Forças dependentes da velocidade: velocidade limite

dem da velocidade deste corpo. Este é o caso da resistência viscosa exercida sobre um corpo que se desloca em um fluido. A resistência que o ar oferece ao deslocamento dos corpos também se inclui nes- te caso. Aqui não se incluem as forças de atrito de deslizamento ou rolamento entre superfícies sólidas e secas, as quais são aproxima- damente constantes para um dado par de superfícies, havendo uma força normal conhecida entre elas, e dependem da velocidade somen- te quanto ao fato de serem sempre opostas à velocidade. Por outro lado, a dependência das forças resistivas em fluidos e gases com a velocidade só pode ser determinada, para cada situação, por meio de medidas. A experiência mostra que, em geral, estas forças de atrito são proporcionais a alguma potência da velocidade, isto é,

(1.51) _,

onde

b

é uma constante positiva de proporcionalidade e

n

um inteiro positivo. Se

n

é ímpar, usamos o sinal negativo; se

n

é par, devemos

usar o sinal negativo ou positivo de maneira que a força seja sempre oposta à velocidade, realizando trabalho negativo, isto é, convertendo energia mecânica em outra forma de energia (como calor gerado por atrito). A força de atrito que atua sobre um corpo que se desloca em um meio viscoso como o ar ou água é um exemplo de força de arrasto e a constante

b

é, por vezes, chamada de coeficiente de arrasto. As forças de arrasto implicam em efeitos importantes em uma grande variedade de objetos, desde gotas de chuva, bolas de beisebol, até (e principalmente) em aeronaves e embarcações. A constante

b

depen- de essencialmente da geometria do corpo, isto é, depende da área que o corpo oferece à resistência do ar, e da densidade do meio e sua vis- cosidade. Com relação à geometria do corpo, lembre-se da diferença que existe na resistência que o ar oferece à queda de uma caneta e à queda de uma folha de papel. Com relação à densidade do meio, lem- bre-se da resistência que a água oferece ao deslocamento de corpos, que é bem maior que aquela que o ar oferece. Destes fatos, fica claro que é por meio de medidas que obtemos a constante

b

e o valor de

n

. Para o movimento em fluidos, em geral, a força não tem uma forma simples como indicado na equação 1.51, e em cada caso a experiência é que possibilita obtermos informação sobre a força. Para corpos se deslocando no ar, a experiência mostra que, em muitos casos, temos uma boa aproximação para descrever a situação real, com

n =1

ou

2

n =

. Em geral, temos resultados melhores quando descrevemos a força resistiva como a soma de dois termos:

(1.52)

F(v)=−b

₁

v−b

₂

v

2, sendo a velocidade no sentido positivo do eixo

x

. Veja que as constan- tes

b

₁ e

b

₂ têm dimensões diferentes, isto é,

[ ] MTb =

₁ -1 e

[ ] L Mb =

₂ -1 . Observe também que, para baixas velocidades, o termo linear é que domina, ao passo que, para velocidades altas, o termo quadrático do- mina. Para corpos como carros e aviões, as constantes de proporcio- nalidade (coeficientes de arrasto), em cada caso, são obtidas por meio de experimentos em protótipos em túneis de vento.

O

túnel de vento ou túnel aerodinâmico é um equi- pamento que testa a ação do ar sobre um objeto. A velocidade de deslocamento do ar pode ser controlada e é possível controlar também temperatura e pressão do ar, em sistemas mais sofisticados. Esses túneis são cons- truídos sob muitas formas e para diferentes propósitos.

Verifique as dimensões de e .

Nos túneis de vento, são feitos testes com o objetivo de otimizar as características aerodinâmicas de automó- veis e aeronaves. Um túnel de vento pode testar veículos de diferentes pesos e formas e medir as forças de atrito resultantes de um escoamento de ar. Para realizar esse escoamento de ar, existe um ventilador de dimensões apreciáveis (o diâmetro das pás pode ultrapassar os dez metros), que consegue simular ventos equivalentes a ve- locidades superiores a 200 km/h. Alguns túneis têm di- mensões que permitem testar aviões em tamanho real. Túneis de vento onde a velocidade do vento é menor que a velocidade do som são chamados subsônicos, e aque- les onde a velocidade é superior a do som são chama- dos supersônicos. E os que têm velocidade cinco vezes ou mais que a do som são chamados hipersônicos. Em alguns túneis, são estipuladas temperaturas muito bai- xas, a fim de simular condições de grande altitude. Em outros, a temperatura é muito elevada, de maneira a si- mular as condições existentes em um vôo de um míssil no ar. Devido à complexidade da interação escoamento- corpo, a determinação teórica das cargas aerodinâmicas (forças e torques) é, muitas vezes, imprecisa. Apesar do desenvolvimento da aerodinâmica computacional, cer- tas configurações exigem o uso do túnel de vento para a medição das cargas em condições próximas àquelas em que o corpo será utilizado.

Iremos considerar primeiro a solução da equação de movimento para partículas submetidas a forças dadas pela equação 1.51.

Exemplo 2. Considere a situação de um barco cuja velocidade é

v

₀ no sentido positivo do eixo

x

quando se desliga o motor. Esse instante é tomado como

t

₀

=0

e sua posição inicial sendo

x

₀

=0

. Uma outra si- tuação, mas equivalente, é aquela em que colocamos a marcha no pon- to neutro quando um automóvel está a 80 km/h e deslocando-se em uma longa estrada retilínea. Seu movimento subseqüente vai depender da resistência do ar. Toda a energia cinética inicial do automóvel irá se transformar em calor, devido principalmente ao atrito viscoso com o ar, e ele diminui lentamente sua velocidade até atingir o repouso. Veja que a taxa com que diminui a energia cinética é obtida usando-se a equação 1.18, e isto só pode ser feito depois de resolvido o movimento, isto é, conhecendo-se

v(t)

. Vamos resolver a equação de movimento

admitindo que

n =1

, e usando a equação 1.51, temos:

(1.53) ,

que integramos para obter a velocidade,

,

,

.

(1.54)

E, assim,

v→0

somente para

t→∞

, ou seja, o barco (ou o automó- vel) nunca atingirá o repouso em tempo finito. Para obter a posição como função do tempo, integramos a velocidade no tempo,

,

. (1.55)

Logo, apesar de levar um tempo infinito para atingir o repouso, a distân- cia percorrida

x

_p é finita, isto é,

, para

t

→∞

. Embo- ra, de acordo com o resultado acima, equação 1.54, a velocidade nunca se torne efetivamente nula, para tempos suficientemente grandes a velo- cidade torna-se tão pequena que o corpo estará praticamente parado. Mas como explicamos o fato de que, na prática, o barco ou o auto- móvel deste exemplo atingem o repouso num tempo finito? A respos- ta está na dependência da força com a velocidade, isto é, para baixas velocidades o valor de

n

na equação 1.51 é, presumivelmente, me- nor que um (

n<1

). Por quê? Ora, veja o comportamento de

F(v)

em altas e baixas velocidades na figura 1.2, onde temos gráficos de

)

(v

F(v)

v

Figura 1.2 - Força resistiva F(v) versus v para alguns valores de n.

Podemos observar das curvas na figura 1.2 que, para

n<1

, em baixas velocidades, temos forças mais elevadas do que forças com expoente

1

≥

n

. Assim, para valores de

n<1

, as forças resistivas têm intensida- de suficiente para que o corpo acabe percorrendo uma distância finita num tempo finito. Podemos perceber claramente que forças com

n<1

predominam em baixas velocidades. Em geral, um valor muito grande do expoente

n

resulta em um rápido decréscimo inicial da velocidade, mas demorará a atingir o repouso e vice-versa, isto é, um expoente pequeno resulta em um decréscimo gradual da velocidade, mas atinge o repouso mais rapidamente. Portanto, no caso real, temos a indicação de que o expoente

n

deve ser grande para velocidades elevadas, mas torna-se pequeno em baixas velocidades. Você percebe algo de prático nesta conclusão? Não? Pense em automóvel a alta velocidade e cons- tante, digamos a 120 km/h. Neste caso o expoente é maior, por exem- plo,

n=2

, do que quando o veículo está a uma velocidade constante de 80 km/h, quando o expoente é menor, por exemplo,

n=1

. Logo, a força de atrito do ar aumenta muito à medida que

n

cresce e, assim, te- mos um acréscimo no consumo de combustível para manter o veículo com velocidade constante, não só porque a velocidade é mais elevada, mas também porque a força de atrito é agora bem maior.

Em relação aos resultados encontrados para a velocidade e posição, equações 1.54 e 1.55, é importante ressaltar que, se a constante de

proporcionalidade

b

for pequena, podemos obter uma solução apro- ximada para o movimento desde que os intervalos de tempo consi- derados sejam pequenos, isto é, os valores que

t

pode assumir sejam pequenos. Neste caso, podemos expandir as exponenciais nas equa- ções 1.54 e 1.55, usando a expansão para a função exponencial que é fornecida na equação 1.42, obtendo assim:

(1.56) ,

(1.57) . Resultados que expressam a posição e velocidade quando a força é constante. Isto significa que o movimento, nos primeiros intervalos de tempo, pode ser considerado como uniformemente desacelerado, sendo a desaceleração igual , onde _{é o valor inicial e} máximo da força de atrito, pois a velocidade decresce com o tempo. Obviamente, quanto maior o valor da constante

b

, menores devem ser os intervalos de tempo considerados para que as aproximações dadas nas equações 1.56 e 1.57 sejam válidas. Você pode verificar isto fazendo os gráficos da velocidade e posição usando as equações 1.54 e 1.56 e as equações 1. 55 e 1.57.

Exemplo 3. Agora vamos considerar que temos duas forças atuantes em um movimento unidimensional. Uma força constante e uma força dependente da velocidade. Você já deve ter percebido que queremos tratar de um corpo que cai próximo à superfície da Terra e onde le- vamos em conta a resistência do ar. Considerando positiva a direção para cima, escrevemos a equação de movimento,

(1.58) , onde escolhemos uma força resistiva linear na velocidade (

n=1

). Ob- serve que, como o corpo está caindo, a velocidade é negativa. Seja o caso em que o corpo foi largado de certa altura, assim

v

₀

=0

e, com

0

0

=

t

, integramos a equação 1.58: (1.59) , , .

Para intervalos de tempo pequenos, podemos aproximar a função ex- ponencial, de modo que:

(1.60) . Se o intervalo de tempo considerado for muito pequeno , vem , o que significa desprezarmos a resistência do ar nos pri- meiros intervalos de tempo. Após um intervalo de tempo maior ( ), a velocidade atinge um valor limite, isto é,

(1.61) , que se denomina de velocidade limite ou terminal de um corpo em queda livre. Esta é a velocidade máxima que o corpo atinge, e isto acontece porque temos uma força resistiva que cresce com a veloci- dade, de modo que, em certo momento, a força resistiva se equipara à força peso e, logo, pela equação 1.58, vemos que a aceleração torna-se nula e o corpo passa a se mover com velocidade constante, que é a ve- locidade limite. Podemos obter o valor da constante

b

por meio da ve- locidade terminal obtida experimentalmente. Por exemplo, para gotas de chuva, a velocidade limite varia entre 3 a 7 m/s, enquanto que, para uma bola de basquete, ela está em torno de 20 m/s (ou

≈

70 km/h) e, para uma pessoa, a velocidade limite pode atingir a 160 km/h ou mais de 200km/h, dependendo da posição do corpo durante a queda (área que se oferece à resistência do ar). Na figura 1.3, mostra-se a velocida- de (o módulo) como função do tempo (equação 1.59) para três corpos de mesma massa, mas com coeficientes de arrasto diferentes.

v

v

v

L1 L2 L3

v

_L1

_>v

_L2

_>v

_L3

v(t)

b

₁

b

₂

b

₃

> > bb

2 1

b

₃

t

Figura 1.3 - Velocidade como função do tempo para corpos em queda com uma

Tendo-se obtido a velocidade, na equação 1.59, integramos e obtemos a posição como função do tempo, admitindo-se que em

t

₀

=0

, o cor- po foi largado de uma altura

x

₀, isto é:

0 0

´

( )

x t x

dx=

v t dt

∫

∫

, ₀ 0

(1

)

t bt m

mg

x x

e

dt

b

−

−

= −

_∫

−

, (1.62) .

Naturalmente, este resultado vale até o instante em que o corpo atin- ge o solo, isto é,

x=0

. A partir da equação (1.62), você deve perceber que o tempo para o corpo atingir o solo aumenta, mas não é possível expressar o tempo de queda de forma elementar, como no caso em que ignoramos o atrito com o ar, quando o valor para o tempo de queda de um corpo é

g

x

0

2

_.

Você deve analisar os resultados dados nas equações (1.59), (1.61) e (1.62) para concluir que, se a constante

b

(ou coeficiente de arrasto) for grande, a velocidade terminal do corpo é pequena, sendo que ele percorre uma distância pequena até praticamente atingir esta veloci- dade. E, se o coeficiente de arrasto é pequeno, a velocidade limite vai ser alta e o corpo percorre uma distância razoável antes de atingir esta velocidade. Esta é a situação de um pára-quedista, em que, no início, antes de abrir o pára-quedas, o coeficiente de arrasto é pequeno e ele atinge uma alta velocidade terminal, mas quando abre o pára-quedas, a constante de arrasto cresce muito rapidamente, atingindo um valor bem mais elevado, reduzindo drasticamente a velocidade limite e fa- zendo com que o pára-quedista atinja o solo com segurança.

Veja que nossa escolha para

n

, no exemplo 3 feito acima, (

n=1

), nos levou à conclusão que o corpo atinge uma velocidade limite (ou de arrasto) quando em queda livre, o que de fato se verifica pela experi- ência. Mas convém lembrar a você que, para corpos grandes e pesa- dos como no caso de uma pessoa, a experiência mostra que uma descrição mais adequada para o movimento em queda livre é com uma força resistiva (ou força de arrasto) proporcional ao quadrado da velocidade, isto é, . Verifique, a partir da equação de mo- vimento, que neste caso, a velocidade limite de um corpo em queda é

/

L

v

=

mg b

. Lembre-se sempre que é por meio da experiência que se determina qual o melhor modelo para uma força de arraste em cada caso. Convém lembrar que o exemplo 3, resolvido acima, para um corpo em queda, serve igualmente para analisar o movimento de um veículo se deslocando em uma estrada retilínea sobre o qual o motor exerce uma força constante

F

_m e onde a resistência do ar é proporcional à velocidade (ou ao quadrado da velocidade).

Resumo

A Mecânica de Newton fundamenta-se em três leis básicas para o movimento de corpos no espaço. A aplicação destas leis no estudo do movimento dos corpos pressupõe a escolha de um sistema de referên- cia inercial, isto é, que não esteja acelerado. A escolha do referencial inercial é sempre feita de acordo com o problema mecânico abordado. Por exemplo, para o estudo do movimento de projéteis, a superfície da Terra é um ótimo referencial inercial, mas para o estudo do movimen- to planetário, devemos localizar a origem do sistema de coordenadas no Sol. Em uma dimensão, a segunda lei do movimento é:

,

que é conhecida também como teorema do momento linear, cuja for- ma integral é:

,

relacionando a variação no momento linear da partícula com o impul- so transmitido pela força aplicada

F

. O teorema do momento linear permite obter o teorema da energia, na forma diferencial,

,

e a energia cinética se mantém constante somente na ausência de for- ças externas, mas podendo aumentar caso a força esteja no sentido do movimento, ou diminuir se a força é oposta ao mesmo.

Para o movimento em uma dimensão, quando a força depende ape- nas da posição, podemos definir uma função energia potencial,

A força fica expressa pela derivada desta função, . Neste caso, estas forças são ditas conservativas, pois a partir da forma inte- gral do teorema da energia, obtém-se a conservação da energia me- cânica (ou energia total,

E

) isto é,

.

Podemos, sendo conhecido

V(x)

, obter a velocidade como função da posição, o que nos leva à solução integral para

x(t)

:

.

Exercícios

1)

Uma partícula de massa

m

está sujeita à ação de uma força

F= − +kx kx a

3

/

2,

em que

k

e

a

são constantes. Determine

a)

V x( )

e faça um gráfico da energia potencial, especi- ficando os pontos de máximo e mínimo, caso existam, e discuta os tipos de movimento possíveis que a partícula pode executar.

Se a energia mecânica da partícula for

b)

1

2

4

E=

ka

, resolva o mo- vimento pela conservação da energia e determine

x t( )

, assu- mindo que em

t =0

a partícula esteja na origem dirigindo-se para a direita.

Quanto tempo a partícula irá levar para atingir o ponto

c)

x a=

?

Por que ela leva este tempo?

Respostas: a)

( )

1

2

1

( / )

4 2

2

4

V x

=

kx

−

k x a

; b)

(

)

2

k

x atgh

t

m

=

; c) Infinito.

2)

Uma partícula de massa

m

acha-se sob a ação de uma força cuja energia potencial é:

_{V x( )=ax bx}

2

₋

3_,

Faça um gráfico da energia potencial, especificando pontos de a)

máximo e mínimo, caso existam, e determine os movimentos possíveis que a partícula pode realizar.

Considere que a partícula esteja na origem com velocidade

b)

v

₀

(para a direita ou para a esquerda), mostre que, se

v

₀

<v

_c, onde

2 ( / ) 2 /3

3

c

v

=

a b

ma

, a partícula permanecerá confinada à re- gião próxima da origem.

3)

Uma partícula de massa

m

, cuja posição inicial é

x t(

=0)=x

₀, é atraída para a origem das coordenadas por uma força dada por: 2 3

mk

F

x

= −

, onde

k

é uma constante.

Usando a conservação da energia mecânica, ou resolvendo di- a)

retamente a equação de movimento, determine a velocidade como função da posição,

v x( )

.

Calcule o tempo que a partícula leva para atingir a origem das b) coordenadas. Respostas: a) _{2 2} 0

1

1

v

k

x

x

= −

−

; b)

t x k=

₀2

/

.

4)

Uma partícula se desloca em um meio resistivo que exerce uma força dada por:

3 4

F

= −bv

,

onde

b

é o coeficiente de arrasto. Admita que em

t =0

, a posição da partícula seja a origem das coordenadas e que ela esteja se deslocan- do da esquerda para a direita com velocidade

v

₀.

Calcule a velocidade como função do tempo, escrevendo-a em a)

termos do tempo, que a partícula leva até parar.

Determine a posição como função do tempo e a distância per- b)

Respostas: a)

v v=

₀

(1 / )−t t

_p 4;

t

_p

=4mv

1/ 4₀

/b

; b)

x x=

_p

_1 (1 / )− −t t

_p 5

_

; Distância percorrida 5/ 4 0

4

/ 5

p

x

=

mv

b

.

5)

Um meio resistivo se opõe ao movimento de uma partícula de massa

m

com uma força:

F= −mk v a v(

3

+

2

)

,

onde

k

e

a

são constantes. Admita que a partícula tenha velocidade

0

v

(para a direita) quando está na origem das coordenadas

(x =

₀

0)

. Use a equação de movimento para determinar a velocidade a)

como função da posição.

Que distância a partícula percorre até parar? Qual é a distância b)

máxima que esta partícula pode percorrer?

Respostas. a) 0 0

(

)

1

(

)

v atg kax

v

v tg kax

a

−

=

+

; b) ₀ 2 2 0

1

_{( / )}

1

1

1

/

p

x

arctg v a

arcsen

ka

ka

_{a v}

=

=

+

; 0 p

₂

v

x

ka

π

→ ∞ ⇒

→

.

6)

Um motor a jato desenvolve uma impulsão constante máxima

F

₀, sendo usado para impulsionar um avião submetido à força de atrito proporcional ao quadrado da velocidade.

Escreva a equação de movimento e diga qual é a velocidade a)

limite.

Se o avião iniciar seu movimento em

b)

t =0

com velocidade ini-

cial nula e acelerar à impulsão máxima, determine a sua veloci- dade como função do tempo.

Oscilações

2

No documento 248448733 Mecanica Geral (páginas 33-47)