Se o desa ante escolheu quatro cores, dentre as seis, para elaborar sua senha, podemos garantir que, quando o jogador escolher suas quatro dentre as mesmas seis cores, pelo menos duas cores teriam sido escolhidas por ambos. Isso quer dizer que, pelo menos dois pinos (ou dois brancos, ou dois pretos, ou um branco e um preto) o desa ante terá de colocar ao lado de cada chute do jogador. De fato, considere que o desa ante tenha escolhido suas quatro cores. Se o jogador tivesse escolhido apenas uma dessas mesmas cores, ou nenhuma delas, ele não teria escolhido quatro cores, logo não formaria uma senha.
Assim, o número de pinos que o desa ante pode colocar, a cada chute do jogador é 2, 3 ou, no má- ximo, 4. Portanto, podemos contar de quantas maneiras os pinos podem ser colocados pelo desa ante. Basta determinar o número de soluções, inteiras e não negativas, de 2 ≤ b + p ≤ 4, onde b representa o número de pinos brancos e p o de pinos pretos.
Para a equação b+p = 2, temos CR2
2= C32= 3soluções em inteiros não negativos, são elas (2, 0), (0, 2)
e (1, 1).
Para a equação b+p = 3, temos CR3
2= C43= 4soluções inteiras não-negativas, que são (3, 0), (0, 3), (2, 1)
e (1, 2).
Finalmente, o número de soluções, em inteiros não negativos, de b + p = 4 é CR4
2 = C54 = 5;
(4, 0), (0, 4), (1, 3), (3, 1) e (2, 2) representam essas soluções.
Portanto, 2 ≤ b + p ≤ 4 tem 3 + 4 + 5 = 12 soluções em inteiros não-negativos.
Mas estaríamos precipitados se disséssemos que os pinos brancos e pretos podem ser colocados, pelo desa ante, de 12 maneiras, já que não podemos contar com a solução (1, 3) (1 pino branco e 3 pretos), pois se três cores estivessem certas, e em posições certas, resta que a quarta cor também estaria certa, e na posição certa. Assim, o desa ante pode colocar os pinos brancos e pretos de 11 formas diferentes, conforme a tabela:
Veja que, para b = 0 e p = 4, signi ca que a senha já foi descoberta pelo jogador.
Ao preparar sua senha, o desa ante deve ter em mente o número de senhas que ele pode fazer. Seria, então, possível estabelecer tal contagem? Mas é claro! Veja que, para escolher a primeira cor, ele tem 6 possibilidades, para a segunda, 5 possibilidades (pois não pode ocorrer repetição de cores), para a terceira 4 possibilidades, e 3 possibilidades para a última cor. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo de Contagem, o desa ante se dispõe de 6 · 5 · 4 · 3 = 360 senhas possíveis.
Após preparada a senha, o jogador é induzido a dar seu primeiro chute. Feito isso, o desa ante deve colocar uma quantidade de pinos brancos e pinos pretos − já foi dito que ele tem 11 formas de fazê-lo. Sendo b = 0 e p = 4, vimos que a senha já está descoberta. Então, vamos analisar os casos menos triviais; o objetivo é descobrir, para cada caso, quantas são as maneiras de o jogador fazer seu segundo chute.
a) b = 0 e p = 3
O jogador sabe que 3 de suas cores estão corretas em posições certas. Assim, ele deve escolher 3, dentre as quatro cores que ele colocou anteriormente, e xá-la na mesma posição, o que pode ser feito de C3
4 maneiras. A outra cor, então, deve ser substituída por uma das duas que ele não
tinha colocado. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo de Contagem, ele pode dar seu segundo chute de C3
4· = 4 · 2 = 8maneiras.
b) b = 0 e p = 2
Repetindo o pensamento anterior, o jogador, primeiramente, deve escolher duas das quatro cores, que ele escolheu antes, e xá-las nas mesmas posições, então ele tem C2
4 de fazê-lo. Depois ele
deve empunhar as duas cores que ele não tinha escolhido e colocá-las nos dois espaços vazios, o que pode ser feito de P2 maneiras. Portanto, pelo PMC, C42· P2 = 6 · 2 = 12 é o número de
senhas que poderá fazer no seu novo chute. c) b = 1 e p = 2
Primeiramente, o jogador deve escolher duas cores e xá-las nas mesmas posições, isso pode ser feito de C2
4 maneiras. Depois, ele deve selecionar uma da duas peças restantes e mudá-la de
posição (ele tem duas maneiras de fazer isso). Por último, ele deve completar seu chute com uma das peças que ele não tinha usado no chute anterior, o que pode ser feito de 2 maneiras. Logo, pelo PMC, ele tem C2
4· 2 · 2 = 6 · 2 · 2 = 24formas de fazer seu chute seguinte.
d) b = 1 e p = 1
Inicialmente, o jogador deve xar uma das cores na posição inicial, para isso, ele dispõe de C1 4
possibilidades. Agora, ele deve selecionar uma das três cores restantes, o que pode ser feito de C31 maneiras, e mudá-la de lugar, o que pode ser feito de 2 maneiras. Por m, ele deve colocar
as duas cores, que ele não tinha escolhido, nos lugares restantes, o que pode ser feito de P2
maneiras. Portanto, pelo PMC, ele pode fazer seu novo chute de C4
1· C31· 2 · P2= 4 · 3 · 2 · 2 = 48
maneiras. e) b = 2 e p = 2
O jogador deve xar duas cores que ele escolheu em suas posições, ele tem C2
4 jeitos de fazê-lo.
Depois ele deve apenas trocar as posições das outras duas cores, ele pode fazer isso de apenas uma maneira. Então, pelo PMC, ele tem C2
4· 1 = 6 · 1 = 6maneiras de fazer seu próximo chute.
f) b = 4 e p = 0
Nesse caso, o jogador deve apenas tirar as cores de suas posições iniciais, então, ele precisa saber qual é o número de permutações caóticas de 4 objetos, que é D4= 4!
1 −1!1 +2!1 − 1 3!+ 1 4! = 9. g) b = 3 e p = 1
De início, o jogador deve xar uma das cores, o que pode ser feito de C1
4 maneiras. Depois
ele deve apenas trocar a posição das cores restantes, de modo que elas não quem na mesma posição, o que pode ser feito de D3. Logo, pelo PMC, o jogador tem C41· D3= 4 · 2 = 8maneiras
de fazer seu segundo chute. h) b = 2 e p = 0
Primeiro, o jogador tem de selecionar duas cores das que ele tinha escolhido, o que pode ser feito de C2
4 maneiras. Depois ele deve empunhar as duas cores que ele não tinha utilizado e distribuir
as quatro peças que ele tem em mãos de forma que as duas primeiras não quem nas mesmas posições, o que pode ser feito de C0
2· D4+ C21· D3+ C22· D2= 14. Portanto, pelo PMC, o jogador
tem C2
4· 14 = 6 · 14 = 84 maneiras de fazer seu novo chute.
i) b = 3 e p = 0
O jogador deve, inicialmente, selecionar 3 cores das que ele tinha colocado, o que pode ser feito de C43maneiras. Depois deve selecionar uma das duas cores que ele não tinha escolhido e, por m,
fazer uma permutação caótica de 3 objetos em 4 vagas, que é C0
1· D4+ C11· D3= 1 · 9 + 1 · 2 = 11.
Portanto, pelo PMC, ele pode fazer sua nova senha de C3
4· 2 · 11 = 4 · 22 = 88 maneiras.
j) b = 2 e p = 1
Primeiramente, o jogador deve escolher uma cor e xá-la na mesma posição, ele pode fazer isto de C1
4 maneiras. Depois ele deve selecionar duas outras cores dentre as três que sobraram, o
que pode ser feito de C2
3 maneiras, e depois selecionar uma das duas cores que ele não tinha
escolhido. Feito isso, ele deve fazer uma permutação caótica das duas primeiras cores em três vagas, o que pode ser feito de C0
1· D3+ C11· D2= 1 · 2 + 1 · 1 = 3. Portanto, pelo PMC, ele pode
dar seu novo chute de C1
4· C32· 2 · 3 = 4 · 3 · 2 · 3 = 48maneiras.
Segue abaixo uma tabela que mostra, para cada quantidade de pinos brancos e pinos pretos, o número de senhas que o jogador poderá fazer em seu segundo chute: