248448733 Mecanica Geral

Mecânica Geral

Carlos A. Kuhnen

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K96m

Kuhnen, Carlos A.

Mecânica Geral / Carlos A. Kuhnen - Florianópolis : UFSC/EAD/ CED/CFM, 2009.

275p.

ISBN 978-85-99379-46-2

1. Física. 2. Mecânica. I. Título.

Sumário

Apresentação ... 7 1 Mecânica Newtoniana ... 9 Introdução ...11 1.1 Espaço e Tempo ...12 1.2 As Leis de Newton ...15

1.2.1 Primeira lei e referenciais inerciais ...17

1.2.2 Segunda e terceira leis: massa e força...18

1.3 Movimento em uma Dimensão ... 22

1.3.1 Teorema do momento linear e da energia ... 22

1.3.2 Força constante e força dependente do tempo ... 25

1.3.3 Forças dependentes da posição: energia potencial ...26

1.3.4 Forças dependentes da velocidade: velocidade limite ... 33

2 Oscilações ... 45

2.1 Oscilações lineares e não-lineares ...47

2.2 Oscilações lineares ... 50

2.2.1 Oscilador harmônico simples ... 50

2.2.2 Oscilador harmônico amortecido ... 55

2.2.3 Energia do oscilador amortecido ... 62

2.2.4 Fator de qualidade ... 64

2.3 Oscilador harmônico forçado ... 65

2.3.1 Amplitude das oscilações e ressonância ... 68

2.3.2 Potência e dissipação da energia mecânica ...72

2.4 Analogias entre oscilações mecânicas e elétricas ...75

2.5 Princípio de superposição ...77

2.6 Oscilações não-lineares ...79

2.6.1 Sistema não-linear simétrico ... 80

3 Movimento em Duas e Três Dimensões ... 91

Introdução ...93

3.1 Cinemática no Plano ... 94

3.1.1 Coordenadas retangulares ...94

3.1.2 Coordenadas polares ...96

3.1.3 Cinemática em três dimensões ... 99

3.2 Elementos de Cálculo Vetorial ... 99

3.2.1 Integral de Linha ... 99

3.2.3 Divergente ...105

3.2.4 Rotacional ...106

3.3 Teoremas do Momento Linear e da Energia ...108

3.4 Teorema do Momento Angular ... 110

3.5 Movimento de Projéteis ... 112

3.6 Energia potencial ...121

4 Força Central ... 137

4.1 Forças Centrais ...140

4.2 Movimento sob a Ação de uma Força Central ...143

4.3 Força Central Inversamente Proporcional ao Quadrado da Distância ...154

4.4 As Leis de Kepler para o Movimento dos Planetas ...165

4.5 Força do Inverso do Quadrado Repulsiva – O Problema de Rutherford ... 176

5 Dinâmica de um Sistema de Partículas ... 185

5.1 Conservação do Momento Linear ...187

5.2 Conservação do Momento Angular ...193

5.3 Conservação da Energia ...199

5.4 Sistemas de Massa Variável ...201

5.5 Colisões entre Dois Corpos ... 211

5.6 O Problema de Dois Corpos ...220

6 Sistemas de Coordenadasem Movimento ... 233

6.1 Referenciais Inerciais e Não-inerciais ... 235

6.2 Sistemas de coordenadas em rotação ...244

6.3 Dinâmica em Sistemas em Rotação ...251

6.4 Efeitos Estáticos e Dinâmicos devido à Rotação da Terra ...257

6.4.1 Efeitos estáticos...257

Apresentação

O presente texto aborda a Mecânica de Newton em um contexto que pressupõe o conhecimento prévio do cálculo diferencial e integral permitindo que se aplique a mecânica newtoniana em situações como o movimento de foguetes e de plane-tas em suas órbiplane-tas. Os assuntos tratados estão distribuídos em seis capítulos.

No capítulo 1 são discutidas as leis de Newton e seus limites de aplicabilida-de. A partir daí desenvolve-se a dinâmica de uma partícula em uma dimen-são considerando-se forças dependentes do tempo, forças dependentes da posição e forças dependentes da velocidade.

O capítulo 2 trata das oscilações lineares e não lineares de sistemas mecânicos. Em oscilações lineares são discutidos o oscilador harmônico, o oscilador amor-tecido e oscilador forçado onde discute-se ressonância. É apresentada a equiva-lência entre sistemas oscilantes elétricos e mecânicos. Resolvem-se exemplos simples de oscilações não lineares pelo método das aproximações sucessivas.

A dinâmica de uma partícula em duas e três dimensões é desenvolvida no capítulo 3. Aplica-se o teorema do momento linear, o teorema do trabalho-energia e o teorema do momento angular no movimento de uma partícula em duas e três dimensões. O movimento de projéteis é analisado incluindo-se a resistência do ar. Define-incluindo-se a função energia potencial para o movimento no espaço e identificam-se forças conservativas e não conservativas.

O capítulo 4 trata do importante caso de forças centrais onde se introduz a função energia potencial efetiva para a análise qualitativa e quantitativa do movimento. É tratado o caso da força central inversamente proporcional ao quadrado da distância e sua aplicação ao movimento dos planetas. As leis de Kepler são obtidas. Como exemplo de uma força central repulsiva abordamos o espalhamento de Rutherford e o surgimento do modelo nuclear do átomo.

A dinâmica de um sistema de partículas é tratada no capítulo 5. Os teoremas do momento linear e do momento angular e da energia são estendidos para o caso de um sistema de N partículas. O movimento de sistemas com massa variável é abordado e aplicam-se os princípios de conservação do momento linear e da energia para a solução de problemas envolvendo a colisão entre dois corpos.

O capítulo 6 apresenta a aplicação da mecânica de Newton em sistemas de coordenadas em movimento uniforme (referenciais inerciais) e em movimen-to acelerado (referenciais não inerciais). Discute-se o princípio da relativida-de Newtoniana e explicitam-se as transformações relativida-de Newton-Galileu entre referenciais inerciais. O movimento descrito a partir de um referencial não inercial é analisado em termos de forças inerciais (ou fictícias). Os efeitos estáticos e dinâmicos devido a rotação da terra são explorados.

Com os assuntos tratados da forma exposta acima se pretende aprofundar a compreensão dos princípios fundamentais da mecânica aliando-se técnicas matemáticas mais avançadas de modo a tratar o formalismo da teoria e a resolução de problemas físicos sob um ponto de vista mais abrangente

Mecânica Newtoniana

1

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Mecânica Newtoniana

Este capítulo tem como objetivo apresentar os princípios básicos da mecânica de Newton e sua aplicação no estudo do movimento de uma partícula em uma dimensão. Ao final do mesmo, o aluno deverá ser capaz de:

Enunciar as leis de Newton; •

Reconhecer os limites de aplicabilidade da mecânica •

newtoniana;

Aplicar o teorema do momento linear e o teorema do •

trabalho-energia na solução de problemas;

Descrever qualitativamente o movimento unidimen-•

sional de uma partícula, conhecida a sua função energia potencial;

Obter a solução da equação de movimento unidi-•

mensional, pela conservação da energia mecânica, quando a força depende apenas da posição;

Introdução

A evolução da vida em nosso planeta propiciou o surgimento do ho-mem, ser dotado de uma mente investigadora com uma grande curio-sidade sobre fenômenos naturais. No início, suas únicas fontes de in-formação eram os seus sentidos e, conseqüentemente, ele estabeleceu uma classificação para os fenômenos observados de acordo com os sentidos empregados para percebê-los. O ato de ver foi relacionado à

MECÂNICA NEWTONIANA

LEX I - Corpus omne perseverare in statu suo quiescen-di vel movenquiescen-di uniformiter in quiescen-directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mature.

LEX II - Mutationem motus proportionalem esse vi mo-trice impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

LEX III - Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.

luz e, como resultado, desenvolveu-se a óptica como uma ciência

pra-ticamente independente relacionada à visão. Já a audição foi associada ao som e, assim, desenvolveu-se a acústica como ciência correlata. Da mesma maneira, a sensação física de calor deu surgimento à

termodi-nâmica, que permaneceu um longo tempo como um ramo autônomo da

física. Mas, seguramente, o mais comum dos fenômenos observados

diretamente é o movimento, e a ciência do movimento, isto é, a

mecâ-nica, foi desenvolvida antes dos demais ramos da física. O movimento

dos corpos celestes, de corpos em queda, as ondas do oceano, o vôo dos pássaros, as rajadas de vento, a corrida dos animais, são exemplos simples de fenômenos de movimento. O movimento dos corpos e suas causas foi objeto de investigação do homem desde os filósofos gregos na antiguidade, e as idéias de Aristóteles (384-322 aC), sobre o movimento dos corpos prevaleceram durante quase vinte séculos. O pensamento Aristotélico foi demonstrado como errôneo somente após os trabalhos e as idéias de Galileu Galilei (1564-1642) e Sir Isaac Newton (1642-1727), que desenvolveram uma abordagem para estudar o movimento dos cor-pos que conhecemos como a mecânica clássica. Esta abordagem mu-dou definitivamente a maneira com que descrevemos o movimento dos corpos. O desenvolvimento da mecânica foi um passo essencial para nosso entendimento de uma extensa gama de fenômenos físicos, pois praticamente todos os processos imagináveis têm como origem o movi-mento de certos objetos. Em nosso sistema solar, a Terra e os planetas movem-se em torno do Sol e o conjunto de estrelas que formam nossa galáxia gira em torno de seu centro. Os elétrons, em movimento nos átomos, dão origem à absorção e emissão de luz e seu movimento num metal produz corrente elétrica. As moléculas em movimento em um gás dão origem à pressão e, numa reação química, as colisões entre molé-culas produzem novas molémolé-culas, apenas para citar alguns exemplos. A mecânica clássica é devida, em grande parte, ao gênio de Isaac Newton, que sintetizou a mecânica por meio do que chamamos de princípios de Newton ou as leis de Newton da mecânica. E a ela nos referimos como mecânica newtoniana. Mas a mecânica tal como atualmente está es-truturada deve-se também às contribuições iniciais de homens como Arquimedes, Galileu, Descartes, Huygens, bem como às contribuições posteriores de homens como Lagrange, Hamilton, Mach e Einstein. Nes-te curso, desenvolvemos a dinâmica de uma partícula e de um sisNes-tema de partículas com a mecânica newtoniana, explicitando suas aplicações e limitações, sem abordar as formulações de Lagrange e Hamilton da mecânica clássica nem a formulação relativística de Einstein.

1.1 Espaço e Tempo

mente, estes conceitos são vitais para o desenvolvimento da ciência denominada Mecânica Clássica e foram definidos nas primeiras pági-nas da obra de Sir Isaac Newton, Princípios Matemáticos de Filosofia Natural (Philosophie naturalis principia mathematica), em 1687:

O

Espaço absoluto em sua própria natureza, sem relação com qualquer coisa externa, permanece sempre similar e imóvel.

O Tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mes-mo e da sua própria natureza, flui uniformemente sem relação com qualquer coisa externa e é também chama-do de duração.

Estes conceitos de espaço e tempo absolutos foram questionados desde então. As primeiras críticas foram lançadas por Gottfried Wi-lhelm Leibniz e George Berkeley, já na época da publicação da obra de Newton. Para Berkeley, apesar de ser admirador de Newton, o espaço e o movimento absoluto poderiam ser substituídos pelo sistema de estrelas fixas no céu e pelo movimento relativo a este sistema, sem que nada de importante se perdesse na teoria newtoniana. Ademais, tanto Leibniz como Berkeley criticaram a associação estabelecida por Newton entre Deus e o espaço absoluto. As críticas de maior influ-ência à mecânica Newtoniana viriam em fins do século XIX, com o físico e filósofo austríaco Ernst Mach (1838-1916). Mach, cujas idéias influenciaram o ensino da Mecânica, em seu tratado, A ciência da

Me-cânica – Uma Apresentação Crítica e Histórica do seu desenvolvimento (The Science of Mechanics: A Critical and Historical Account of Its Deve-lopment), publicado inicialmente em 1883, critica os conceitos

Newto-nianos de espaço e tempo absolutos. Em sua obra, Mach argumenta que Newton havia contradito sua intenção de não aceitar em uma teoria científica nada que não pudesse ser inferido diretamente do ‘fenômeno observável’ ou induzido a partir da argumentação.

L

eia novamente as definições de tempo absoluto e espa-ço absoluto e perceba que o termo “sem relação com qualquer coisa externa” nos afirma que não pode ser ob-servado, e que também não podemos chegar à conclusão de sua existência a partir de argumentos, pois não temos onde assentar ou justificar qualquer argumento que seja.

Apesar de o próprio Newton ter plena consciência das dificuldades introduzidas pelas concepções de espaço absoluto e de tempo abso-luto e do embate filosófico que se seguiu, você sabe que a mecânica de Newton permite predizer com precisão, como uma ciência exata que é, o movimento futuro dos corpos, dado que conhecemos as con-dições iniciais e as forças atuantes sobre estes corpos. A mecânica newtoniana vem sendo aplicada com sucesso no transcorrer dos últi-mos três séculos, possibilitando desde a previsão teórica da existên-cia de planetas no nosso sistema solar até ao lançamento de satélites em órbita da Terra. A mecânica de Newton possibilitou ao homem ir à Lua e enviar robôs controlados a Marte. Neste curso de mecânica, vamos tratar do movimento dos corpos no espaço e tempo absolutos no sentido Newtoniano. Isto significa que não iremos considerar a Teoria Especial da Relatividade de Albert Einstein, em que o conceito de Tempo Absoluto deixa de existir estando as coordenadas espaciais e temporais conectadas de modo que, em vez de nos referirmos a es-paço e tempo, devemos entender que o existente é um eses-paço-tempo contínuo (ou seja, algum tipo de união entre espaço e tempo é que tem realidade independente).

Antes de prosseguir, devo lembrar que este é um curso de mecânica mais avançado e, por conseguinte, considero que você já tenha os con-ceitos de grandezas escalares (como comprimento, massa, tempo, tem-peratura e pressão) e grandezas vetoriais (como velocidade, aceleração, força, torque, momento linear e momento angular), bem como saiba pro-dutos escalar e vetorial, diferenciação e integração de vetores. Também considero que você tenha de forma clara o conceito de partícula.

L

embre-se, um corpo pode ser considerado como par-tícula desde que possamos ignorar a sua estrutura interna ou seus movimentos internos. Exemplo é a Ter-ra, que tem uma estrutura e movimento de rotação em torno de um eixo, mas que em seu movimento em torno do Sol, pode ser tratada como uma partícula. Porém, de-vemos levar em conta que ela é um corpo extenso para entendermos o fenômeno das marés, que decorre de sua interação gravitacional com a Lua. Algumas vezes, é possível tratar um corpo complexo como uma partícula, se todas as partes do corpo movimentam-se da mesma forma, como um bloco atado a uma mola, ou um auto-móvel em movimento.

Sugiro que, antes de começar o estudo desta disciplina, você leia os livros Física Básica A e B para revisar alguns conceitos importantes da mecânica.

Neste curso, primeiro abordamos a dinâmica de uma partícula e, pos-teriormente, aplicamos as leis de Newton a um sistema de partículas.

1.2 As Leis de Newton

Em disciplinas anteriores, você teve contato com as idéias de Aristó-teles, o pensamento de Descartes e a contribuição de Galileu, no que se refere ao estudo do movimento de corpos. Entretanto, foi Newton quem, com clareza, estabeleceu as leis do movimento, fazendo sur-gir uma nova forma de percebermos o mundo e jogando por terra as idéias de Aristóteles, as quais se assentavam em poderosos argumen-tos lógicos e perduraram por quase 20 séculos. Em sua obra publica-da em 1687, o Principia Mathematica, a que já nos referimos, Newton formulou de maneira completa as três leis da mecânica, as quais po-demos enunciar de forma breve e concisa como segue:

Observe que, na segunda lei, a quantidade física de interesse é o mo-mento linear que é a grandeza associada ao produto da massa pelo vetor velocidade da partícula. Veja que, desta maneira, podemos con-siderar sistemas onde a massa é variável, sendo um bom exemplo o movimento de um foguete, assunto que iremos tratar no capítulo 5. Quando consideramos um corpo de massa constante, a segunda lei nos fornece a força como o produto da massa pela aceleração, sendo esta a maneira como a segunda lei é enunciada nos cursos iniciais de mecânica. Você deve perceber que Newton não descobriu que a força é o produto da massa pela aceleração, mas o que ele descobriu foi que as leis da física podem ser expressas mais facilmente através do conceito de força definido desta maneira (produto da massa pela aceleração). E as leis da física referem-se então às forças gravitacional, eletromagnética, fraca e nuclear, que são as quatro forças fundamen-tais conhecidas e nas quais nos baseamos para explicar os

fenôme-I – Todo corpo permanece em estado de repouso ou de movimento uniforme, em linha reta, a menos que seja obrigado a mudá-lo por forças aplicadas a ele.

II - A taxa de variação do momento linear é proporcional à força aplicada, e na direção em que a força age.

A emissão beta, desintegração beta ou decaimento beta é o processo pelo qual um núcleo atômico instável pode se transformar em outro núcleo mediante a emissão de uma partícula beta. A partícula beta pode ser um elétron ( ) ou um pósitron , que é o anti-elétron, ou seja, tem a mesma massa do elétron e carga positiva.

nos físicos existentes no Universo observável. Assim, temos uma lei de força para a atração entre dois corpos (força gravitacional), uma lei de força para a força entre cargas (lei de Coulomb) e assim por diante. A procura da unifi cação das forças fundamentais em uma só já levou à unifi cação das forças eletromagnética e fraca, no que se denomina de força eletrofraca, sendo a força fraca responsável, por exemplo, pelo decaimento em reações nucleares.

As leis de Newton do movimento podem ser pensadas como uma pres-crição para calcularmos ou predizermos o movimento subseqüente de uma partícula (ou sistema de partículas) a partir do conhecimento da posição e da velocidade em um certo instante, que geralmente é tomado como o instante inicial. Isto é, conhecendo-se a força atuante sobre uma partícula (ou sistema de partículas), a sua posição e ve-locidade iniciais, pode-se predizer de forma precisa seu movimento futuro. Com Newton, a mecânica se estrutura solidamente como uma ciência exata, e sua aplicação com resultados precisos em situações práticas de estática, movimento de corpos na superfície da Terra e movimento dos corpos celestes, mostrou sua validade de maneira triunfal. Mas deve estar claro para você que a mecânica de Newton não se aplica sem restrições a todos os fenômenos físicos. Basta você lembrar o caso de um gás e de quantas partículas temos em questão. Está claro que não podemos resolver as equações de movimento para este sistema e calcular as coordenadas de todas as partículas do gás como função do tempo. Este problema é abordado corretamente com a mecânica estatística. Também não podemos aplicar a mecânica newtoniana para explicar a estrutura eletrônica dos átomos e molé-culas ou explicar as contribuições eletrônicas para as propriedades físicas dos sólidos. Somente após os trabalhos iniciais de Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr e as contribuições posteriores de Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg e Max Born, que culminaram no desenvolvimento da mecânica quântica no início do século XX, foi possível alcançar um entendimento da estrutura atô-mica da matéria. Ademais, não podemos aplicar a mecânica newto-niana para estudar o comportamento de partículas extremamente energéticas, como em um acelerador de partículas, cujas velocidades chegam a ser próximas à da luz. Neste caso, devemos empregar a teoria especial da Relatividade, pois os efeitos relativísticos são agora apreciáveis, o que não acontece para baixas velocidades, pois neste caso a relatividade restrita se reduz à mecânica newtoniana. Veja que o mesmo se sucede com a teoria da Gravitação de Newton. Por exem-plo, dela não podemos concluir sobre a existência de buracos negros nas galáxias, ao passo que a teoria Geral da Relatividade prevê a exis-tência dos mesmos. Isto deixa claro que, à medida que crescia nossa

capacidade de investigação durante os séculos XIX e XX e aumentava nossa compreensão do micro e macrocosmo, surgiam novas teorias mais gerais e abrangentes. Lembre-se, apesar das suas limitações, a mecânica de Newton é a base sólida sobre a qual se ergueram as no-vas teorias físicas no início do século XX.

1.2.1 Primeira lei e referenciais inerciais

A primeira lei da mecânica Newtoniana descreve uma propriedade comum a toda matéria, que denominamos de inércia, isto é, a resis-tência que toda matéria oferece para alterar seu estado de movimen-to. Ou seja, se um corpo está em repouso em relação a você, é neces-sária a aplicação de uma força para movimentá-lo e, se o corpo está em movimento, é necessária uma força para colocá-lo em repouso. Portanto, o corpo não muda seu estado de repouso ou movimento uniforme por si só, uma força é necessária para que mude o seu es-tado de movimento. Obviamente, quando especificamos o eses-tado de movimento de um corpo, devemos ser precisos em relação ao sistema de referência utilizado. Uma descrição matemática do movimento de uma partícula (ou sistema de partículas) requer um referencial, e ado-tamos um sistema de coordenadas que permite especificar o vetor po-sição da partícula. Os referenciais onde valem as leis de Newton são ditos referenciais inerciais e, portanto, são referenciais que ou estão em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, pois em referen-ciais acelerados, o observador irá atribuir uma aceleração para uma partícula que esteja em repouso quando observada de um referencial inercial. A descrição do movimento de uma partícula a partir de refe-renciais não inerciais será efetuada no capítulo 6.

Aqui é importante lembrarmos que a essência da primeira lei é que sempre podemos encontrar um referencial em relação ao qual um corpo isolado mova-se com velocidade uniforme. Isto é, a primeira lei nos assegura a existência de referenciais inerciais. Mas os referen-ciais inerreferen-ciais, onde valem as leis de Newton, estão em repouso em relação a quê? Estão em movimento retilíneo uniforme em relação a quê? Vimos que, de início, Newton definiu o espaço e tempo e assim, para ele, os referenciais inerciais são aqueles que estão em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação ao espaço absoluto. Como não podemos inferir o espaço absoluto de Newton de qualquer coisa observável ou de argumentação lógica, podemos aceitar ou não a idéia de Newton de espaço absoluto, pois como primeiro observou Berkeley, você pode substituir o espaço absoluto pelo sistema de es-trelas fixas no céu e nada se altera na mecânica de Newton. Mas sabe-mos que a estrelas não estão fixas no céu, e então podesabe-mos perguntar se existe um referencial inercial perfeito. Para a maioria das situações

práticas, um referencial fixo na superfície da Terra é aproximadamen-te inercial. Isto decorre da baixa velocidade angular da Terra, mas, como veremos no capítulo 6, em várias situações somos forçados a levar em conta que um referencial fixo na Terra não é inercial, devido a sua rotação. Uma escolha melhor é um referencial cuja origem coin-cida com o centro da Terra, entretanto, neste caso também não temos um referencial exatamente inercial, pois a Terra está acelerada em seu movimento orbital em torno do Sol. Claro que um referencial cuja origem se localiza no Sol é um excelente referencial inercial, porém nossa estrela participa do movimento de rotação de nossa galáxia (a via-láctea) executando um movimento de rotação em torno do cen-tro da galáxia com um período de aproximadamente 200 milhões de anos. Na busca de um referencial inercial perfeito, podemos escolher um cuja origem esteja no centro de nossa galáxia. Mas nosso objeti-vo não é alcançado, pois a via-láctea faz parte de um grupo local de galáxias, cuja vizinha mais próxima é Andrômeda, e que giram em torno do centro de massa. Este grupo local de galáxias faz parte de um grande agrupamento de galáxias (a Constelação de Virgem), cujo centro dista 60 milhões de anos-luz da terra e que também tem um movimento de rotação! Assim, não encontramos no Universo um re-ferencial inercial perfeito. Podemos acreditar que o melhor rere-ferencial é aquele que tem como referência a distribuição de galáxias muito distantes, substituindo a antiga proposta de Berkeley, que tomava as estrelas “fixas” como referência. Mas mesmo galáxias muito distantes têm movimento acelerado e, assim, a melhor definição a que podemos chegar é, segundo Mach, que um referencial inercial é aquele em que a matéria do Universo não é, em média, acelerada, isto é, sistemas de coordenadas inerciais são os que se encontram em repouso, ou pelo menos não sofrem aceleração, em relação à média do movimento da matéria no Universo. Logicamente, nas aplicações práticas da mecâ-nica de Newton, não necessitamos resolver questões filosóficas como a existência ou não de um referencial inercial perfeito, ou acerca da existência ou não de um espaço absoluto. Mas fica claro que devemos sempre escolher um referencial inercial adequado a cada situação, como veremos durante este curso.

1.2.2 Segunda e terceira leis: massa e força

A medida quantitativa da inércia de um corpo é o que se denomina de massa. Nós estamos familiarizados com a noção de que quanto mais massivo um objeto, maior é sua resistência à aceleração. Existe uma diferença muito grande entre empurrar uma bicicleta e um carro – compare os esforços em cada caso. Pela experiência, sabemos que os movimentos dos corpos são controlados pela maneira como eles interagem com sua vizinhança. Quando empurramos um objeto

so-bre uma superfície rugosa, o atrito faz com que ele rapidamente atinja o repouso, mas, se lubrificarmos as superfícies de contato, a distância percorrida até atingir o repouso é muito maior. As interações de um corpo com outros corpos implicam na variação de seu estado de mo-vimento, o que significa que o corpo adquire uma aceleração (ou de-saceleração) e partimos daí para quantificar a inércia, ou seja, através da aceleração adquirida pelo corpo.

Considere dois corpos isolados e interagindo entre si, apenas por meio das forças gravitacionais que um exerce sobre o outro. Experiências cuidadosas mostram que as acelerações de dois corpos interagindo são sempre opostas e que a razão das acelerações é inversamente proporcional às suas massas inerciais. Isto é, a experiência mostra que se

a

_A e

a

_B são as acelerações dos corpos A e B de massas iner-ciais

m

_A e

m

_B, temos: (1.1) A B B A

m

m

a

a

₌

₋

.

O sinal menos indica que as acelerações têm sentidos opostos. Esta relação explicita o fato de que, quanto maior a massa do corpo, me-nor a sua aceleração. Assim, escolhendo-se um corpo-padrão como unidade de massa, pode-se determinar a massa de qualquer outro corpo medindo-se a razão entre a aceleração da unidade de massa e a aceleração do corpo. Portanto, fica estabelecida uma definição ope-racional de massa por meio da equação 1.1. Esta definição de massa, tendo por base a dinâmica do movimento, medindo-se as acelera-ções, foi proposta por Ernst Mach em seu livro The Science of

Mecha-nics e se opõe à definição de Newton, que se referia a massa como a

quantidade de matéria contida no corpo. O problema com esta defini-ção é que ela significa dizer que a massa

m

de um corpo especifica-do pela sua densidade de matéria e ocupanespecifica-do um volume

V

é dada por , e aqui temos uma questão, pois a densidade é, na reali-dade, a massa por unidade de volume, e logo caímos em um círculo vicioso. Assim, evitamos qualquer dificuldade com relação à defini-ção de massa usando um processo dinâmico para medi-la. Apesar de esta definição operacional de massa ser apresentada em todos os li-vros de mecânica são pouquíssimos os autores que se referem a Mach como autor desta definição operacional.

A relação entre as acelerações, expressa na equação 1.1, mostra, pela ex-periência, a validade da terceira lei de Newton na interação entre corpos macroscópicos. Observe que podemos escrever a equação 1.1 como: (1.2)

m

A

a

A

=

−

m

B

a

B

A equação 1.2 quer dizer que, como resultado da interação entre os dois corpos, o produto massa vezes aceleração é constante e explicita a mudança no movimento. Este produto é definido como força e deno-ta a interação entre os corpos. Considerando o movimento no espaço ao invés de numa linha e usando notação vetorial, definimos:

_, (1.3)

_.

Sendo a força que o corpo B exerce sobre A e _{a força que o} corpo A exerce sobre B, assim a equação 1.2 significa:

(1.4) .

O que mostra que a definição operacional de massa (equação 1.1) é con-sistente com a terceira lei de Newton (ação e reação iguais e opostas). A equação 1.4 diz que as forças que resultam das interações entre os corpos sempre existem aos pares, ou seja, não existe uma ação sem haver uma reação. Assim, nunca vamos encontrar um corpo isolado que esteja acelerado. Observe também que a terceira lei pode ser en-carada de duas formas: na forma fraca, em que a ação e reação são iguais e opostas; na forma forte, na qual a ação e reação são iguais e opostas estando elas orientadas segundo a reta suporte que une os corpos. Esta distinção será útil no estudo de um sistema de partí-culas no capítulo 5. A terceira lei, apesar de ser válida em situações físicas que encontramos na mecânica, apresenta dificuldades quando tratamos da eletrodinâmica de corpos em movimento. Para cargas aceleradas em movimento muito rápido, a ação e a reação não es-tão necessariamente segundo a reta suporte que une as cargas, e desde que a terceira lei pressupõe que a interação entre os corpos ocorra instantaneamente, ela naturalmente falha para interações que ocorram com velocidade finita. Como exemplo, temos as interações eletromagnéticas entre cargas aceleradas, cuja velocidade tem valor c =299.792.458 m/s. Assim, você deve estar ciente tanto da aplicação triunfal da mecânica de Newton em uma extensa gama de fenômenos como também de suas limitações (por exemplo, não podemos des-crever átomos e moléculas usando a mecânica newtoniana), ficando claro que, neste curso, iremos tratar de situações físicas em que a mecânica newtoniana é plenamente aplicável.

A definição operacional de massa também é consistente com a se-gunda lei, pois como vimos, quando a massa é constante, a força é o produto da massa pela aceleração. Para se entender esta consistência, basta lembrar que o momento linear é definido como o produto da massa pelo vetor velocidade,

(1.5) →

P

=

m

→

v

, onde, de forma genérica, estamos considerando uma partícula de massa

m

e velocidade →

v

e, assim, escrevemos a segunda lei:

(1.6) . Quando a massa é constante, a equação 1.6 torna-se a expressão fa-miliar da segunda lei,

(1.7) ,

que concorda com as expressões de força para

F

AB →

e

F

BA →

dadas na equação 1.3. Usando a segunda lei expressa na equação 1.6, podemos escrever a equação 1.4 (a terceira lei) da seguinte maneira:

(1.8) , ou,

(1.9) . Como a derivada de uma constante é zero, temos, finalmente:

(1.10)

P

→_A

+

P

→_B

=

P

_Total→ = constante. Em outras palavras, isto quer dizer que a terceira lei nos assegura que o momento linear total de dois corpos isolados e interagindo apenas entre si é constante no tempo. Perceba bem que neste caso nenhuma outra força está atuando, mas apenas as forças que expressam suas interações mútuas. Mais adiante neste curso, veremos como gene-ralizar este resultado para um sistema de partículas que interagem mutuamente e estejam também sob a ação de forças externas.

Agora você deve estar percebendo que, para determinarmos o movi-mento futuro de uma partícula, usamos as leis de Newton. Usamos a primeira lei ao estabelecermos um referencial inercial adequado à

situação física, como o movimento de corpos na superfície na Terra ou movimento dos planetas, e determinamos a posição →

r t

( )

usando a segunda lei (equação 1.6 ou 1.7), isto é, resolvendo a equação diferen-cial de segunda ordem:

(1.11) .

Nesta equação, está explícito que a força

F

→é a resultante das forças que atuam sobre a partícula e admite-se que conhecemos esta força. A solução desta equação apresenta duas constantes arbitrárias e, logo, para que tenhamos uma solução única, devemos conhecer as condi-ções iniciais do estado de movimento da partícula, isto é, a sua posi-ção inicial ₍→₎

0

t

r

e sua velocidade inicial

v

(t0) →

, sendo

t

₀o instante ini-cial, que usualmente é tomado como o instante zero,

t

₀

=

0

. Note que a equação 1.11 é uma equação vetorial, que na realidade sintetiza três equações, uma para cada direção no espaço. A solução analítica da equação de movimento (equação 1.11) só é possível em situações espe-ciais em que a força ou é constante ou tem uma dependência simples com a posição, a velocidade e/ou o tempo. O importante é que, mes-mo em situações práticas em que a força tem dependência complica-da, podemos resolver as equações de movimento numericamente com o auxílio de computadores, os quais atualmente têm alta capacidade de processamento, permitindo a solução de problemas bastante com-plexos. Por exemplo, nós podemos obter de forma analítica a trajetória de um projétil incluindo a resistência do ar, mas o lançamento de um satélite em órbita exige uma solução numérica para o problema. Neste curso, iremos considerar problemas mecânicos simples que permitem um tratamento analítico, o que exige um conhecimento prévio de cál-culo diferencial e integral. Iniciaremos com o estudo do movimento de uma partícula, assunto da próxima seção.

1.3 Movimento em uma Dimensão

1.3.1 Teorema do momento linear e da energia

Nesta seção, estudar-se-á o movimento de uma partícula de massa

m

ao longo de uma linha reta que será considerada o eixo

x

, sob a ação de uma força

F



dirigida ao logo do eixo, isto é, estudaremos o movimento em uma dimensão. Neste caso, a equação 1.11 se reduz a uma única, isto é:

(1.12)

m

•

x

•

=

F

(

x

,

x

•

,

t

)

.

Você deve lembrar que a aceleração é a taxa de variação segunda da posição com o tempo.

em que usamos a notação simplificada e

x

d x

2 ₂

dt

••

≡

para a velocidade e para aceleração da partícula. Observe que, mesmo para o movimento unidimensional, só podemos resolver analiticamente a equação de movimento em casos em que as forças não tenham uma dependência muito complicada com a posição, velocidade e tempo. Caso contrário, tendo-se as condições iniciais, resolve-se a equação (1.12) numericamente. Lembre-se de que a força

F

(

x

,

x

•

,

t

)

é a resultan-te. Por exemplo, para um corpo que cai verticalmente, ela vai ser a soma da força peso mais a força de atrito devido à resistência do ar. Antes de resolvermos a equação de movimento unidimensional para algumas situações mais simples, vejamos os teoremas do momento li-near e da energia para o movimento em uma dimensão. Como vamos analisar o movimento em uma dimensão, podemos omitir o caráter vetorial das grandezas físicas, como força, aceleração, momento linear e velocidade. Convencionamos que o movimento para a direita (ou para cima) é positivo e para esquerda (ou para baixo) é negativo. Reescreve-mos a equação (1.6), a segunda lei de Newton, em uma dimensão: (1.13) . Esta equação estabelece que a taxa de variação do momento linear de uma partícula é igual à força aplicada, que é justamente o enunciado da segunda lei. Este teorema pode ser chamado Teorema do Momento Linear, na forma diferencial, e nos referimos à segunda lei como o teo-rema do momento linear. Seu corolário é de que, na ausência de uma força, o momento linear é constante no tempo. A integração desta equação diferencial entre os instantes

t

₁ e

t

₂ fornece o Teorema do Momento Linear na forma integral,

(1.14)

∆

=

−

=

∫

2 1 1 2 t t

Fdt

P

P

P

. Isto é, a variação do momento é dada pela integral da força no tempo. A integral é chamada de impulso, o qual é fornecido pela força duran-te esduran-te induran-tervalo de duran-tempo. A força deve ser conhecida como função do tempo apenas, de modo que possamos calcular a integral. Caso a força

F

dependa da posição, da velocidade e do tempo, ou seja,

)

,

,

(

x

x

t

F

• , o impulso pode ser calculado, para um movimento particu-lar em que sejam conhecidos

x

(t

)

e

x

•

(t

)

. Em muitas situações, não temos informação de como a força varia no tempo, mas podemos me-dir a variação no momento linear e, portanto, determinar o valor do impulso (o valor da integral). Pense no exemplo em que se chuta uma bola em repouso e cuja massa é conhecida. Não conhecemos como a força atuante varia com o tempo enquanto o pé colide com a bola,

mas podemos, de forma indireta, medir a velocidade que a mesma adquire e assim saber o valor do impulso.

A partir do teorema do momento linear, podemos chegar a outro teo-rema relacionado ao conceito de energia, a energia associada ao mo-vimento, denominada de energia cinética. Em uma dimensão, temos

, reescrevemos a equação 1.13 e, multiplicando-se ambos os membros pela velocidade

v

da partícula, obtemos,

(1.15) , ou,

(1.16) .

Sabemos que a quantidade entre parênteses é definida como a ener-gia cinética da partícula,

(1.17) , cuja unidade no MKS é o Joule e tem dimensões

, ou seja, o produto de força por distância. Para se esta-belecer uma relação entre energia de movimento, força aplicada e a distância percorrida, reescreve-se a equação 1.16,

(1.18) , isto é, a taxa de variação temporal da energia cinética é igual ao pro-duto da força aplicada pela velocidade da partícula no instante

t

, que chamamos de potência mecânica. Logo, a energia cinética pode

permanecer constante (

F

=

0

), ou pode aumentar se a força tiver o mesmo sentido da velocidade, ou diminuir se a força tem sentido oposto, ou seja, se opondo ao movimento (força de resistência do ar, por exemplo). A equação 1.18 é conhecida como o teorema da ener-gia (na forma diferencial) e, integrando-se esta equação entre os

ins-tantes

t

₁ e

t

₂, obtemos este teorema na forma integral: (1.19)

∆

=

−

=

∫

2 1 1 2 t t C C C

E

E

Fvdt

E

. A integral na equação 1.19 é denominada de trabalho realizado pela força durante este tempo. Isto é, a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado pela força aplicada. A equação 1.19 é conhecida como o teorema do trabalho-energia, sendo que o integrando é a

pela força

F

. Deve ficar claro que, se a força é conhecida como

)

,

,

(

x

x

t

F

• , a integral só pode ser calculada para um movimento parti-cular em que são conhecidos

x

(t

)

e

x

•

(t

)

. Quando a força depende da posição, isto é,

F =

F

(x

)

, podemos reescrever a integral, lembrando que , e assim:

(1.20) ,

sendo a força conhecida, podemos calcular diretamente a variação da energia cinética da partícula enquanto se desloca da coordenada

1

x

até

x

₂ calculando o trabalho (a integral) realizado por esta força. Você deve ter notado que a equação 1.20 mostra que chegamos a uma relação entre energia, força e distância como foi inferido a partir da análise dimensional da energia. A equação 1.20 explicita, então, o teorema do trabalho-energia, isto é, que a variação da energia cinéti-ca da partícula entre dois pontos de sua trajetória é igual ao trabalho realizado pela força para deslocá-la entre estes pontos.

1.3.2 Força constante e força dependente do tempo

O problema mecânico mais simples é o caso da força constante. A equação 1.12 torna-se: (1.21)

a

m

F

x

•

=

=

• ,

e temos uma aceleração constante. Como , integramos a equação 1.21 para obter a velocidade,

(1.22) , logo,

(1.23)

v

(

t

)

=

v

₀

+

a

(

t

−

t

₀

)

. Sendo , integramos agora a equação 1.23 para se obter a posição da partícula como função de tempo,

(1.24) , (1.25) _{0 0 0}

(

₀

)

2

2

1

)

(

t

t

a

t

t

v

x

x

=

+

−

+

−

. Os resultados expressos nas equações 1.23 e 1.25 certamente são

fa-miliares a você, como sendo as soluções para o movimento unifor-memente acelerado. Vale frisar que a equação de movimento é de se-gunda ordem e na sua integração temos duas constantes arbitrárias, que, como você pode ver, referem-se à velocidade e posição iniciais da partícula, ou seja,

x

₀ e

v

₀, no instante

t

₀, para o qual podemos atribuir qualquer valor. Na maioria dos casos, tomamos

t

₀

=

0

. O caso da força constante tem aplicação, por exemplo, em corpos em queda livre próxi-mos à superfície da Terra, quando desprezapróxi-mos a resistência do ar. Uma outra situação em que podemos integrar diretamente a equação do movimento é quando a força atuante depende do tempo apenas, isto é,

F =

F

(t

)

. Neste caso, podemos ainda usar a equação 1.22 para determinar a velocidade, mas agora a aceleração,

a

=

F

(

t

)

m

, não é constante e, assim, temos:

(1.26) .

A velocidade pode ser obtida na medida em que conhecemos a força

)

(t

F

. Uma vez determinado

v

(t

)

, integramos para obter a posição da partícula, isto é,

(1.27) .

O problema está agora formalmente solucionado. Tendo sido especi-ficada a força, calculamos as duas integrais. Mesmo se a força depen-der do tempo de uma maneira muito complicada, podemos encontrar a solução por meio de integração numérica.

1.3.3 Forças dependentes da posição: energia potencial

Em muitas situações, a força que atua sobre um corpo depende da po-sição. Lembre-se, por exemplo, da força gravitacional, ou da força res-tauradora de uma mola. Isto significa que a equação de movimento é: (1.28)

m =

•

x

•

F

(x

)

.

Esta equação diferencial pode ser resolvida de várias maneiras. Uma solução pode ser alcançada usando-se a regra da cadeia para escre-vermos a aceleração da seguinte forma:

(1.29) . Ou seja,

(1.30) . Equação que agora podemos integrar desde a posição

x

₀, onde a par-tícula tem velocidade

v

₀, até a posição

x

onde a partícula tem veloci-dade

v

, isto é,

(1.31) ,

(1.32) .

Resultado que permite obter a velocidade como função da posição

)

(x

v

, a partir da qual obtemos a posição como função do tempo, pois , e assim, (1.33) 0

( )

0 x t x t

dx

_dt

v x

=

∫

∫

. Porém, em vez de se adotar o procedimento indicado nas equações 1.32 e 1.33, é mais conveniente observar que a equação 1.32 expressa o teorema do trabalho-energia, que já vimos na equação 1.20. Como vimos, a integral na equação 1.32 (ou 1.20) é o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de

x

₀ para

x

e é uma função da posição. Definimos a diferença de energia potencial como o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de

x

para um pon-to de referência

x

₀, isto é,

(1.34) .

Ou, na forma diferencial,

(1.35) , e assim expressamos a força como a derivada da energia potencial. A energia potencial é, portanto, uma função das coordenadas da partí-cula cuja derivada negativa é a força. Note que a mudança da coorde-nada do ponto de referência (escolher outro valor para

x

₀) significa simplesmente adicionar uma constante à

V

(x

)

, o que não altera a equação de movimento, já que a força é a derivada de

V

(x

)

, e a deri-vada de uma constante é zero. Logo, escolhemos sempre um ponto de referência mais conveniente para cada situação. Como , reescrevemos a equação 1.32:

Vamos representar a diferença de potencial por

. Cuidado para não confundir com velocidade.

(1.36) ,

(1.37) .

A quantidade no segundo membro depende apenas das condições iniciais e, assim, se mantém constante durante o movimento, isto é, a soma da energia cinética mais a energia potencial da partícula permanece constante no tempo e a denominamos de energia total ou energia mecânica

E

. Desta maneira, a equação 1.37 expressa a conservação da energia mecânica, que é válida quando a força apli-cada só depende da posição (veja a definição para energia potencial na equação 1.34). Logo, no movimento em uma dimensão, forças que dependem só da posição são ditas forças conservativas, pois a ener-gia mecânica é conservada (ou seja, é uma constante do movimento). Podemos usar a conservação da energia total para resolver o movi-mento, isto é, obter a velocidade e posição. Para isso, reescrevemos a equação 1.37,

(1.38) ,

e resolvendo para

v

, obtém-se,

(1.39) .

A escolha dos sinais (mais ou menos) é arbitrária, mas convenciona-se o sinal mais (

+

) para movimento no sentido positivo do eixo

x

e o sinal menos (-) para o movimento no sentido negativo. Portanto, eliminaremos o sinal

±

em frente à raiz quadrada, pois o sentido da velocidade deverá estar especificado em cada problema. A equação 1.39 especifica como a velocidade varia com a posição,

v

(x

)

, à me-dida que conhecemos a função energia potencial. A função

x

(t

)

é obtida integrando-se a equação 1.39,

(1.40) .

Você deve notar que a equação (1.40) é, na realidade, a equação 1.33 reescrita de outra forma, ou seja, escrevendo-se a velocidade em ter-mos da energia total e da energia potencial (equação 1.39). Ademais, as condições iniciais estão agora especificadas em termos da energia total

E

e da posição inicial

x

. Naturalmente, sendo especificadas as

Citamos como exemplo de forças conservativas a força peso e a força elástica.

condições iniciais e a energia potencial

V

(x

)

, a equação 1.40 mostra que o problema está formalmente resolvido. Dependendo da forma de

)

(x

V

, nem sempre podemos resolver a integral, mas quando possível, resolvemos diretamente a integral, achando

x

(t

)

. Note que a equação 1.39 diz que para uma dada energia mecânica

E

, o movimento da par-tícula vai estar confinado às regiões no eixo

x

em que

E ≥

V

(x

)

, caso contrário a velocidade se torna uma quantidade imaginária. Assim, podemos discutir de forma qualitativa o movimento, fazendo-se um gráfico da energia potencial e considerando diversos valores possíveis para a energia total. Como exemplo, considere que a energia potencial de uma partícula tenha a forma apresentada na figura 1.1, onde estão também indicadas várias energias possíveis para a partícula.

x

6

x

8

x

8

x

'6

x

7

x

₅

x

₄

x

2

x

1

x

0

x

'1

x

'2

x

3 '

x

V(x)

E

4

E

3

E

2

E

1

E

0

Figura 1.1 - Função energia potencial para o movimento unidimensional.

Analisando a figura 1.1, você pode ver que, se

E =

E

₀, então o único lugar em que a partícula pode estar é em

x

₀ , pois em outros pontos

)

(x

V

E ≤

, e obtemos a velocidade como uma quantidade imaginária. Como

E =

₀

V

(

x

₀

)

, a equação 1.39 fornece

v

=

0

, isto é, a partícula permanece em repouso em

x =

x

₀. Se a energia for um pouco maior que

E

₀, digamos

E

₁, nas regiões

x <

x

₁ e

x >

x

₁' a velocidade será imaginária e a partícula não pode se encontrar nestas regiões. As-sim, a partícula está restrita a se mover no vale da curva da energia potencial entre

x

₁ e

x

₁'. Uma partícula movendo para a direita será refletida em

x

₁', passando a se deslocar para a esquerda, quando será então refletida em

x

₁. Portanto, dizemos que a partícula fica oscilando entre

x

₁e

x

₁', sendo estes pontos designados, obviamente, de pontos de retorno. Os pontos de retorno

x

₁ e

x

₁' são obtidos resolvendo-se

0

)

(

1

−

V

x

=

E

, o que significa velocidade nula nestes pontos. O que é óbvio, pois para a partícula inverter sua velocidade, é necessário pri-meiro reduzi-la a zero. Podemos explicar brevemente os movimentos possíveis correspondentes à figura 1.1 como segue:

0

E

: A partícula está em equilíbrio estável em

x

₀.

1

E

: A partícula move-se entre os pontos de retorno

x

₁e

x

₁'.

2

E

: A partícula pode mover-se entre os pontos de retorno

x

₂e

x

₂', ou mover-se entre os pontos

x

₆ e

x

₆', sendo que na região entre

x

₈ e

x

₈' ela se move com velocidade constante (região de equilíbrio neutro ou indiferente). A partícula também pode se mover na região

x x

>

₇.

3

E

: Com esta energia, podemos encontrar a partícula em repouso em

x

₃, que é uma posição de equilíbrio instável. Ela também pode se deslocar entre

x

₄ e

x

₃, ou se deslocar na região

x >

x

₃. Logica-mente, a partícula pode se deslocar na região

x <

x

₅. Mas ela não pode se deslocar entre

x

₄ e

x

₅, pois nesta região

E ≤

V

(x

)

. Isto quer dizer que uma partícula deslocando-se na região

x <

x

₅ nun-ca poderá acessar a região

x >

x

₄ e vice versa. Dizemos que na região entre

x

₄ e

x

₅ temos uma barreira de energia potencial.

4

E

: Neste caso, a partícula tem energia suficiente para se mo-ver ao longo de todo o eixo

x

, pois a energia potencial nun-ca é maior que a energia total. A partícula irá se deslonun-car au-mentando ou diminuindo sua velocidade, na medida em que passa pelos vales e colinas da função energia potencial. Em muitas situações, é de interesse analisar o movimento da partícu-la em torno da posição de equilíbrio, isto quer dizer, energias leve-mente maiores que

E

₀. Assim, se

V

(x

)

tem um mínimo em

x =

x

₀, expandimos a função

V

(x

)

em uma série de Taylor em torno deste ponto:

(1.41)

A expansão em série de Taylor (equação 1.41) é bastante útil na obten-ção de aproximações de fórmulas mais complicadas que expressam o resultado de um certo problema. Abaixo, mostramos a expansão de algumas funções

f

(x

)

em torno da origem (

x

=

0

), que significa

di-zer que os valores atribuídos a

x

não devem se afastar muito de zero, portanto estas expansões são válidas para ,

...

2

1

cos

)

(

...

3

sen

)

(

...

3

2

)

1

ln(

)

(

...

2

1

)

(

...

8

2

1

1

)

(

...

8

3

2

1

1

1

)

(

...

1

1

1

)

(

2 3 3 2 2 2 2 2

+

−

=

=

+

−

=

=

−

+

−

=

+

=

+

+

+

=

=

+

−

+

=

+

=

−

+

−

=

+

=

−

+

−

=

+

=

x

x

x

f

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

e

x

f

x

x

x

x

f

x

x

x

x

f

x

x

x

x

f

x (1.42)

Estas expansões serão utilizadas durante este curso de mecânica, como você verá ainda neste capítulo. Quando nos interessar obter um caso particular a partir de um mais geral, por meio de aproximações adequadas, usaremos as expansões acima, e a elas vamos nos referir como conjunto de equações 1.42.

Voltando agora à expansão dada na equação 1.41, vemos que a constante

V

(

x

₀

)

pode ser ignorada, pois não afeta o movimento, e lembrando que num ponto de mínimo de uma função temos e , efetuamos as abreviações e , o que permite escrever a função poten-cial na seguinte forma:

(1.43) . Nesta equação, desprezamos os termos de ordem mais alta, pois es-tamos considerando valores pequenos de

x

', isto é, a partícula não se afasta muito do ponto de equilíbrio. A força é a derivada negativa da função energia potencial, logo , e a partícula, quando afastada da posição de equilíbrio, fica submetida a uma força que ten-de a retorná-la ao ponto ten-de equilíbrio, força dita restauradora, como em molas que satisfazem a lei de Hooke. A equação 1.43 expressa uma aproximação parabólica para o potencial verdadeiro, e em

mui-tas situações usamos esta aproximação. Por exemplo, para o movi-mento de átomos em uma molécula ou de átomos em uma rede cris-talina, em torno da posição de equilíbrio, podemos usar esta aproximação parabólica para a energia potencial, o que significa tra-tar o problema de forma mais simples, como se os átomos em uma molécula ou numa rede cristalina estivessem ligados por molas, que satisfazem a lei de Hooke.

Exemplo 1. Da discussão anterior, vê-se que é importante resolver, como exemplo, o problema de uma partícula submetida à força res-tauradora linear, como uma massa ligada a uma mola, ou num caso mais geral, quando a partícula oscila em torno da posição de equilí-brio, como discutido anteriormente, e submetida à força:

(1.44) _. Escolhendo o ponto de referência como a origem (

x

₀

=

0

), a energia potencial é:

(1.45) , e, escolhendo

t

₀

=

0

, a equação 1.40 torna-se:

(1.46) .

Um procedimento para se obter

x

(t

)

seria buscar o resultado da inte-gral acima em uma tabela de integrais, mas neste caso podemos resol-ver diretamente a integral, a partir das substituições de variáveis (ape-nas com o objetivo de se efetuar a integração de forma elementar), (1.47) , de tal maneira que a integral fica:

(1.48) 0 0 2 1/2 0 0 0

1

1

1

(

)

(

)

2

2

y x x y

m E kx

dx

dy

y y

t





−

−

=

=

−

=

∫

∫

. E assim, (1.49)

y

=



₀

t y

+

₀ . E, usando a substituição dada na equação 1.47, obtemos a posição da partícula como função do tempo:

A coordenada

x

da partícula oscila harmonicamente no tempo com amplitude

k

E

A

=

2

e freqüência . Observe que as condições ini-ciais estão especificadas em termos da energia total

E

e da posição inicial

x =

₀

A

sen y

₀. Devido ao fato de a partícula realizar oscilações harmônicas, a aproximação parabólica para uma função energia poten-cial é dita também de aproximação harmônica para a energia potenpoten-cial. Quando a energia mecânica da partícula é bem maior que

V

(

x

₀

)

, como a energia

E

₂ na figura 1, ela oscilará entre os pontos de retorno, mas as oscilações não serão harmônicas (ou lineares), pois não poderemos desprezar termos de ordem mais alta na expansão para a energia po-tencial, dada na equação 1.41. Neste caso, as oscilações são ditas não-lineares. No capítulo 2 estudaremos oscilações lineares e não não-lineares. Um outro exemplo importante de força dependente da posição é a força gravitacional. De acordo com a lei de gravitação de Newton, a força entre um corpo de massa

m

a uma distância

x +

R

_{do centro da terra} (de massa

M

) é:

,

onde consideramos a Terra como esférica de raio

R

e a coordenada

x

, obviamente, sendo medida a partir da superfície da Terra.

1.3.4 Forças dependentes da velocidade: velocidade limite

Agora iremos considerar forças atuantes em um corpo e que depen-dem da velocidade deste corpo. Este é o caso da resistência viscosa exercida sobre um corpo que se desloca em um fluido. A resistência que o ar oferece ao deslocamento dos corpos também se inclui nes-te caso. Aqui não se incluem as forças de atrito de deslizamento ou rolamento entre superfícies sólidas e secas, as quais são aproxima-damente constantes para um dado par de superfícies, havendo uma força normal conhecida entre elas, e dependem da velocidade somen-te quanto ao fato de serem sempre opostas à velocidade. Por outro lado, a dependência das forças resistivas em fluidos e gases com a velocidade só pode ser determinada, para cada situação, por meio de medidas. A experiência mostra que, em geral, estas forças de atrito são proporcionais a alguma potência da velocidade, isto é,

(1.51) _,

onde

b

é uma constante positiva de proporcionalidade e

n

um inteiro positivo. Se

n

é ímpar, usamos o sinal negativo; se

n

é par, devemos

usar o sinal negativo ou positivo de maneira que a força seja sempre oposta à velocidade, realizando trabalho negativo, isto é, convertendo energia mecânica em outra forma de energia (como calor gerado por atrito). A força de atrito que atua sobre um corpo que se desloca em um meio viscoso como o ar ou água é um exemplo de força de arrasto e a constante

b

é, por vezes, chamada de coeficiente de arrasto. As forças de arrasto implicam em efeitos importantes em uma grande variedade de objetos, desde gotas de chuva, bolas de beisebol, até (e principalmente) em aeronaves e embarcações. A constante

b

depen-de essencialmente da geometria do corpo, isto é, depen-dependepen-de da área que o corpo oferece à resistência do ar, e da densidade do meio e sua vis-cosidade. Com relação à geometria do corpo, lembre-se da diferença que existe na resistência que o ar oferece à queda de uma caneta e à queda de uma folha de papel. Com relação à densidade do meio, lem-bre-se da resistência que a água oferece ao deslocamento de corpos, que é bem maior que aquela que o ar oferece. Destes fatos, fica claro que é por meio de medidas que obtemos a constante

b

e o valor de

n

. Para o movimento em fluidos, em geral, a força não tem uma forma simples como indicado na equação 1.51, e em cada caso a experiência é que possibilita obtermos informação sobre a força. Para corpos se deslocando no ar, a experiência mostra que, em muitos casos, temos uma boa aproximação para descrever a situação real, com

n =

1

ou

2

n =

. Em geral, temos resultados melhores quando descrevemos a força resistiva como a soma de dois termos:

(1.52)

F

(

v

)

=

−

b

₁

v

−

b

₂

v

2, sendo a velocidade no sentido positivo do eixo

x

. Veja que as constan-tes

b

₁ e

b

₂ têm dimensões diferentes, isto é,

[ ] MT

b =

₁ -1 e

[ ] L M

b =

₂ -1 . Observe também que, para baixas velocidades, o termo linear é que domina, ao passo que, para velocidades altas, o termo quadrático do-mina. Para corpos como carros e aviões, as constantes de proporcio-nalidade (coeficientes de arrasto), em cada caso, são obtidas por meio de experimentos em protótipos em túneis de vento.

O

túnel de vento ou túnel aerodinâmico é um equi-pamento que testa a ação do ar sobre um objeto. A velocidade de deslocamento do ar pode ser controlada e é possível controlar também temperatura e pressão do ar, em sistemas mais sofisticados. Esses túneis são cons-truídos sob muitas formas e para diferentes propósitos.

Verifique as dimensões de e .