A Estatística T de Theil

Este item discute a desigualdade por meio da estatística T de Theil, calculando a desigualdade de pagamentos entre os diferentes setores da economia e regiões do país, e analisando as causas das mudanças. A escolha do índice de Theil não significa que o consideremos matematicamente superior ao de Gini, ou que o banco de dados do IBGE utilizado seja melhor que a PNAD quanto à qualidade da informação ou amplitude. Os índices para medir desigualdade têm o objetivo de comparar situações ou fornecer elementos para explicá-las, e cada qual tem suas vantagens e desvantagens. Assim, a escolha feita aqui propicia a análise de fatores que influenciam a desigualdade que não podem ser observados em um estudo que utilize o índice de Gini. Theil desenvolveu seu índice para medir desigualdade com base na teoria estatística de informações, e não é tão intuitivo quanto outras medidas, como, por exemplo, o índice de Gini, que é facilmente visualizado de forma gráfica. No entanto, conforme explicado a seguir, o índice de Theil pode ser decomposto, ou desagregado, permitindo que a desigualdade total seja separada dentro de (within) e entre (between) grupos, propriedade inexistente no coeficiente de Gini. Entretanto, o índice de Theil é muito sensitivo ao número de grupos, e é muito difícil comparar medidas entre unidades decompostas em diferentes números de grupos. Por exemplo, não é possível comparar o valor obtido da desigualdade medida entre os 50 estados norte-americanos com o calculado considerando as 27 unidades subnacionais brasileiras.

A metodologia adotada permite captar a contribuição de cada setor econômico e cada região do país para a desigualdade de pagamentos, analisando a posição relativa de cada setor e região no correr do tempo. A desigualdade total por meio do índice de Theil (T) é a soma

de dois componentes, o que mede a desigualdade entre (between) os grupos ( B g

T )e o que a mede dentro (within) dos grupos ( W

g T ): W g B g T T T = +

Como os salários individuais não são apresentados na pesquisa do IBGE utilizada, não é possível calcular a desigualdade dentro dos grupos ( W

g

T ). Portanto, o índice entre os grupos ( B

g

T ) representa um limite inferior para a desigualdade total, pois os índices são sempre positivos. No entanto, o índice entre os grupos reproduz com boa fidelidade a desigualdade total, não observada diretamente. Este índice pode ser escrito como sendo:

= = n i i i i B g y y P p T 1 ln * * µ µ ,

onde i indexa os grupos de 1 até n, p representa a população do grupo, P a população total, y a renda média do grupo e µ a renda média da população total.

Desta forma, se a renda média de um determinado grupo (setor econômico ou unidade da federação neste trabalho) for superior à média nacional (yi >µ), a contribuição deste setor para a desigualdade será positiva, pois

µ

i

y

ln >0. Grupos com renda média inferior à total

(yi <µ) contribuem negativamente ( µ

i

y

ln <0) para o Theil.

O intervalo de variação da estatística T de Theil é um dos motivos que a faz ser menos intuitiva que o índice de Gini. Conforme estudamos, o índice de Gini varia entre 0 e 1, com um valor maior indicando mais desigualdade. O índice de Theil também tem o zero como seu limite inferior, indicando uma distribuição perfeita. No entanto, seu limite superior é

(min)

ln

i

p P

, i.e., o logaritmo natural do total da população dividido pelo tamanho do menor grupo. Este valor máximo é atingido quando o menor grupo concentra todos os recursos. Desta forma, se estivermos trabalhando com uma amostra composta por indivíduos, o índice de Theil variará entre zero e ln

( )

Outra vantagem do índice de Theil é a possibilidade de decompor a mudança da desigualdade em um efeito relativo ao número de pessoas que trabalham em um setor econômico ou região e quanto à variação de salários neste setor ou região. Esta decomposição permite analisar o quanto da mudança ao longo do tempo na desigualdade deveu-se a uma modificação no número de pessoas trabalhando naquela atividade ou região e o quanto foi devido a alterações salariais. Se fixarmos a população do ano t-1 e calcularmos a desigualdade com o salário do ano t, obtemos o Theil peso-fixo, que exprime qual seria a desigualdade em t caso não tivesse ocorrido mudanças na estrutura de empregos de t-1, e pode ser expresso por:

= − − = n i t t i t t i t t i F t y y P p T 1 ) ( ) ( 1 ) 1 ( _{* *ln} µ µ

) ( ) ( ₁ 1 − − = − + − − t F t F t t t t T T T T T T ,

em que o primeiro termo da equação ( F)

t

t T

T − é o efeito populacional, que mede o quanto da mudança da desigualdade foi devida a alteração do número de pessoas que trabalham naquele setor econômico ou região, e o segundo termo ( − t−₁)

F

t T

T é o efeito

salarial, que indica o quanto deveu-se a mudanças salariais naquele setor em relação à média do país. A variação total da desigualdade é a soma do efeito populacional com o efeito salarial.

Neste trabalho, o índice de Theil é calculado com base no Cadastro Central de Empresas do IBGE, com informações sobre número de empregados e salários fornecidos pelas próprias empresas. As informações são mais fidedignas do que na PNAD, no entanto, têm menor abrangência, pois reportam apenas o setor formal da economia. Conforme o IBGE expõe em sua página na internet: “O Cadastro Central de Empresas - CEMPRE - é formado por empresas e unidades locais formalmente constituídas, registradas no CNPJ - Cadastro Nacional de Pessoa Jurídica. Sua atualização ocorre anualmente, a partir das pesquisas anuais do IBGE, nas áreas de Indústria, Comércio, Construção e Serviços, e de registros administrativos, como a Relação Anual de Informações Sociais - RAIS. Os dados disponíveis referem-se às empresas e às unidades locais que no ano de referência estavam ativas no Cadastro, seja via declaração da RAIS ou em alguma das pesquisas econômicas do IBGE. Estão disponíveis informações sobre número de empresas, número de unidades locais, pessoal ocupado total, pessoal assalariado e salários e outras remunerações, que podem ser desagregadas nos diversos níveis da Classificação Nacional de Atividades Econômicas - CNAE, bem como em diferentes níveis geográficos - Grandes Regiões, Unidades de Federação e Municípios”. Certamente os dados não são isentos de falhas, mas são consistentes no tempo e, portanto, permitem o estudo da mudança da desigualdade no tempo com grande precisão, permitindo perscrutar suas causas.