Oscilador harmônico simples

Vamos tratar aqui da aproximação parabólica para a energia poten- cial, considerando pequenas amplitudes de oscilação, isto é, reduzi- mos a equação 2.2 a

V x( )=kx

2

/ 2

(relação matemática já conhecida por você). O protótipo do oscilador harmônico simples é o sistema massa-mola, no qual, inicialmente, despreza-se qualquer atrito e a força restauradora é linear. Medimos a posição

x

a partir da posição de equilíbrio; assim, para uma mola de constante

k

e sendo

m

a massa do corpo, escrevemos a equação de movimento,

ou

(2.5) ••

x+

₀2

x=0

, onde

 =

2₀

k m/

é a freqüência angular natural de oscilação do sis- tema (ou freqüência característica do sistema). A equação 2.5 é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A ordem de uma equação diferencial é a da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Ela é dita linear por não conter termos com potências maio- res que um na variável independente

x

ou em suas derivadas. Logo, o tipo mais geral de equação diferencial linear de ordem

n

é:

(2.6) 1 1 1 1 0

( )

+

−

( )

−−

+ +...

( )

+

( )

=

( )

n n n n n n

d x

d x

dx

a t

a t

a t

a t x b t

dt

dt

dt

,

e esta equação é dita homogênea se

b( =t)

0

; caso contrário, é não- homogênea. Equações diferenciais lineares são importantes porque descrevem o comportamento de muitos sistemas físicos e existem métodos gerais para resolvê-las, particularmente quando os coefi- cientes

a

_n são constantes. É fácil observar que a equação 2.5 é um caso particular da equação 2.6, com

n=2

,

a

₂

=1

,

a

₁

=0

e

a

₀

=

₀2.

Como iremos nos deparar com equações diferenciais lineares de segunda ordem na solução de inúmeros problemas de mecânica, vamos resumir algumas propriedades das soluções destas equações:

A

solução geral de qualquer equação de segunda or- dem depende de duas constantes arbitrárias. Sejam 1

C

e

C

₂ estas constantes, assim escrevemos a solução na forma

x =

x(t;C

₁

,C

₂

)

.

- Se

x

₁

(t)

é uma solução qualquer da equação diferen- cial homogênea, então

Cx t

₁

( )

é também solução desta equação.

- Se

x

₁

(t)

e

x

₂

(t)

são soluções de uma equação diferen- cial linear, então a soma

x

₁

(t)+x

₂

(t)

ou qualquer com- binação linear

C

₁

x

₁

(t)+C

₂

x

₂

(t)

é também solução.

A última propriedade decorre exatamente da linearidade da equação diferencial. O fato de a superposição (ou combinação linear) de duas soluções também ser solução é denominado de princípio de su- perposição. Assim, sistemas físicos que são regidos por equações

lineares satisfazem o princípio de superposição. Mais adiante, discu-

É importante que você faça uma revisão das equações lineares de segunda ordem estudadas na disciplina Cálculo III. No estudo da mecânica, você observará várias aplicações das equações diferenciais.

tiremos com detalhes este princípio. A maioria dos fenômenos físicos é regida por equações lineares. Um exemplo: quando você calcula o campo elétrico devido a duas cargas pontuais, você soma os cam- pos de cada carga. Por quê? Porque as equações que regem os cam- pos eletromagnéticos são equações diferenciais lineares. Um contra exemplo: na explosão de uma granada, as ondas sonoras são regidas por equações não-lineares e não vale o princípio da superposição de ondas quando duas granadas explodem próximas.

A solução da equação de movimento (equação 2.5) foi obtida no capí- tulo 1, usando-se a conservação da energia. A solução encontrada foi (veja equação 1.50):

(2.7)

x t( )=

Asen(

₀

t+)

,

onde

 ≡y

₀ é denominada de fase inicial. Aqui, as duas cons-

tantes arbitrárias,

C

₁ e

C

₂, são expressas por meio da amplitude

k

E

A=

2

/

(que é o deslocamento máximo e depende da energia total) e a fase inicial

 ≡

. O período do movimento (

y

₀

T

) é o tempo necessário para que ocorra um ciclo completo do movimento, e as- sim,

T

=2 / 

₀

=2

m k/

. Para o movimento harmônico simples, o período das oscilações não depende da amplitude e dizemos que o movimento é isócrono. Isto quer dizer que dois ou mais oscila-

dores iguais, oscilando com diferentes amplitudes, têm todos a mes- ma freqüência e as oscilações são isócronas. Mais adiante, veremos que as oscilações de um pêndulo simples são isócronas apenas para pequenas amplitudes. Ou seja, em geral, no movimento oscilatório o período depende da amplitude. Naturalmente, podemos verificar que a solução dada na equação 2.7 satisfaz a equação de movimento (equação 2.5), pois podemos obter a velocidade e a aceleração:

v x= =

•



₀

Acos(

₀

t+)

,

a x= = −

••



₀2

Asen(

₀

t+)= −

₀2

x

.

Substituindo a relação anterior na equação 2.5, vem:

−

₀2

Asen(

₀

t+)+

₀2

Asen(

₀

t+) 0=

.

Vale observar que podemos escrever a solução

x(t)

(equação 2.7) em termos das constantes

C

₁ e

C

₂, para isto reescrevemos a função seno da equação 2.7:

Caso tenha alguma dúvida em relação à equação 2.7, retorne ao capítulo 1 e analise a equação 1.50

x A=

sen

₀

tcos+Acos

₀

tsen

, ou,

(2.8)

x C=

₁

sen

₀

t C+

₂

cos

₀

t

, onde você pode identificar que:

(2.9)

A=

C

₁2

+C

₂2 , (2.10) 2 1

C

tg

C

 =

.

Ficando a nosso critério expressar a posição como função do tempo no movimento harmônico simples pela equação 2.7 ou equação 2.8. Existe uma outra maneira de você resolver equações diferenciais de

segunda ordem lineares com coeficientes constantes (e que será útil mais adiante), para isto você deve procurar soluções na forma expo- nencial, isto é, soluções do tipo:

(2.11)

x e=

t,

onde omitimos as constantes pois não são necessárias agora. Deri- vando a solução 2.11, você encontra:

_x

•

_=e

t_, ••

_x=

2 

_e

t_,

Substituindo a solução na equação 2.5, vem: (2.12)

(_

2

_−

2₀

)_e

t

₌0

_.

Como para qualquer

t

finito,

_e

t

_≠0

_{, logo:}

(2.13)

i

₀

i

k

m

λ = ± ω = ±

. Assim, a solução geral é a combinação das soluções encontradas com as raízes



₁

= +i

₀ e



₂

= −i

₀, isto é:

(2.14) 0 0

1  2 −

=

i t

+

i t

x A e

A e

,

onde

A

₁ e

A

₂ são constantes complexas. Note que a solução física será a parte real ou a parte imaginária da equação 2.14. Esta solução pode ser escrita de outra maneira, mas completamente equivalente, isto é, (2.15)

x Ae₌

±i t( + )_.

Lembrando agora a fórmula de Euler para números complexos escri- tos na forma trigonométrica,

e

±i

=cos±isen

, a solução

x(t)

é, então,

(2.16)

x A=

cos(t+)±iAsen(t+)

,

onde tanto a parte real como a imaginária satisfazem a equação dife- rencial para o movimento, como você mesmo pode verificar. Portanto, pode-se escolher como solução tanto uma como outra, pois entre as funções seno e co-seno existe apenas uma diferença de fase de

/ 2

. A solução única para um determinado problema será obtida com as condi- ções iniciais. Isto é, devemos especificar a posição e a velocidade iniciais para obtermos as constantes

A

e  para uma dada situação.

Uma vez determinado o movimento do oscilador harmônico, pode- mos explicitar a maneira como as energias, cinética e potencial, va- riam no tempo. Com a solução

x A=

sen(

₀

t+)

, vem, para a ener- gia cinética:

(2.17) ,

e, para a energia potencial,

(2.18)

1

2

1

2

sen (

2 ₀

)

1

2 2₀

sen (

2 ₀

)

No documento 248448733 Mecanica Geral (páginas 50-54)