes modos à proximidade do material ao limite de

estabilidade meânia. Ou seja: quando o sistema está exatamente no limite isostátio,

eleérígidoeportantonãoexistemmodos maios. No entanto,dado queeleestá próximo

a perder sua estabilidade,os modos de baixa freqüênia deve ser modos na iminêniade

instabilidade e portanto pareidos om os modos maios. Desenvolvendo rigorosamente

estaidéia,mostra-se quetaismodossão muitodiferentesdos modosvibraionaisde baixa

freqüênia existentes emristaisas ondasplanas pois elessão omplemente

heterogê-l ^∗

^{quediverge quando o sistema atingeo limite isostátio,}

l ^∗ ∼ δz ⁻¹

^{. Como um material}

rígidonãopode possuirmodosinstáveis,impõem-seaestabilidadedosmodosanmalose,

apartir disto,surge uma relaçãoentre pressão

p

^{eoordenação}

z

^{quedeve ser respeitada}

para que osistema seja rígido: o ritériode Maxwellestendido.

A parte originaldestatese omeçanoapítulo3,onde nos perguntamosomo apliar

estas idéias para entender as propriedades de um vidro de esferas duras. Dado que este

sistemaexperimentauma fase vitrosa entre asdensidades

φ 0

^{,onde o tempo de relaxação}

estrututal

τ

^{é maiordo queos temposde simulaçãoe}

φ _c

^{, onde sua pressão diverge, ele é}

um modelo para estudar propriedadesestátias ea dinâmiade um sistemavitroso.

Este sistema é pouo onetado para frações de volume

φ

^{próximas à}

φ c

^{(23; 92;}

44) e portanto a teoria de vibrações de sólidos pouo onetados se aplia às esferas

duras. No entanto, para alular seus modos vibraionais é neessária a existênia de

um potenial ontínuo entre as partíulas, já que preisamos expandi-lo em torno das

posiçõesdeequilíbrio. Obviamenteestenãoéoasoparaasesferasduras,jáqueosistema

apresentaum potenialompletamentedesontínuo. O primeiroresultado importantefoi

a obtenção de um potenial efetivo para o sistema. Mostramos que, durante um estado

metaestável,podemosrealizarumamédiatemporalsobreasposiçõesdaspartíulaseobter

um potenial efetivo, o qual é exato no limite isostátio. Para derivá-lo analitiamente,

alulamosafunção departição

Z

^{dosistemaquando eleseenontranolimiteisostátio,}

à

φ = φ c

^,e,apartirde

Z

^{,denimosaenergialivredeGibbs}

G

^{deste sistema. Mostramos}

queasorreçõesaestepotenialsãopequenasforadestelimite,daordemde

δz

^{,de forma}

que ele ontinua sendo válido para valores de

φ

^{durante toda a fase vitrosa de líquido}

super-resfriado.

Ao longodestes intervalos de metaestabilidade, osistema seenontraem um mínimo

de sua energia livre e portanto o ritério de rigidez derivado pela teoria de vibrações de

sólidos pouo onetados se aplia. Mostramos que o vidro de esferas duras é

meania-mente estável porque há a formação de uma rede de ontatos que respeita a relação de

oordenação

z

^epressão

p

^{emadasubsistemade tamanho}

l ^∗

^{. Osnossosdadosnumérios}

são ompatíveisom aigualdade doritériode rigidezdesta rede,ou seja: o sistematem

a oordenação exata para sustentar a sua pressão. Este resultado permite entender a

estruturamirosópiadovidrodeesferas duras:

δz ∼ p ^−1/2 ∼ (φ C − φ) ^1/2

^{. Ofatode que}

a oordenação tem um valor limitepara sustentar a sua estrutura signiaque qualquer

utuação nas grandezas

p

^e

z

^{pode fazerom queo sistemapera sua rigidez. Logo, esta}

rigidezmarginalimpliaaexistêniadeumexessodemodosdebaixafreqüênia,osquais

são modos muito próximos aos modos maios e foramefetivamente medidosnas

simula-osistemaseenontra emum mínimode sua energialivre,épossívelexpandir

G

^emtorno

das posições de equilíbrio das partíuals e alular a matriz dinâmia do sistema. Para

o sistemade esferas duras,os modos vibraionaisdesrevem aurvatura dasuperfíiede

energialivre.

Dado que estes modos de baixafreqüênia são modos na iminêniade serem maios,

elesrepresentamasdireçõesdefragilidadedosistema: utuaçõesdepressãoeoordenação

podem fazerom que as partíulas se desloquem aolongo deles sem realizar trabalho. É

natural,portanto,seperguntarqualéainuêniadestesmodosnosproessosderelaxação

do sistema. E a partir daí zemos uma análise omparativa entre a dinâmia real do

sistemae seus modos de vibração. Esta análisepode ser interpretada omouma maneira

de estudarainuêniadasuperfíie de energialivreàdinâmiadosistema,emanalogia

à idéia de Goldsteinsobre a superfíiede energia potenial(68).

Primeiramenteestudamosadinâmiaemesalasdetempoorrespondentesàrelaxação

mirosópiadosistema. Paraisto, alulamos aautoorrelaçãode amplitudedos modos

vibraionais da dinâmia. Mostramos que a autoorrelação dos modos osila durante

todo o intervalo de medida, sugerindo que os modos tenham um aoplamento muito

pequeno. O tempo araterístio de relaxação de ada modo deai om sua freqüênia

e suas amplitudes quadrátias deaem quadratiamente om ela. Este último resultado

signiaqueosmodosvibrainaisquemaisontribuemparaarelaxaçãomirosópiasão

osmodos debaixafreqüêniaequeaontribuiçãodeaimuitorápidoquandoafreqüênia

aumenta. Além disso, estes fatos nos permitem ompreender a aentuada utuação das

posições das partíulas em torno de suas posições de equilíbrio,

h δR ² i

^{, om relação ao}

omportamentoobservadoemristais. Mostramosque

h δR ² i ∼ p ^3/2 ∼ (φ C − φ) ^−3/2

^,oque

é muito maior doque autuação que seria medidaaso estes modos de baixafreqüênia

fossem ondasplanas,

h δR ² i ∼ (φ ^C − φ) ⁻²

^{. Notequeeste resultado justiaaanomaliana}

dinâmiamirosópia,jáqueodesloamentoquadrátiomédiodaspartíulasserelaiona

aofator de Debye-Waller (114; 82;116; 115; 117; 118; 34).

Para estudar a dinâmia intermitente do vidro de esferas duras, omparamos a

di-nâmia real relativa aos eventos de relaxação estrutural, os terremotos, om os modos

vibraionais. Oproedimento ésimples: alulamos os modos de vibração dosistema no

estadometaestávelanterioraoterremoto eprojetamos oampode desloamentorelativo

aoterremotonestesmodosdevibração. Mostramosqueoseventosderelaxaçãoestrutural

se projetam em uma fração muito pequena dos modos de vibração do sistema, os quais

são os de mais baixafreqüênia. Este fato sugere que, ao relaxar durante a fase vitrosa,

o sistemabusa as direções mais maiasda superfíie de energia livre.

metaestáveis durante esta fase (119) e portanto o mesmo método pode ser apliado. As

nossasmedidasmostramqueoseventosderelaxaçãonestafasetambémseprojetamsobre

uma fração muito pequena dos modos vibraionais de baixa freqüênia e que esta fração

étantomenor quantomaispróximoà

φ 0

^{osistemaesteja. Assim,} interpretamosque, du-rantesuafasedelíquidosuper-resfriado,oseventosderelaxaçãodosistemaorrespondem

aodesloamentodas partíulasaolongodas direçõesmaisplanasdapaisagemde energia

livre,bemomo oorre nafase vitrosa.

É importantenotar queas nossas onlusões não impliamque os eventos de

relaxa-ção sejam espaialmente os mesmos na fase vitrosa e na fase de líquido super-resfriado;

nossosresultadosmostramqueelesseprojetam, emambasasfases,emumnúmeromuito

pequeno de modos vibraionais de baixa freqüênia. No entanto, os modos de vibração

não são espaialmente os mesmos ao longo da fase vitrosa e na fase de líquido

super-resfriado. A teoria apresentada no apítulo 2 prevê uma esala de omprimento

l ^∗

^dos

modos anmalosque diverge limite isostátio

φ = φ c

^,

l ^∗ ∼ δz ⁻¹

^{. Portanto, a observação}

de que osmodos de mais baixa freqüênia dominama relaxação dadinâmia sugere que

exista uma esala de omprimento dinâmio no sistema de esferas duras e que ela é

de-orrente da esala de omprimento

l ^∗

^{dos modos anmalos do sistema. A nossa medida}

de rigidezmarginal nos permiteainda prever um tamanhoaraterístio das regiões que

se rearranjam:

l ^∗ ∼ p ^1/2 ∼ (φ c − φ) ^−1/2

^{. Esta esala de omprimento}

l ^∗

^foi reentemente veriada em um trabalho numério (110) e pode ser testada em olóides a grandes

φ

^,

onde as regiõesde rearranjo durante os eventos de relaxaçãosão presumivelmente muito

grandes.

Osresultadosobtidosnestateseorroboraramnumapropostadedesriçãodatransição

vitrosa em termos da estabilização dos modos anmalos, a qual será disutida na seção

seguinte. Paranalizarestetrabalho,apresentaremosummodelosimplesquenospermite

testar alguns meanismos de relaxação que oorre nos sistemas vitrosos em termos da

estabilizaçãodos modos vibraionais.

Enm,antesde disutirmosestasperspetivas,salientamosquenossosmétodode

aná-lisedadinâmiaeresultadospodem ser estendidosamais dimensõesea outrossistemas.

As ferramentas utilizadaspara desrever o sistema em

2d

^{são failmenteestendidas para}

sistemas em

3d

^{. Em}

3d

^{,a matriz dinâmiapode ser alulada e, apartir dela, os modos}

vibraionaissão enontrados. Osmodosanmalosforamaraterizados parasistemasem

qualquer dimensão. Assim, a omparação entre a dinâmia e seus modos vibraionais

ontinuasendopossível. Oenárioproposto pode tambémser apliadoaoutros sistemas

vitrosos que não apenas do tipo desrito por esferas duras. Em sistemas desritos pelo

e que tais modos orrespondem a modos anmalos (? ). No entanto, diferentemente

das esferas duras, estes sistemas têm interação de longo alane. Nestes asos, onúmero

de oordenação deve ser onsiderado não apenas em função das partíulas em ontato

direto, mas deve ser alulado um númeroefetivo de oordenação

z ef

^{denido para ada}

sistemaemquestão. Nareferênia(? ),osautoresmostramque,quandoépossíveldenir

umahierarquiadeontatos,onde osontatosmais fraospodemser tratadosomouma

perturbação a um sistema isostátio, a análise om modos anmalos pode ser também

apliada a sistemas vitrosos om interação de longo alane. Nestes asos,

l ^∗

^{tem um}

valormáximo e não diverge na fase vitrosa omo noaso das esferas duras.

No documento Ö Ñ ÒØÓ Ó ÔÓÙÓ ÑÓ ØÓ Ö Ö Ô Ó ÕÙ ÑÓ Ô ÐÓ ØÓ Ð ÓÑÔÖ Ò Ö Ñ Ñ Ò Ù Ò Ñ Ú Ö Ó ÑÓÑ ÒØÓ ÙÖ ÒØ Ó ÕÙ Ù Ø Ú ØÖ Ð Ò Óº ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ñ Ù Ó Ö Ö Ô Ó ÕÙ ÑÓ ÔÓÖÕÙ ØÓ Ð Ö (páginas 96-100)