As atividades com ladrilhamento deu-se a parti da visualização de forma montadas com peças do tangram e de imagens que retratam o uso de ladrilhamento em ruas, calçada, praças, paredes e pisos, imagens também que mostra o uso do ladrilho em obras de arte, frisando a importante junção das peças para chega-se a uma forma desejada, seja ela bem- comportado ou não.
Fazendo uma pequena revisão acerca de partes fundamentais do conteúdo abordado para se compreender o que se espera da aula planejada, revisamos a peculiaridade dos polígonos regulares. Nesta demonstração foram solicitados apenas os polígonos regulares que no decorrer da aula servirá para construção de ladrilhamento regular, dentro dessa abordagem foi frisado não só a igualdade de lados como também a igualdade de ângulos.
Assim como os polígonos regulares, o estudo dos ângulos que fazem essas peças partiu do princípio para que também houvesse uma real compreensão sobre que a soma dos ângulos internos do triângulo qualquer equivale a 180° graus, seguindo o passo a passo:
Desenhar um ângulo de meia volta, 180° graus; Desenhar um triângulo qualquer;
Pintar cada ângulo do triangulo;
Cortar o triângulo em três partes destacando os ângulos pintados;
Unir os ângulos pintados do triângulo inicial, sobrepondo ao desenho do ângulo de meia volta;
Os alunos ficaram boquiabertos quando que de imediato perceberam a comprovação visual que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer equivale a 180° graus. Fixando esse entendimento, fica fácil encontrar a soma dos ângulos internos dos outros polígonos. Para isso bastaram dividir os polígonos em triângulos trançando diagonais a partir de um vértice. Como mostra as imagens a seguir:
FIGURA 11 - DESCOBRINDO A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO ATRAVÉS DE TRIÂNGULOS
Na figura acima podemos perceber que o polígono de quatro lados tem dois triângulos e como soma dos ângulos internos de um triangulo é 180, temos que 2 x 180° = 360°, logo a soma dos ângulos internos do quadrado é igual a 360°. Da mesma forma para os outros dois polígonos, o pentágono com três triângulos, 3 x 180° = 540°, cuja soma dos ângulos internos é 540°, do hexágono partindo três diagonais de um dos vértice divide-o em quatro triângulos, 4 x 180° = 720°, totalizando a soma dos ângulos internos do hexágono em 720°.
Observamos ainda, relação da soma dos ângulos internos dos triângulos com a relação da soma dos ângulos internos nos polígonos e o número de lados do polígono, pois a diferença entre o número de lados do polígono e o numero de triângulos formado é sempre igual a 2. Daí, podemos formular uma expressão matemática que nos levará a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados e número de triângulo n – 2 sem a necessidade de traçar as diagonais. Vejamos: Sn = (n – 2) • 180°
Portanto, a fórmula nos possibilita determinar a soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo, de maneira mais prática e rápida, como demostra à tabela a seguir:
Número de lados – N Quantidade de triângulos – n – 2 Calculo – Sn = (n – 2) • 180°
Soma dos ângulos internos – Sn 3 3 – 2 = 1 S3 =1 • 180° S3 = 180° 4 4 – 2 = 2 S4 = 2 • 180° S4 = 360° 5 5 – 2 = 3 S5 = 3• 180° S5 = 540° 6 6 – 2 = 4 S6 =4 • 180° S6 = 720° 7 7 – 2 = 5 S7 = 5 • 180° S7 = 900° 8 8 – 2 = 6 S8 = 6 • 180° S8 = 1080° 9 9 – 2 = 7 S9 = 7 • 180° S9 = 1260° 10 10 – 2 = 8 S10 = 8 • 180° S10 = 1440° 11 11 – 2 = 9 S11 = 9 • 180° S11 = 1620° 12 12 – 2 = 10 S12 = 10 • 180° S12 = 1800° 15 15 – 2 = 13 S15 = 13 • 180° S15 =2340° 20 20 – 2 = 18 S20 = 18 • 180° S20 =3240°
TABELA 3 - SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO
Para descobrir a medida do ângulo interno, como estamos trabalhando polígonos regulares, como foi informado que os ângulos internos são congruentes, ou seja, tem o mesmo valor. Para encontrar essa medida, bastando primeiro descobria a soma dos ângulos internos do polígono, como foi aprendido e sistematizado na tabela 3, depois só é dividir pela quantidade de ângulos. No caso do triângulo regular, como a soma dos ângulos internos
equivalem a 180° dividi-o por três que é quantidade de ângulos existente neste polígono, então 180 ÷ 3 = 60°, logo a medida de qualquer um dos ângulos internos do triangulo regular vale 60° graus. Formalizando essa expressão para encontrar a medida do ângulo interno de qualquer polígono regular, em que a é essa medida e n é o numero de lados de um polígono
regula, temos que: an =
(𝑛−2) • 180°
𝑛
Agora, repetimos esse processo apenas com os polígonos regulares, que iremos utilizá- los para a formação de padrões de ladrilhamento bem-comportado, os quais já se encontram confeccionados de acordo com a atividade inicial de polígono regular, que segue abaixo a descriminação de seus ângulos internos:
Nome do Polígono Número de lados Ângulo interno
Triângulo 3 60°
Quadrado 4 90°
Hexágono 6 120°
Octógono 8 135°
Dodecágono 12 150°
TABELA 4 - ÂNGULOS INTERNOS DOS POLÍGONOS REGULARES PARA PADRÕES BEM- COMPORTADOS
Tomando o conhecimento adquirido até o momento, para começar o ladrilhamento, primeiro foram orientado a encontrar os padrões, e para isso responderam a seguinte pergunta: Quais peças ao unir seus vértices os ângulos somam 360°?
A maioria dos padrões foi encontrada facilmente pelos estudantes, o restante foi necessário reforçar as orientações para complementar todos os padrões possíveis com o material confeccionado como mostra a tabela abaixo:
Lados Ângulos 3, 3, 3, 3, 3, 3 60°, 60°, 60°, 60°, 60°, 60° 3, 3, 3,3, 6 60°, 60°, 60°, 60°, 120° 3, 3, 3, 4, 4 60°, 60°, 60°, 90°, 90° 3, 3, 6, 6, 60°, 60°, 120°, 120° 3, 3, 4, 12 60°, 60°, 90°, 150° 4, 4, 4, 4 90°, 90°, 90°, 90° 4, 6, 12 90°, 120°, 150° 6, 6, 6 120°, 120°, 120°
Finalmente, o estudante de forma individual e coletiva pode usar todas as informações adquiridas no decorrer das aulas para montar o ladrilhamento bem-comportado com as peças fabricadas por eles.
Pode-se observar no desenvolver da aula e considerando essa atividade como uma forma lúdica de se trabalhar em sala, que a abordagem do ladrilhamento realizado por demonstração, confecção e investigação, despertou insaciavelmente o interesse na buscar do conhecimento geométrico por meio do ladrilhamento. Isso se comprova não só pela participação do estudante durante a aula, como também pela atitude de alunos, que ao término da aula leva parte do material não utilizado para exercitar o saber adquirido no intuito de construir ladrilhamentos.
FIGURA 12 - CONFECÇÃO DE PEÇAS – FORMAS GEOMÉTRICAS
FIGURA 13 - FORMAÇÃO DO LADRILHO – PADRÕES