manual. O n´umero de aplica¸c˜oes comerciais dedicadas `as ind´ustrias de con- fec¸c˜oes e de cal¸cado ´e substancialmente menor. Para estas ind´ustrias existe uma aplica¸c˜ao que claramente se destaca em rela¸c˜ao `as restantes quer em
termos de tempo de c´alculo quer em qualidade dos resultados, o AutoNester.
Esta aplica¸c˜ao ´e baseada nos trabalhos de [Heckmann e Lengauer, 1995] e
de [Heistermann e Lengauer, 1995].
2.4
Forma do Problema abordado nesta Tese
No seguimento do trabalho de investiga¸c˜ao descrito nesta tese ser´a abordado o problema de PFI. Neste problema ser´a dada especial aten¸c˜ao `a variante que surge na ind´ustria de confec¸c˜oes, com a considera¸c˜ao de caracter´ısticas
espec´ıficas a esta ´area industrial. No entanto, os algoritmos apresentados
neste trabalho s˜ao suficientemente gen´ericos para poderem ser aplicados a
outras ´areas industriais.
No problema de PFI apenas s˜ao relevantes duas dimens˜oes e, como j´a
foi referido, este problema consiste na determina¸c˜ao do posicionamento de
um conjunto de formas irregulares no interior de uma placa. O posiciona- mento das formas irregulares deve evitar sobreposi¸c˜oes entre elas e dever´a
ter como objectivo a minimiza¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de custo ou a maximiza-
¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de valor, sendo habitualmente utilizado como objectivo a minimiza¸c˜ao do comprimento do rectˆangulo utilizado. Neste trabalho, s˜ao utilizadas descri¸c˜oes poligonais para representar as formas irregulares, pelo
que formas curvil´ıneas dever˜ao previamente ser aproximadas por pol´ıgonos.
As formas irregulares podem ser n˜ao convexas, mas n˜ao podem ter buracos
no seu interior e tamb´em n˜ao podem ter zonas de multiplicidade superior a
Cap´ıtulo 3
Abordagens `a Resolu¸c˜ao do
Problema de Posicionamento
de Formas Irregulares
Como j´a foi anteriormente referido, o problema de PFI caracteriza-se por
apresentar simultaneamente dificuldades ao n´ıvel combinat´orio e ao n´ıvel
geom´etrico. Do ponto de vista combinat´orio, as dificuldades advˆem da pr´o-
pria natureza combinat´oria do problema de PFI. J´a ao n´ıvel geom´etrico,
as dificuldades residem na necessidade em realizar milhares de opera¸c˜oes
elementares de forma a garantir a admissibilidade das solu¸c˜oes obtidas. O
desenvolvimento de abordagens `a resolu¸c˜ao de problemas de PFI necessita
obrigatoriamente de ter em considera¸c˜ao estas duas caracter´ısticas, n˜ao s´o
de uma forma isolada mas tamb´em quando consideradas em simultˆaneo.
Este cap´ıtulo ser´a dedicado a apresentar e a analisar diferentes t´ecnicas e
metodologias utilizadas no desenvolvimento de abordagens de resolu¸c˜ao de
problemas de PFI.
Uma quest˜ao que obrigatoriamente tem de ser considerada, aquando do
desenvolvimento de abordagens de resolu¸c˜ao a um problema combinat´orio,
´e a complexidade computacional do problema. Esta quest˜ao ´e de primordial importˆancia na selec¸c˜ao das t´ecnicas e dos m´etodos de resolu¸c˜ao a adoptar. Assim, ser´a feita referˆencia `a complexidade computacional do problema de
PFI. De igual modo, ser˜ao tamb´em referidas as complexidades computacio-
nais de outros problemas relacionados com problemas de PFI ou que surgem durante a resolu¸c˜ao de problemas de PFI.
Na primeira sec¸c˜ao deste cap´ıtulo far-se-´a referˆencia `a complexidade com- putacional dos problemas de PFI. Na sec¸c˜ao seguinte apresentar-se-˜ao diver-
sas ferramentas de geometria computacional de importˆancia fundamental na
resolu¸c˜ao de problemas de PFI. Na terceira sec¸c˜ao ser˜ao apresentados mode- los matem´aticos para o problema de PFI. Na ´ultima sec¸c˜ao, ser´a apresentada
uma abordagem `a resolu¸c˜ao de problemas de PFI baseada em heur´ısticas
construtivas de posicionamento.
3.1
Complexidade Computacional do Problema de
Posicionamento de Formas Irregulares
A complexidade computacional dos problemas de Posicionamento tem sido
alvo de diversos estudos, que deram origem a v´arios resultados publicados.
Um dos resultados cl´assicos neste dom´ınio ´e o da classifica¸c˜ao do problema de Bin Packing unidimensional como N P-dif´ıcil no sentido forte [Garey e
Johnson, 1979]. Igualmente conhecido ´e o resultado relativo ao problema
Mochila unidimensional de N P-dif´ıcil, embora seja poss´ıvel distinguir sub- problemas com diferentes graus de dificuldade [Martello et al., 2000]. A generaliza¸c˜ao destes resultados para problemas de dimens˜ao superior ´e ime- diata a partir dos problemas unidimensionais. Martello et al. [2003] apre- sentam o resultado de N P-dif´ıcil no sentido forte para o problema de Strip
Packing bidimensional, obtido por redu¸c˜ao do problema de Bin Packing
unidimensional.
Relativamente `a complexidade computacional do problema de PFI, e re-
cordando que este problema foi definido como um problema de Dimens˜oes
Vari´aveis (mais concretamente de minimiza¸c˜ao do comprimento utilizado), a classifica¸c˜ao de N P-dif´ıcil no sentido forte pode ser obtida a partir do resul- tado apresentado para o problema de Strip Packing rectangular apresentado no par´agrafo anterior. Em [Li e Milenkovic, 1993] e [Li e Milenkovic, 1995] o mesmo resultado ´e obtido, mas a partir da redu¸c˜ao do problema de parti¸c˜ao
de um conjunto de S inteiros em dois subconjuntos S1 e S2 de forma que a
soma dos dois subconjuntos seja igual.
Existem tamb´em resultados publicados sobre a complexidade computaci-
onal de problemas relacionados com o problema de PFI. Um dos problemas
mais estudados a este n´ıvel tem sido o problema de Compacta¸c˜ao de pa-
3.1 Complexidade Computacional do Problema de PFI 69
o comprimento de um padr˜ao de corte, movimentando simultaneamente as
formas irregulares de um modo cont´ınuo e sem sobreposi¸c˜oes. Nos mesmos
trabalhos referidos no par´agrafo anterior para o problema de PFI [Li e Mi-
lenkovic, 1993] [Li e Milenkovic, 1995], os autores demonstram o resultado de N P-dif´ıcil para o problema de Compacta¸c˜ao de rectˆangulos (generaliz´avel a problemas com formas irregulares) e adicionalmente mostram que o pro-
blema de Compacta¸c˜ao pertence `a classe PSPACE-dif´ıcil ao apresentarem
exemplos de padr˜oes de corte que necessitam de um n´umero exponencial de
movimentos para atingirem o estado final.
Em [Daniels e Milenkovic, 1997] ´e apresentado um outro resultado re-
levante para o desenvolvimento de abordagens ao problema de PFI. Neste trabalho, os autores abordam o problema de encontrar um posicionamento
v´alido de formas irregulares de pequenas dimens˜oes no interior de placas
j´a parcialmente preenchidas por formas irregulares de maiores dimens˜oes1 e
mostram que o problema ´e N P-completo.
Na an´alise sobre a complexidade computacional do problema de PFI
apresentada at´e ao momento, apenas foi considerada a existˆencia de um
conjunto de N objectos com formas irregulares que se pretende posicio- nar no interior de uma placa sem sobreposi¸c˜oes. Para finalizar esta sec¸c˜ao ser´a discutida a quest˜ao da influˆencia dos objectos irregulares que se pre-
tende posicionar na performance das abordagens de resolu¸c˜ao utilizadas, ao
n´ıvel da quantidade de objectos iguais para posicionar, do n´umero de v´erti- ces utilizado na representa¸c˜ao geom´etrica do objecto irregular e na pr´opria forma do objecto irregular. A existˆencia de v´arios objectos irregulares com a mesma forma para posicionar permite obviamente reduzir a dificuldade do
problema, devido `as simetrias originadas pelo posicionamento de objectos
iguais. Por isso, habitualmente os problemas de PFI s˜ao caracterizados n˜ao s´o pelo n´umero total de objectos de pequenas dimens˜oes, mas tamb´em pelo n´umero de objectos diferentes. O n´umero de v´ertices utilizado na represen-
ta¸c˜ao dos objectos irregulares tem um grande impacto na complexidade dos
problemas de PFI, j´a que as opera¸c˜oes de verifica¸c˜ao de sobreposi¸c˜oes num
padr˜ao de corte dependem do n´umero total de objectos irregulares N e do
n´umero de arestas de cada objecto envolvido mi e mj: ´e necess´ario verifi-
1
Os autores designam este problema como kN N e definem-no como sendo o problema de encontrar um posicionamento v´alido de k pol´ıgonos n˜ao convexos (N ) no interior de um pol´ıgono n˜ao convexo (N ). Referem tamb´em varia¸c˜oes pela substitui¸c˜ao do N por C (pol´ıgonos convexos), R (rectˆangulos) e P (paralelogramos).
car todos os pares de objectos irregulares (C2N) e para cada par ´e preciso
verificar2 todas as arestas de um dos objectos irregulares contra todas as
arestas do outro objecto irregular (mi∗ mj). Para exemplificar esta situa¸c˜ao
compare-se o tempo de c´alculo entre a instˆancia artif e a instˆancia swim
apresentados nas tabelas 5.17(a) e 5.18(c) e atente-se nas caracter´ısticas das duas instˆancias (tabela 5.1), designadamente no n´umero total de formas irre- gulares (respectivamente 99 e 48), no n´umero de formas irregulares diferentes (respectivamente 8 e 10) e no n´umero m´edio de v´ertices por forma irregular
(respectivamente 7.625 e 21.9). Apesar do n´umero total de formas irregu-
lares da instˆancia swim ser menos de metade do n´umero total de formas
irregulares da instˆancia artif, os tempos de c´alculo3 s˜ao substancialmente
superiores. J´a a forma do objecto irregular tem uma influˆencia claramente
menor na complexidade do problema, fazendo-se sentir mais fortemente nas
instˆancias com maior n´umero de concavidades e com concavidades de maior
tamanho. Nestas situa¸c˜oes os objectos irregulares est˜ao mais entrela¸cados,
o que consequentemente vai dar origem a um maior n´umero de opera¸c˜oes de
verifica¸c˜ao de sobreposi¸c˜oes.
A descri¸c˜ao das instˆancias de problemas de PFI utilizadas no trabalho
de investiga¸c˜ao descrito nesta tese est´a dispon´ıvel na sec¸c˜ao 5.1. Para cada instˆancia, apresentam-se as caracter´ısticas mais relevantes do ponto de vista
de resolu¸c˜ao do problema de PFI, como: o n´umero total de formas irregu-
lares, o n´umero de formas irregulares diferentes, n´umero m´edio de v´ertices, orienta¸c˜oes admiss´ıveis, largura da placa e origem da instˆancia. Uma r´apida an´alise a estas caracter´ısticas permite constatar a existˆencia de uma grande diversidade entre as diferentes instˆancias, que obviamente se ir´a reflectir na qualidade dos resultados obtidos, ao n´ıvel da complexidade computacional e no tempo de c´alculo.