3.2 Ferramentas Geom´ etricas para o Problema de PFI
3.2.4 Inv´ olucro de Posicionamento
O conceito de inv´olucro de posicionamento ´e a forma mais eficiente para a
analisar a posi¸c˜ao relativa de dois pol´ıgonos. A utiliza¸c˜ao deste conceito
na resolu¸c˜ao de PFI permite assegurar a admissibilidade dos padr˜oes de
corte, i.e. padr˜oes de corte onde n˜ao h´a sobreposi¸c˜oes entre os pol´ıgonos
que descrevem as formas irregulares. O conceito de inv´olucro de posiciona-
mento tamb´em ´e conhecido sob outras designa¸c˜oes como as de hod´ografo e
de Minkowski sum (tamb´em conhecida como soma vectorial de pol´ıgonos).
O inv´olucro de posicionamento ´e tamb´em equivalente `as Φ-Functions de
n´ıvel zero entre dois pol´ıgonos.
O inv´olucro de posicionamento do pol´ıgono j relativamente ao pol´ıgono
i (N F Pi,j) ´e a traject´oria descrita pelo ponto de referˆencia5 do pol´ıgono j (Rj), quando este pol´ıgono desliza ao longo do contorno exterior do pol´ıgono
i. Durante este movimento de deslizamento, os dois pol´ıgonos mantˆem as
mesmas orienta¸c˜oes relativas e o pol´ıgono j descreve uma traject´oria orbi-
tal em torno do pol´ıgono i, que ´e mantido fixo. O pol´ıgono j, denominado
pol´ıgono orbital, n˜ao pode intersectar o pol´ıgono i, designado por pol´ıgono estacion´ario, e os dois pol´ıgonos tˆem de estar sempre em contacto (figura 3.4). Os inv´olucros de posicionamento s˜ao representados por pol´ıgonos ori-
5O ponto de referˆencia de um pol´ıgono ´e a origem do sistema de coordenadas (0, 0)
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Figura 3.4: Inv´olucro de posicionamento do pol´ıgono j relativamente ao
pol´ıgono i (N F Pi,j).
entados e, como tal, o exterior do pol´ıgono corresponde ao lado esquerdo das arestas.
Desta defini¸c˜ao constata-se imediatamente que:
• se o ponto de referˆencia do pol´ıgono j (Rj) estiver no interior do in- v´olucro de posicionamento N F Pi,j, ent˜ao existe sobreposi¸c˜ao entre os pol´ıgonos i e j;
• se o ponto de referˆencia do pol´ıgono j (Rj) estiver na fronteira do inv´o- lucro de posicionamento N F Pi,j, ent˜ao o pol´ıgono j est´a em contacto, do lado exterior, com o pol´ıgono i;
• se o ponto de referˆencia do pol´ıgono j (Rj) estiver no exterior do
inv´olucro de posicionamento N F Pi,j, ent˜ao n˜ao existe sobreposi¸c˜ao nem contacto entre os pol´ıgonos i e j.
Conv´em referir que o inv´olucro de posicionamento n˜ao ´e uma opera¸c˜ao sim´etrica, j´a que o inv´olucro de posicionamento de j em rela¸c˜ao a i (N F Pi,j) n˜ao ´e igual ao inv´olucro de posicionamento de i em rela¸c˜ao a j (N F Pj,i). No
entanto e como as figuras 3.4 e 3.5 mostram, o inv´olucro de posicionamento
N F Pj,ipode ser obtido a partir do inv´olucro de posicionamento N F Pi,jpela aplica¸c˜ao de uma rota¸c˜ao de 180 graus.
A utiliza¸c˜ao do inv´olucro de posicionamento permite transformar o pro-
blema de analisar a posi¸c˜ao relativa de dois pol´ıgonos, no problema bem
mais simples de analisar a posi¸c˜ao relativa de um ponto (o ponto de referˆen- cia do pol´ıgono orbital) face a um pol´ıgono (o inv´olucro de posicionamento). Com base no inv´olucro de posicionamento entre dois pol´ıgonos ´e poss´ıvel es- tabelecer as condi¸c˜oes de n˜ao sobreposi¸c˜ao entre os pol´ıgonos. A aplica¸c˜ao
Figura 3.5: Simetria do inv´olucro de posicionamento do pol´ıgono i relativa- mente ao pol´ıgono j (N F Pj,i).
de inv´olucros de posicionamento na resolu¸c˜ao de problemas de PFI permite obter padr˜oes de corte compactos e sem sobreposi¸c˜oes.
A dificuldade de determina¸c˜ao do inv´olucro de posicionamento entre dois pol´ıgonos depende muito das caracter´ısticas dos dois pol´ıgonos, em especial
da existˆencia ou n˜ao de concavidades nos pol´ıgonos. No caso dos dois po-
l´ıgonos serem convexos, a determina¸c˜ao do inv´olucro de posicionamento ´e relativamente simples, ficando mais complicada na presen¸ca de pol´ıgonos n˜ao
convexos. Em [Agarwal et al., 2002] s˜ao referidas ordens de grandeza para o
tempo de c´alculo do inv´olucro de posicionamento entre v´arios tipos de pol´ı-
gonos (m e n representam o n´umero de arestas de cada um dos pol´ıgonos):
O(m + n) quando os dois pol´ıgonos s˜ao convexos, O(mn log mn) quando s´o
o pol´ıgono orbital ´e convexo. Quando nenhum dos pol´ıgonos ´e convexo, os
mesmos autores indicam O(m2n2) como sendo um limite superior apertado
para o tempo de determina¸c˜ao do inv´olucro de posicionamento.
Existem v´arias alternativas para determinar inv´olucros de posiciona-
mento. Mahadevan [1984] apresenta uma descri¸c˜ao compreensiva de um
algoritmo para gera¸c˜ao de inv´olucros de posicionamento baseado no esquema de deslizamento orbital. Em [Oliveira, 1995] ´e apresentada uma extens˜ao ao
trabalho de Mahadevan [1984] que considera inv´olucros de posicionamento
com pontos de multiplicidade superior a um e que se encontra implemen-
tada na biblioteca geom´etrica utilizada neste trabalho. Os algoritmos de
determina¸c˜ao de inv´olucros de posicionamento baseados em deslizamentos
orbitais podem ser aplicados a pol´ıgonos n˜ao convexos. Este tipo de algorit- mos apresentam no entanto problemas, quando um dos pol´ıgonos apresenta reentrˆancias apertadas, pelas quais o outro pol´ıgono n˜ao pode deslizar, e que se alargam no interior do pol´ıgono.
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baseia-se em percorrer as arestas dos pol´ıgonos originais, ordenadas com base
nos respectivos ˆangulos. Ghosh [1991] apresenta um algoritmo baseado nesta
abordagem capaz de lidar com formas n˜ao convexas que n˜ao se entrelacem.
Bennell et al. [2001] apresenta uma extens˜ao ao algoritmo de Ghosh [1991],
que remove esta limita¸c˜ao.
Uma terceira alternativa consiste em utilizar uma estrat´egia baseada
na decomposi¸c˜ao em pol´ıgonos convexos. O inv´olucro de posicionamento
de dois pol´ıgonos convexos ´e uma opera¸c˜ao trivial. Nesta estrat´egia a di- ficuldade do c´alculo do inv´olucro de posicionamento ´e transferida para a decomposi¸c˜ao convexa dos pol´ıgonos n˜ao convexos. Flato [2000] apresenta
um algoritmo baseado nesta estrat´egia. Os inconvenientes desta estrat´e-
gia, para al´em do problema da decomposi¸c˜ao em pol´ıgonos convexos, s˜ao a necessidade de calcular e gerir um grande n´umero de inv´olucros de posicio- namento e ´e necess´ario uma particular aten¸c˜ao `as jun¸c˜oes de dois inv´olucros de posicionamento parcelares.
Stoyan et al. [2004] apresenta uma abordagem para determinar Φ-Fun-
ctions, que tamb´em pode ser utilizada para gerar inv´olucros de posiciona-
mento. Esta abordagem tamb´em se baseia na decomposi¸c˜ao dos pol´ıgonos
em formas prim´arias (c´ırculos, rectˆangulos, pol´ıgonos regulares e pol´ıgonos convexos), para as quais os autores, num trabalham anterior [Stoyan et al., 2002], tinham desenvolvido as express˜oes anal´ıticas das Φ-Functions.