Iniciamos essa seção apresentando o teorema de Riemann-Roch. Não apresentaremos sua prova, pois a demonstração desse teorema é muito técnica, e envolve alguns conceitos e resultados não de- senvolvidos anteriormente, como o conceito de adeles e diferenciais de Weil. Para o leitor interessado em mais detalhes recomendamos a referência [1]. No entanto, provaremos várias consequências desse resultado.
Teorema 3.1 (Teorema de Riemann-Roch). Existe um divisor W tal que ` (A) =grau A + 1 − g + `(W − A).
Mais ainda, a igualdade acima vale para todo divisor equivalente a W . Os divisores dessa classe são chamados de divisores canônicos, e temos:
grau W = 2g − 2 e `(W ) = g. De nição 3.2. Para um divisor A ∈ Div(F ) o inteiro
i(A) := `(A) − grauA + g − 1. é chamado de índice de especialidade de A.
Teorema 3.3. Se A é um divisor de F |K de grauA ≥ 2g − 1 então `(A) =grau A + 1 − g
Demonstração. Pelo Teorema de Riemann-Roch temos que `(A) = grau A + 1 − g + ` (W − A) onde W é um divisor conônico. Como grau A ≥ 2g − 1 e grau W = 2g − 2, temos que grau (W − A) = 2g − 2 − 2g + 1 = −1 < 0. Segue pelo corolário2.33, que `(W − A) = 0. E assim `(A) = grau A +1 − g. Uma primeira consequência importante é que o Teorema de Riemann-Roch caracteriza o gênero assim como a classe de divisores canônicos de F |K.
Proposição 3.4. Suponha que g0∈ Z e W0∈ Div(F ) satisfazendo
`(A) =grau A + 1 − g0+ `(W0− A) (3.1)
para todo A ∈ Div(F ). Então g0= g, e W0 é um divisor canônico.
Demonstração. Colocando A = 0 temos que `(0) = grau(0)+1−g0+`(W0)e logo 1 = 1−g0+`(W0),
daí `(W0) = g0. Agora colocando A = W0 temos
`(W0) =grau W0+ 1 − g0+ `(W0− W0)
g0=grau W0+ 1 − g0+ 1
grau W0= 2g0− 2.
Seja W um divisor canônico de F |K. Escolhamos um divisor A com grauA > max{2g−2, 2g0−2},
para isso basta tomar o divisor canônico W +W ou W0+W0. Se 2g−2 > 2g0−2então grauA ≥ 2g−2,
donde segue que grauA ≥ 2g−1. Agora se 2g0−2 > 2g −2então grauA ≥ 2g0−1 > 2g0−2 > 2g −2 ≥
2g −1. Logo pelo teorema3.3, temos que `(A) = grauA+1−g e por (3.1) temos `(A) = grauA+1−g0.
Portanto g = g0. Finalmente substituindo A = W em (3.1) temos
`(W ) = grauW + 1 − g0+ `(W0− W )
g = (2g − 2) + 1 − g + `(W0− W )
Assim `(W0− W ) = 1, e como grau(W0− W ) = grau(W0) − grau(W ) = 2g0− 2 − (2g − 2) = 0temos
pelo corolário 2.33, que W0− W é principal, ou seja, W0− W = (x), para algum x ∈ F/0, isto é,
W0= W + (x), logo W0∼ W, e portanto W0é canônico.
A seguir temos outra caracterização usual para os divisores canônicos.
Proposição 3.5. Um divisor B é canônico se e somente se grau(B) = 2g − g e `(B) ≥ g.
Demonstração. Suponha que grauB = 2g − 2 e `(B) ≥ g. Escolha um divisor canônico W , então g ≤ `(B) = grauB + 1 − g + `(W − B) = 2g − 2 + 1 − g + `(W − B) = g − 1 + `(W − B), potanto `(W − B) ≥ 1. Já que grau(W − B) = grau(W ) − grau(B), segue do corolário 2.33 que W ∼ B. Portanto B é canônico.
Proposição 3.6. Seja F |K um corpo de funções com gênero 0, e suponha que existe um divisor A ∈ Div(F ) com grauA = 1. Então F |K é racional, ou seja, F = K(x) para algum x tal que x é transcendente sobre o corpo K.
Demonstração. Seja g = 0 e grauA = 1, como grauA = 1 ≥ 2g − 1 = −1, pelo teorema 3.3 temos que
l(A) = grau(A) + 1 − g = 1 + 1 − 0 = 2 Assim, pela observação 2.26, segue que A ∼ A0
para algum A0
≥ 0. Visto que `(A0
) = `(A) = 2, existe um elemento x ∈ L(A0)/K, então (x) 6= 0 e (x) + A0 ≥ 0. Como A0 ≥ 0 e grauA0 = 1, isso só é possível apenas se A0 = (x)∞ o divisor pólo de x.
Agora como [F : K(x)] = grau(x)∞ = grauA
0
= 1, pelo teorema 2.32 F = K(x). Agora vamos investigar elementos em F que têm apenas um pólo.
Proposição 3.7. Seja P ∈ PF. Então para cada n ≥ 2g existe um elemento x ∈ F com o divisor
polo (x)∞ = nP.
Demonstração. Como grau((n − 1)P ) = (n − 1)grauP ≥ n − 1 ≥ 2g − 1, então pelo teorema 3.3
temos que
`((n − 1)P ) = (n − 1)grauP + 1 − g e
`(nP ) = n.grauP + 1 − g
Assim `((n − 1)P ) < `(nP ) e logo L((n − 1)P ) $ L(nP ), daí todo elemento x ∈ L(nP )/L((n − 1)P )
tem um divisor de pólo nP .
Observe que para x ∈ L(nP ) temos que nP + (x) ≥ 0 ou seja nP + (x)0− (x)∞≥ 0 → (nP − (x)∞) +
(x)0 ≥ 0, como (x)0 e (x)∞ são divisores positivos e supp((x)0∩ supp((x)∞ = ∅, só podemos ter
nP − (x)∞≥ 0.
Como x /∈ L((n − 1)P ), não temos (n − 1)P + (x)0− (x)∞≥ 0, ou seja, não é verdade que (n − 1)P −
(x)∞≥ 0, isto é, não acontece nP − (x)∞> 0.
Logo só podemos ter nP − (x)∞= 0, ou seja nP = (x)∞.
De nição 3.8. Seja P ∈ PF. Um inteiro n ≥ 0 é chamado de ordem pólo de P se existe um elemento
x ∈ F com (x)∞ = nP. Do contrário, n é chamado de lacuna.
Teorema 3.9 (Teorema das lacunas de Weierstrass). Suponha que F |K tenha gênero g > 0 e P é um lugar de grau um. Então existem exatamente g lacunas i1< i2< ... < ig em P . E temos
i1= 1 e ig ≤ 2g − 1.
Demonstração. Pelo corolário 3.7, temos que qualquer lacuna em P é menor ou igual a 2g − 1 e, temos também que 0 é uma ordem de pólo de P , pois 1 ∈ F e temos (1)∞= 0.
Agora veja que se i é uma lacuna em P , então i não é uma ordem de pólo, daí `((i − 1)P )) ≥ `(iP ). Mas como (i−1)P < iP , temos que L((i−1)P ) ⊆ L(iP ) e então `((i−1)P )) ≤ `(iP ), logo só podemos ter L((i − 1)P ) = L(iP ).
Reciprocamente se L((i − 1)P ) = L(iP ) temos que dim `((i − 1)P )) = `(iP ), e assim i é uma lacuna em P . Assim temos seguinte caracterização das lacunas em P :
ié uma lacuna em P ⇐⇒ L((i − 1)P ) = L(iP ). Considere agora a sequência de espaços vetoriais
K = L(0) ⊆ L(P ) ⊆ L(2P ) ⊆ . . . L((2g − 1)P ) (3.2) onde dim L(0) = 1 e dim L((2g − 1)P ) = g pelo teorema3.3.
Como (i − 1)P < iP , pelo lema 2.29temos que
0 ≤dim L(iP ) − dim L((i − 1)P ) = dim (L(iP )/L((i − 1)P )) ≤ igrau P − [(i − 1)grau P ] = 1. Daí `(iP ) − 1 ≤ `((i − 1)P ) para todo i. Assim em3.2temos exatamente g − 1 números 1 ≤ i ≤ 2g − 1 com L((i − 1)P ) ( L(iP ) e então restam g números 1 ≤ i ≤ 2g − 1 com L((i − 1)P ) = L(iP ), isto é restam g números que são lacunas em P .
Finalmente mostraremos que 1 é uma lacuna em P .
Suponha que 1 é uma ordem de pólo de P . Como as ordens de pólos formam um semi-grupo aditivo, todo n ∈ N é uma ordem de pólo e então não existirão lacunas, mas isso é uma contradição, pois g > 0.
De nição 3.10. Um divisor A ∈ Div(F ) é chamado de não-especial se i(A) = 0; caso contrário A é chamado de especial.
Vejamos algumas consequências imediatas desta de nição.
Remark 3.11. (a) A é não especial se, e somente se, dim A = grau A + 1 − g. (b) Se grau A > 2g − 2, então A é não especial.
(c) A propriedade de um divisor A ser especial ou não especial depende apenas da classe [A] de A do grupo de equivalência dos divisores.
(d) Divisores canônicos são especiais.
(e) Qualquer divisor A com `(A) > 0 e grau A < g é especial. (f) Se A é não especial e B ≥ A, então B é não especial.
Demonstração. (a) Segue diretamente da de nição de i(A). (b) Segue do teorema3.3.
(c) Vem do fato de se A ∼ A0
então `(A) = `(A0
) e grauA = grauA0, donde segue que i(A) = i(A0). (d) Para um divisor canônico W temos que i(W ) = `(W ) − grau(W ) + g − 1 mas pelo teorema de Riemann-Roch, grau(W ) = 2g − 2 e `(W ) = g, daí segue que i(W ) = g − (2g − 2) + g − 1 = 2g − 2g + 2 − 1 = 1, logo W é especial.
(e)1 ≤ `(A) = grauA + 1 − g + i(A) ⇒ i(A) ≥ g − grauA > 0 já que grauA < g. Logo A é especial.
Referências Bibliográ cas
[1] H. Stichtenoth. Algebraic Function Fields and Codes, Berlin, Germany: Springer-Verlag, 2008.
Gustavo Franco Marra Domingues
Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduando em Matemática - Programa de Educação Tutorial
gmarra86@ hotmail. com
Walter dos Santos Motta Júnior
Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Professor Titutar
wmotta@ ufu. br
Resumo: O presente trabalho tem como objetivo apresentar um exemplo de uma situação caótica em termos de sistemas dinâmicos discretos. Introduzidos os conceitos de sistemas dinâmicos discretos, órbitas convergentes, divergentes, periódicas e eventualmente periódicas, apresentamos um método de análise grá ca de convergência (via diagramas de Lamerey) e estabelecemos uma condição necessária e su ciente para que uma órbita seja convergente monotônica ou convergente oscilatória. A seguir, aplicamos o Método de Newton a uma equação polinomial de 2ograu sem raízes reais, e obtivemos uma sequência caótica de números reais. Através de algumas
transformações pudemos ver que tal parábola estava relacionada a uma equação da forma f(x) = µx(1 − x), chamada equação logística. A parte nal do trabalho estuda o comportamento de iterações de equações desta família conforme variamos o parâmetro µ de 1 até 4, obtendo convergências, convergências para ciclos e caos. Através de uma esquematização, obtivemos o diagrama de bifurcação, que se trata de um exemplo de uma estrutura fractal.
1 Introdução
Nas últimas décadas, a pesquisa em Matemática direcionou sua atenção para certos fenômenos que rapidamente se popularizaram: caos e fractais. Em 1976, R. M. May chamou a atenção da comunidade cientí ca para as aplicações de equações de diferenças em estudos de dinâmicas populacionais (ver (5)), desenvolvendo uma metodologia que tornou-se popular e foi aplicado em outras áreas (ver (7), (9), (10)). O presente trabalho se propõe a explorar o comportamento caótico de certas relações de recorrência (também chamadas equações de diferenças).