3.4 Abordagens baseadas em Heur´ısticas Construtivas
3.4.3 Regras de Posicionamento
A regra de posicionamento ´e respons´avel pela determina¸c˜ao do ponto de
posicionamento de uma determinada forma irregular, sendo aplicada suces-
sivamente a todas as formas irregulares de forma a obter-se o padr˜ao de
corte (figura 3.21). Na escolha do melhor de ponto de posicionamento s˜ao
consideradas as v´arias orienta¸c˜oes poss´ıveis para cada forma irregular (figura 3.18). No desenvolvimento deste trabalho consideram-se duas regras de po-
Figura 3.21: Regra de posicionamento.
Figura 3.22: Regra de posicionamento em grelha.
sicionamento, segundo uma grelha e regra de posicionamento bottom-left, que ser˜ao descritas de seguida.
Regra de Posicionamento em Grelha
A regra de posicionamento em grelha posiciona as formas irregulares se- gundo uma grelha, conforme est´a ilustrado na figura 3.22. As dimens˜oes das c´elulas da grelha s˜ao definidas pelas dimens˜oes m´aximas, em comprimento e em largura das formas irregulares. O desenvolvimento desta regra de po-
sicionamento teve como objectivo a obten¸c˜ao de padr˜oes de corte esparsos
para serem usados nos testes computacionais sobre compacta¸c˜ao de padr˜oes
de corte.
Regra de Posicionamento Bottom-Left
A regra de posicionamento bottom-left ´e uma heur´ıstica de posicionamento
gulosa, que determina o ponto de posicionamento admiss´ıvel o mais `a es-
querda e o mais acima para o posicionamento de uma determinada forma irregular segundo qualquer uma das suas orienta¸c˜oes admiss´ıveis. A princi- pal caracter´ıstica desta regra de posicionamento ´e a capacidade de preencher
3.4 Abordagens baseadas em Heur´ısticas Construtivas 109
zonas n˜ao ocupadas no meio de padr˜oes de corte, habitualmente designadas
por “buracos”. O padr˜ao de corte da figura 3.21 ilustra o tipo de padr˜oes de
corte que se obt´em com esta regra de posicionamento.
O princ´ıpio de funcionamento desta heur´ıstica de posicionamento ba- seia-se na gera¸c˜ao de todos os pontos de posicionamento admiss´ıveis, para
uma determinada forma irregular e orienta¸c˜ao de posicionamento, e poste-
rior selec¸c˜ao do ponto mais `a esquerda e mais acima. Matematicamente este princ´ıpio de funcionamento pode ser expresso, recorrendo aos conceitos de
inv´olucros de posicionamento (N F P ) e de rectˆangulos de posicionamento
interior (IF R), como sendo um conjunto de pontos onde o posicionamento ´e admiss´ıvel (conjunto A na equa¸c˜ao 3.12a), e a uma opera¸c˜ao de minimiza- ¸
c˜ao para se obter o ponto de posicionamento mais `a esquerda e mais acima
(equa¸c˜oes 3.12b e 3.12c). Esta opera¸c˜ao de minimiza¸c˜ao corresponde a uma
minimiza¸c˜ao sobre um conjunto n˜ao convexo, multi-conecto e infinito de
pontos. Nestas equa¸c˜oes, k representa a pr´oxima forma irregular a ser posi- cionada, m representa as formas irregulares j´a posicionadas e N F Pi,k(xi, yi)
representa o inv´olucro de posicionamento de k em rela¸c˜ao a uma forma ir-
regular j´a posicionada (i) nas coordenadas de posicionamento (xi, yi).
A = {(x, y) : (x, y) ∈ interior(IF Rk)) ∧ (x, y) /∈ interior(N F Pi,k(xi, yi)), ∀i=1...M}
(3.12a)
B = {(xmin, y) : xmin ≤ x, ∀(x, y) ∈ A} (3.12b)
(xmin, ymin) : ymin ≤ y, ∀(xmin, y) ∈ B (3.12c)
As equa¸c˜oes 3.12b e 3.12c garantem que o ponto de posicionamento n˜ao
vai estar no interior da regi˜ao de posicionamento admiss´ıvel, mas sobre um
seu v´ertice. Qualquer v´ertice da regi˜ao de posicionamento admiss´ıvel est´a numa das quatro seguintes situa¸c˜oes:
• ´e um v´ertice de um inv´olucro de posicionamento entre a forma irre-
gular k e uma das m formas irregulares j´a posicionadas, com o ponto
de referˆencia do inv´olucro de posicionamento colocado no ponto de
posicionamento de k (N F Pi,k(xi, yi)));
• ´e uma intersec¸c˜ao entre arestas de dois dos inv´olucros de posiciona- mento de k com formas irregulares j´a posicionadas i e j (N F Pi,k(xi, yi) e N F Pj,k(xj, yj));
• ´e uma intersec¸c˜ao entre arestas do rectˆangulo de posicionamento inte- rior de k (IF Rk) e arestas de um dos inv´olucros de posicionamento de k e uma das m formas irregulares j´a posicionadas (N F Pi,k(xi, yi)).
Adicionalmente, qualquer v´ertice da regi˜ao de posicionamento admiss´ıvel
tem tamb´em de estar no interior do rectˆangulo de posicionamento de k
(N F Pi,k)(xi, yi)) e no exterior de todos os inv´olucros de posicionamento de k com qualquer uma das m formas irregulares j´a posicionadas (N F Pi,k(xi, yj)). Este procedimento permite reduzir a pesquisa a um conjunto discreto e finito de pontos admiss´ıveis, sobre o qual uma simples ordena¸c˜ao permite determi-
nar o ponto de posicionamento mais `a esquerda e mais acima. A figura 3.23
apresenta um exemplo de aplica¸c˜ao da regra de posicionamento bottom-left,
com a indica¸c˜ao da forma irregular a posicionar e dos respectivos inv´olucros
de posicionamento na figura 3.23(a) e do rectˆangulo de posicionamento inte-
rior na figura 3.23(b). A figura 3.23(c) apresenta o padr˜ao de corte actual a cinzento escuro, a regi˜ao admiss´ıvel de posicionamento a branco e os v´ertices da regi˜ao admiss´ıvel de posicionamento est˜ao assinalados por pontos pretos.
Por fim, a figura 3.23(d) mostra o padr˜ao de corte ap´os o posicionamento
da nova forma irregular, no v´ertice da regi˜ao admiss´ıvel de posicionamento
mais `a esquerda e mais acima.
A implementa¸c˜ao da regra de posicionamento bottom-left necessita de
alguns cuidados, sob pena de se obter um algoritmo muito pouco eficiente
e onde os mesmos c´alculos s˜ao efectuados repetidas vezes. A origem do
problema est´a na necessidade de determinar os v´ertices da regi˜ao admiss´ıvel de posicionamento, segundo o processo acabado de descrever, sempre que
se pretender posicionar uma forma irregular. Adicionalmente, o n´umero
de formas irregulares vai aumentando, o que provoca um maior n´umero de
intersec¸c˜oes a calcular e testes de inclus˜ao a realizar. A repeti¸c˜ao de c´alculos
acontece quando se pretende posicionar uma forma irregular que ´e igual a
uma das formas anteriormente posicionadas, j´a que a regi˜ao admiss´ıvel s´o depende da geometria e dos pontos de posicionamento das formas irregulares j´a posicionadas e da geometria da forma irregular a posicionar. Para evitar a repeti¸c˜ao de c´alculos ´e assim necess´ario ir guardando os v´ertices das regi˜oes
3.4 Abordagens baseadas em Heur´ısticas Construtivas 111
(a) Forma irregular a posicionar e inv´o- lucros de posicionamento.
(b) Rectˆangulo de posicionamento inte- rior.
(c) Regi˜ao admiss´ıvel de posiciona- mento.
(d) Padr˜ao de corte ap´os o posiciona- mento da nova forma irregular.
admiss´ıveis de posicionamento para todas as formas irregulares ao longo da constru¸c˜ao do padr˜ao de corte e ir removendo posicionamentos que deixaram de ser v´alidos. Isto representa o c´alculo de novas intersec¸c˜oes entre pares
de inv´olucros de posicionamento e entre inv´olucros de posicionamento e o
rectˆangulo de posicionamento interior, a que se segue a elimina¸c˜ao dos pontos
que est˜ao no interior de pelo menos um inv´olucro de posicionamento ou no
exterior do rectˆangulo de posicionamento interior.
A regra de posicionamento tamb´em ´e respons´avel pela selec¸c˜ao da orien- ta¸c˜ao da forma irregular, pelo que ´e necess´ario ir mantendo os v´ertices das regi˜oes admiss´ıveis de posicionamento para cada uma das orienta¸c˜oes poss´ı- veis. Estes conjuntos de v´ertices das regi˜oes de posicionamento admiss´ıvel para todas as formas irregulares e segundo todas as orienta¸c˜oes necessitam de ser mantidos, de itera¸c˜ao em itera¸c˜ao, ao longo da constru¸c˜ao de um padr˜ao de corte.
Para finalizar, ser´a feita uma referˆencia aos crit´erios dinˆamicos de selec- ¸c˜ao da pr´oxima forma irregular. Nestes crit´erios, a pr´oxima forma irregular a ser posicionada ainda n˜ao est´a determinada, o que obriga `a necessidade de determinar o melhor posicionamento para todas as formas irregulares e segundo todas as orienta¸c˜oes poss´ıveis para que posteriormente o crit´erio di-
nˆamico possa seleccionar a forma irregular a ser efectivamente posicionada.
Ou seja, ´e necess´ario gerar os v´ertices das regi˜oes admiss´ıveis de posicio-
namento para todas as formas irregulares e segundo todas as orienta¸c˜oes
poss´ıveis sempre que se pretender posicionar uma forma irregular. A imple-
menta¸c˜ao da regra de posicionamento acabada de descrever j´a responde a
esta exigˆencia dos crit´erios dinˆamicos, uma vez que os v´ertices das regi˜oes admiss´ıveis de posicionamento de todas as formas irregulares e segundo to- das as orienta¸c˜oes j´a s˜ao mantidos durante a constru¸c˜ao de um padr˜ao de corte.