A aula teve inicio com o vídeo Sintonia de Poliedros (Fonte:
https://www.youtube.com/watch?v=omRkXtYvLys ), retratando o uso desses objetos para
nosso cotidiano e abrindo discursão sobre a relação da Matemática com a arte, a cultura, emprego e renda. Neste “bate-papo”, os estudantes enxergam em sua volta o uso da Matemática, a exemplo disso eles citaram: construção de móveis e imóveis, o próprio uso do sistema numérico (contar), a porcentagem e juros, e para fecha esse entendimento inicial foi esclarecido a importância do uso do triangulo como firmação de uma construção.
Dando continuidade ao conhecimento de geometria espacial utilizamos os sólidos Platão, objeto principal da aula. E para despertar a curiosidade aos estudantes foram exposto as seguinte perguntas?
Quem era Platão? Quais são esses sólidos?
E porque esses sólidos são considerados de Platão?
Em sumo, Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.C., e constituiu importantes propriedades em alguns poliedros. Ele estabeleceu ainda algumas relações entre as classes de poliedros e a construção do Universo, associando os poliedros tetraedro, hexaedras (cubo), octaedro e icosaedro, respectivamente, aos elementos fogo, terra, ar e água, e o dodecaedro foi associado ao Cosmo.
FIGURA 14 - SÓLIDOS DE PLATÃO
Sólidos de Platão são todos os poliedros regulares, isso quer dizer que, todas as faces dos sólidos são polígonos regulares congruentes entre si e todos os seus ângulos poliédricos são regulares e congruentes entre si.
Dentro desse contexto dos sólidos de Platão, foi imposto três condições fundamentais para diferenciá-los:
P1 – Duas faces adjacentes do poliedro (faces com uma aresta em comum) nunca estão no mesmo plano.
P2 – Cada aresta do poliedro (lado de uma face) é comum a exatamente a duas faces do poliedro.
P3 – Para quaisquer duas faces de um poliedro é possível traçar um caminho poligonal, inteiramente contido da superfície do poliedro, ligando uma face a outra sem passar por nenhum dos vértice do poliedro.
Para entender melhor detalhamos as caraterística da superfície poliédrica:
Um poliedro tem superfície poliédrica se suas faces são polígonos convexos. Se um poliedro tem dentre suas faces polígonos não convexos, logo, o poliedro
não tem superfície poliédrica.
FIGURA 15 - POLÍGONOS CONVEXO E NÃO CONVEXO
No decorrer da aula, foi necessário relembrar apenas o que são polígonos regulares e entender o que era convexo e não convexo como foi mostra a figura 15, o que não foi nenhum problema para os alunos. Somando essa revisão com as três condições fundamentais a esses sólidos, concluímos o entendimento sobre superfície poliédrica, e reforçando esse aprendizado com exemplos e atividades, verificando a veracidade para cada sólido de Platão.
Em seguida foram expostas as propriedades de apenas um dos sólidos de Platão (nome; tipo de face; quantidade de faces, de arestas e de vértices; quantidade de arestas que partem de um vértice), para servi de orientação, e em decorrência, para a construção do entendimento e a bastante participação dos estudantes na aula, deixamos a cargo dos alunos realizarem o detalhamento dos sólidos restantes. Que chagamos aos resultados informados na tabela a seguir:
Sólidos Platônicos Propriedades Demonstrado por:
Nome: Tetraedro Vértice: 4
Arestas:6 Faces: 4
De cada vértice partem: 3 restas Polígono da face: triângulo
Professor
Nome: Hexaedro (cubo) Vértice: 8
Arestas:12 Faces: 6
De cada vértice partem: 3 restas Polígono da face: quadrados
Grupo 1 – 5 alunos Nome: Octaedro Vértice: 6 Arestas:12 Faces: 8
De cada vértice partem: 4 restas Polígono da face: triângulo
Grupo 2 – 4 alunos Nome: Icosaedro Vértice: 12 Arestas: 30 Faces: 20
De cada vértice partem: 5 restas Polígono da face: triângulo
Grupo 3 – 5 alunos Nome: Dodecaedro Vértice: 20 Arestas: 30 Faces: 12
De cada vértice partem: 3 restas Polígono da face: pentágonos
Grupo 4 – 6 alunos
TABELA 6 - SÓLIDOS PLATÔNICOS E SUAS PROPRIEDADES
Diante dessa configuração e para concretizar a aprendizagem sobre os sólidos de Platão, solicitamos a turma a confecção dos sólidos, com o usos de palitos de dente e jujubas, realizado em grupo, e cada grupo montou o sólidos de referencia de acordo com a tabela 6 sobre orientação do professor.
FIGURA 16 - CONFECÇÃO DOS SÓLIDOS DE PLATÃO COM PALITOS DE DENTE E JUJUBAS
Ao término da construção dos sólidos, foi solicitada a analise de suas propriedades, e a parti dessa vistoria introduzimos a fórmula de Euler, de início foi pedido aos alunos que informasse a quantidade de vértices, arestas e faces do tetraedro, realizando os cálculos seguindo a fórmula de Euler, sem que haja uma prévia explanação, solicitei aos mesmos para realizar os cálculos com os outros sólidos com a mesma linha de raciocínio. O que resultou em uma ótima estratégia de ensino e aprendizagem, vindo a explanação da fórmula de Euler só depois dos cálculos.
Lenhard Euler afirma em sua carta que, para qualquer poliedro convexo, sendo V, A e F os números de vértices, arestas e faces, respectivamente, valeria a relação:
V – A + F = 2
Confrontando a fórmula com os seus registros, perceberam a veracidade das informações de forma prática sem ter a preocupação de seguir um padrão (fórmula). Esses registros estão apontados na tabela abaixo:
Sólidos de Platão Nº. Vértice Nº. Arestas Nº. Faces V – A + F = 2
Tetraedro 4 6 4 4 – 6 + 4 = 2
Hexaedro 8 12 6 8 – 12 + 6 = 2
Octaedro 6 12 8 6 – 12 + 8 = 2
Dodecaedro 20 30 12 20 – 30 + 12 = 2
Icosaedro 12 30 20 12 – 30 + 20 = 2
TABELA 7 - APLICAÇÃO DA FORMULA DE EULER COM OS SÓLIDOS PLATÔNICOS
Finalizando essa jornada de ensino e discursões, apresentamos o estudo dos sólidos, de maneira que desperte o espírito investigativo para a nova descoberta que justifica a compreensão dos cinco sólidos de Platão, para isso temos que entender que:
Para cada vértice de um poliedro, define-se a sua valência como sendo o número de arestas adjacente a esse vértice;
Em cada vértice de um poliedro, a valência também indica o número de faces que lhe são adjacentes;
Dessa forma, para que o poliedro seja considerado regular é necessário que suas faces sejam polígonos regulares congruentes e todos os vértices têm a mesma valência, ou seja, que de cada vértice sai o mesmo número de arestas.
A nova descoberta justifica a natureza dos poliedros regulares, com a valência n igual a 3 ( e p igual a 3, 4 ou 5) ou a valência p igual a 3 ( e n igual a 3, 4 ou 5) o que nos dar cinco possibilidades para o par de valores n e p:
n refere-se ao número de aresta presente em cada face; p indica o número de arestas que partem do vértice.
E considerando que:
A represente o número de arestas do poliedro; V represente o número de vértices do poliedro; F represente o número de faces do poliedro. Temos que:
A= 𝑛𝐹2 V = 𝑛𝐹𝑝 F= 2𝑛+2𝑝−𝑛𝑝4𝑝
Como parte final dessa aula, aos alunos foi proposta a verificação do todos os sólidos de Platão de acordo com as fórmulas da nova descoberta, e para orientá-los foi realizado um a demonstração com um dos sólidos. À medida que descobriam o número de faces, arestas e vértices iria confrontado com os sólidos criados por eles, e verificando em qual desses sólidos se encaixariam as características. Assim, podemos chegar à conclusão dos cinco poliedros regulares conhecidos como Sólidos de Platão, como mostra a tabela a seguir:
n P Tipo de faces F = 4𝑝 2𝑛+2𝑝−𝑛𝑝 A= 𝑛𝐹 2 V= 𝑛𝐹 𝑝 Natureza do poliedro 3 3 Triangulares 4 6 4 Tetraedro 3 4 Triangulares 8 12 6 Octaedro 3 5 Triangulares 20 30 12 Icosaedro 4 3 Quadradas 6 12 8 Hexaedro 5 3 Pentagonais 12 30 20 Dodecaedro