as observa¸c˜oes. Esta s´erie ser´a chamada CO e ´e dada por:
genr CO = 1
Em seguida deve-se gerar um grupo contendo CO, X1, X2 e X3 e nomear como GRUPO01. Para isso digita-se a seguinte instru¸c˜ao na janela de comandos:
group GRUPO01 CO X1 X2 X3
Em seguida, convertemos o grupo GRUPO01 em matriz: matrix X = @convert(group01)
Deve-se agora gerar a matriz XLX (=X0X): matrix XLX = @transpose(X)*X
Um importante fato a ser lembrado ´e que o EViews s´o gera autovalores associados a matrizes sim´etricas, de tal forma que teremos que converter a matriz XLX em um objeto reconhecido pelo EViews como uma matriz sim´etrica4:
sym XLXS = XLX
O comando a seguir gera um vetor nomeado autovalxlx que conter´a os autovalores associ- ados `a matriz XLX:
vector autovalxlx = @eigenvalues(xlxs)
Finalmente, o vetor nc gerado como na instru¸c˜ao a seguir, ir´a conter o n´umero de condi¸c˜ao e o vetor ic ir´a conter o ´ındice de condi¸c˜ao
vector nc = @max(autovalxlx)/@min(autovalxlx)
vector ic = (@max(autovalxlx)/@min(autovalxlx))^0.5 ´
E interessante notar o componente intuitivo deste detector de multicolinearidade. Uma propriedade dos autovalores de uma matriz quadrada A qualquer estabelece que o produto de seus autovalores ´e igual ao determinante de A. Evidentemente, se o determinante for zero, caso onde h´a perfeita colinearidade, pelo menos um dos autovalores ser´a zero. Entretanto, o caso de colinearidade perfeita ´e quase t˜ao raro quanto o caso de vari´aveis explicativas ortogonais. Conclui-se que, `a medida que a colinearidade aumenta, pelo menos um dos autovalores tende a assumir um valor reduzido, garantindo a propriedade citada dos autovalores. O resultado ´e uma alta raz˜ao entre o maior e o menor autovalor associados `a XLX nos casos em que h´a ind´ıcio de multicolinearidade.
16.2
Formas de corrigir a multicolinearidade
Assim como no caso da detec¸c˜ao, muitas op¸c˜oes surgem para corre¸c˜ao da multicolinearidade, entretanto cada uma delas apresenta vantagens e desvantagens, de modo que n˜ao h´a uma orien- ta¸c˜ao infal´ıvel. A presente se¸c˜ao tem como objetivo apresentar os principais meios de corre¸c˜ao
4
Note precisamos criar um objeto do tipo sym idˆentico a XLX, embora XLX seja sim´etrica, pois o EViews n˜ao a reconhece como tal.
180 CAP´ITULO 16. MULTICOLINEARIDADE de multicolinearidade utilizados em trabalhos emp´ıricos acompanhados de esclarecimentos opor- tunos, bem como de exemplos computacionais.
01) Exclus˜ao de vari´aveis: este procedimento pode conduzir a um vi´es ou erro de especifi- ca¸c˜ao. Neste caso basta selecionar Estimate na barra de ferramentas da equa¸c˜ao e conduzir a reespecifica¸c˜ao.
02) Uso de informa¸c˜oes a priori: refere-se `a utiliza¸c˜ao de uma informa¸c˜ao j´a gerada, ou seja, de um parˆametro calculado em um estudo semelhante. Para tanto, considere que no modelo
Yi = bβ0+ bβ1X1i+ bβ2X2i+ bβ3X3i+ ei
o pesquisador decidiu usar bβ3 = 0.65, retirado de um estudo de caracter´ısticas semelhantes. O
modelo passa ent˜ao a ser:
Yi= bβ0+ bβ1X1i+ bβ2X2i+ 0.65X3i+ ei
Yi− 0.65X3i= bβ0+ bβ1X1i+ bβ2X2i+ ei
Desta forma Yi− 0.65X3i passa a ser a nova vari´avel dependente. Precisamos, portanto,
gerar esta s´erie Y modificada, dada por: genr Ymodif = Y-0.65*X3
equation eq01.ls Ymodif c x1 x2
A equa¸c˜ao eq01 informar´a os parˆametros que devem ser substitu´ıdos no modelo original, juntamente com bβ3 = 0.65.
03) Transforma¸c˜ao de vari´aveis: A tabela 16.1 apresenta alguns exemplos de transforma¸c˜oes de vari´aveis no EViews.
Tabela 16.1: Exemplos de transforma¸c˜oes de vari´aveis no EViews
Nome da fun¸c˜ao Descri¸c˜ao Especifica¸c˜ao no EViews
Combina¸c˜ao Linear Ybi = β0+ β1(Xi+ Zi) Y C X+Z Primeira diferen¸ca Ybt= β0+ β1(Xt− Xt−1) Y C D(X) Primeira Diferen¸ca do Logar-
itmo
b
Yt= β0+ β1(ln Xt− ln Xt−1) Y C DLOG(X)
Mudan¸ca percentual de um per´ıodo (em decimal)
b
Yt= β0+ β1[(Xt− Xt−1)/Xt] Y C PCH(X)
04) Aumentar o tamanho da amostra: Uma poss´ıvel causa da multicolinearidade pode ser informa¸c˜ao amostral inadequada. Nesse sentido, uma solu¸c˜ao ´obvia passa a ser a obten¸c˜ao de mais (e melhores) informa¸c˜oes.
A inclus˜ao de novas observa¸c˜oes como modo de solucionar a multicolinearidade s´o ser´a bem sucedida nos casos em que a ocorrˆencia de multicolinearidade estiver associada `a forma como foi obtida a amostra, como o exemplo dado por Hayashi (2000) citado anteriormente. Caso a multicolinearidade seja decorrente de uma real rela¸c˜ao entre as vari´aveis explicativas, a simples inclus˜ao de observa¸c˜oes n˜ao dever´a ter efeitos substanciais. Al´em disso, a obten¸c˜ao de novas observa¸c˜oes ´e normalmente muito dif´ıcil ou at´e imposs´ıvel.
16.2. FORMAS DE CORRIGIR A MULTICOLINEARIDADE 181 Os dois m´etodos de corre¸c˜ao de multicolinearidade apresentados a seguir (Regress˜ao de Ridge e Componentes Principais) s˜ao mais sofisticados que os apresentados at´e o momento. Espera-se, entretanto, que o entendimento seja facilitado com os exemplos computa- cionais a partir dos dados obtidos em Malinvaud (1968), reproduzidos no apˆendice do presente cap´ıtulo.
Os dados referem-se `a economia francesa no per´ıodo 1949-1966. O modelo a ser estimado ´e apresentado a seguir:
Yi = β0+ β1X1i+ β2X2i+ β3X3i+ εi
onde as vari´aveis (todas medidos em bilh˜oes de francos franceses) s˜ao definidas como: Yt = importa¸c˜oes no per´ıodo t.
X1t = produ¸c˜ao dom´estica no per´ıodo t.
X2t = forma¸c˜ao de estoques no per´ıodo t.
X3t = consumo dom´estico no per´ıodo t.
Os resultados da estima¸c˜ao do modelo anterior s˜ao apresentados na figura 16.3. Figura 16.3: Resultado da estima¸c˜ao do per´ıodo 1949-1966
Nota-se claramente que h´a fortes ind´ıcios de multicolinearidade, uma vez que o R2 ´e alto (0.975) e as estat´ısticas t indicam que nenhum coeficiente (al´em do intercepto) ´e estatisticamente significante.
O gr´afico dos res´ıduos da regress˜ao estimada apresenta um padr˜ao bem definido, sugerindo que o modelo n˜ao est´a bem especificado. Desse modo, devemos corrigir a multicolinearidade apenas depois de resolvido este problema de especifica¸c˜ao.
Figura 16.4: Res´ıduos da estima¸c˜ao do per´ıodo 1949-1966
A dificuldade com este modelo decorre do fato de que o Mercado Comum Europeu iniciou suas atividades em 1960, causando altera¸c˜oes na rela¸c˜ao importa¸c˜ao/importa¸c˜ao. Uma vez que o objetivo do presente cap´ıtulo ´e analisar t˜ao somente a multicolinearidade, n˜ao iremos complicar o modelo incluindo as observa¸c˜oes ap´os 1959. Desse modo, assumiremos que estamos no ano de 1960 e dispomos apenas das observa¸c˜oes referentes ao per´ıodo 1949-1959. Os resultados da estima¸c˜ao do modelo no per´ıodo referido est˜ao apresentados na figura 16.5.
Figura 16.5: Resultado da estima¸c˜ao do per´ıodo 1949-1959
O coeficiente estimado de X1 ´e negativo e n˜ao significante, contrariando as expectativas a
priori. Acredita-se que, mantidos o consumo dom´estico e a forma¸c˜ao de estoques constantes, um aumento na produ¸c˜ao dom´estica ir´a causar aumento nas importa¸c˜oes, provavelmente devido a mat´erias-primas e/ou equipamentos.
Os res´ıduos da regress˜ao apresentada na figura 16.5 s˜ao satisfat´orios, uma vez que n˜ao exibem padr˜ao definido como no caso anterior. Est´a claro portanto que o modelo a ser utilizado nas
182 CAP´ITULO 16. MULTICOLINEARIDADE
Figura 16.6: Res´ıduos da estima¸c˜ao do per´ıodo 1949-1959
duas formas de corre¸c˜ao da multicolinearidade ser´a o modelo original, entretanto o per´ıodo ser´a restrito ao intervalo 1949-1959.
05) Regress˜ao de Ridge: Na presen¸ca de multicolinearidade imperfeita, os estimadores de m´ınimos quadrados continuam n˜ao viesados, entretanto suas variˆancias s˜ao infladas, como visto anteriormente. Sabe-se ainda pelo teorema de Gauss-Markov que dentro da classe dos esti- madores lineares e n˜ao viesados, os de m´ınimos quadrados possuem a menor variˆancia. Conse- q¨uentemente, uma certa aten¸c˜ao tem sido voltada para o uso de estimadores viesados de β, na esperan¸ca de que suas variˆancias menores compensem o vi´es.
O erro quadr´atico m´edio (EQM) ´e definido como
E( bβ − β)2 = V ar( bβ) + [V i´es( bβ)]2 (16.14) No formato matricial, temos que o EQM do estimador de m´ınimos quadrados de β ´e dado por
E[( bβ − β)0( bβ − β)] (16.15)
mas note que
b β = (X0X)−1X0Y = β + (X0X)−1X0ε (16.16) b β − β = (X0X)−1X0ε (16.17) Desse modo, E[( bβ − β)0( bβ − β)] = E[ε0X(X0X)−1(X0X)−1X0ε] (16.18) como ε0X(X0X)−1(X0X)−1X0ε ´e um escalar, ε0X(X0X)−1(X0X)−1X0ε = tr[ε0X(X0X)−1(X0X)−1X0ε] (16.19) logo, E[( bβ − β)0( bβ − β)] = E{tr[ε0X(X0X)−1(X0X)−1X0ε]} = E{tr[(X0X)−1X0εε0X(X0X)−1]} = tr[(X0X)−1X0E(εε0)X(X0X)−1] = tr[σ2(X0X)−1] = σ2tr(X0X)−1= σ2 k X j=1 λ−1j (16.20)
16.2. FORMAS DE CORRIGIR A MULTICOLINEARIDADE 183 onde λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λk s˜ao os autovalores de X0X. Pelo procedimento de detec¸c˜ao de
multicolinearidade com o uso do n´umero de condi¸c˜ao percebe-se que existe a tendˆencia de que a multicolinearidade esteja associada a baixos autovalores de X0X. Desse modo, percebe-se que o EQM dado por σ2Pk
j=1λ −1
j tende a ser elevado, indicando imprecis˜ao no m´etodo de m´ınimos
quadrados, muito embora este permane¸ca n˜ao viesado.
Como mostram Judge e Bock (1983), a transforma¸c˜ao de estimadores n˜ao viesados frequente- mente resulta em estimadores viesados. Hoerl e Kennard (1970) sugeriram estimadores viesados denominados “Estimadores de Ridge” com a seguinte especifica¸c˜ao
b
β(c) = [X0X+cI]−1X0Y (16.21)
E[ bβ(c)] = [X0X+cI]−1X0Xβ (16.22)
V ar[ bβ(c)] = σ2[X0X+cI]−1X0X[X0X+cI]−1 (16.23) onde c ´e uma constante positiva. ´E f´acil comprovar que o estimador de Ridge ´e viesado, a menos que c = 0 , entretanto apresenta matriz de variˆancia e covariˆancia menor que a do estimador de m´ınimos quadrados, uma vez que V ar[ bβ] − V ar[ bβ(c)] ´e positiva semidefinida para c > 0 .
A matriz [X0X+cI] que substitui (X0X) no estimador de m´ınimos quadrados apresenta n´umero de condi¸c˜ao menor que o de (X0X). Estes estimadores tˆem a propriedade de apre- sentarem EQM menor que o de bβ para valores adequados de c. Assim, bβ(c), apesar de viesado, resulta em um estimador mais est´avel para valores positivos de c.
A especifica¸c˜ao de estimadores da regress˜ao de Ridge decorre da defini¸c˜ao de estimadores de Rigde, da forma
b
βA= A−1X0Y
onde o n´umero de condi¸c˜ao da matriz A ´e menor que o de X0X. O exemplo que segue trata do modelo de regress˜ao m´ultipla do tipo
Yi = β0+ β1X1i+ β2X2i+ . . . + βkXki+ εi
representado matricialmente como
Y = Xβ + ε
Assumindo que X e Y foram transformados de modo que X0X e X0Y s˜ao matrizes de correla¸c˜ao (ver cria¸c˜ao da matriz X∗ na se¸c˜ao anterior), temos:
b
β(c) = [X0X+cI]−1X0Y
184 CAP´ITULO 16. MULTICOLINEARIDADE e β = [X0X+cI]−1X0Y [X0X+cI] eβ = X0Y onde [X0X+cI] = 1 r12 · · · r1k r21 1 · · · r2k .. . ... . .. ... rk1 rk2 · · · 1 + c 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · 1 = (1 + c) r12 · · · r1k r21 (1 + c) · · · r2k .. . ... . .. ... rk1 rk2 · · · (1 + c) e X0Y = r1Y r2Y .. . rkY
ent˜ao [X0X+cI] eβ = X0Y ´e dado por
(1 + c) r12 · · · r1k r21 (1 + c) · · · r2k .. . ... . .. ... rk1 rk2 · · · (1 + c) e β1 e β2 .. . e βk = r1Y r2Y .. . rkY
Resta-nos, portanto, atribuir valores para c at´e que a varia¸c˜ao dos coeficientes estimados seja suficientemente baixa para os prop´ositos do pesquisador. Em aplica¸c˜oes pr´aticas o valor de c est´a normalmente no intervalo (0, 1). A condu¸c˜ao do exeplo ilustrando o processo de escolha do valor de c segue o modelo apresentado em Chaterjee e Price (1991).
O programa descrito a seguir deve ser digitado na janela do objeto Program. Para criar um objeto desse tipo no EViews, deve-se selecionar File/New/Program no menu principal. Ser´a ent˜ao criado um objeto Program sem t´ıtulo (Untitled). Para salv´a-lo basta selecionar Save na barra de ferramentas do programa e indicar o local desejado. Uma vantagem de trabalhar no modo de programa¸c˜ao do EViews ´e que se pode fazer observa¸c˜oes e coment´arios ao longo do mesmo, bastando para isso come¸car o coment´ario com uma aspa simples ( ’). Faremos uso desse recurso para explicar o programa constru´ıdo.
16.2. FORMAS DE CORRIGIR A MULTICOLINEARIDADE 185 ’cria um workfile denominado ridge com dados anuais iniciando em 1949 e termi- nando em 1966
workfile ridge a 1949 1966
’cria as s´eries y, x1, x2 e x3 e preenche seus campos de acordo com os dados obti- dos em Malinvaud (1968) series y series x1 series x2 series x3 y.fill 15.9, 16.4, 19, 19.1, 18.8, 20.4, 22.7, 26.5, 28.1, 27.6, 26.3, 31.1, 33.3, 37, 43.3, 49, 50.3, 56.6 x1.fill 149.3, 161.2, 171.5, 175.5, 180.8, 190.7, 202.1, 212.4, 226.1, 231.9, 239, 258, 269.8, 288.4, 304.5, 323.4, 336.8, 353.9 x2.fill 4.2, 4.1, 3.1, 3.1, 1.1, 2.2, 2.1, 5.6, 5, 5.1, 0.7, 5.6, 3.9, 3.1, 4.6, 7, 1.2, 4.5 x3.fill 108.1, 114.8, 123.2, 126.9, 132.1, 137.7, 146, 154.1, 162.3, 164.3, 167.6, 176.8, 186.6, 199.7, 213.9, 223.8, 232, 242.9
’reduz o sample para o per´ıodo 1949-1959 e em seguida gera as s´eries yt, x1t, x2t e x3t de tal modo que o produto interno entre quaisquer destas s´eries gera como resposta a correla¸c~ao entre elas
smpl 1949 1959
genr yt=(y-@mean(y))/(@sumsq(y-@mean(y)))^.5 genr x1t=(x1-@mean(x1))/(@sumsq(x1-@mean(x1)))^.5 genr x2t=(x2-@mean(x2))/(@sumsq(x2-@mean(x2)))^.5 genr x3t=(x3-@mean(x3))/(@sumsq(x3-@mean(x3)))^.5
’cria os grupos g1 e g2 que ir~ao posteriormente ser convertidos nas matrizes g1 e g2, respectivamente
group g1 x1t x2t x3t group g2 1 x1 x2 x3 matrix xt=@convert(g1) matrix x=@convert(g2)
’cria o vetor coluna xyt contendo em cada uma de suas entradas a correla¸c~ao en- tre y e a s´erie x correspondente
vector xyt=@transpose(xt)*yt
’cria a matriz correl correspondente `a matriz de correla¸c~ao entre as s´eries x1, x2 e x3
matrix correl=@transpose(xt)*xt
’cria uma matriz 29x3 denominada estimativas para armazenar as estimativas de Ridge para os diversos valores de c
186 CAP´ITULO 16. MULTICOLINEARIDADE matrix(29,3) estimativas
’cria um vetor coluna com 29 linhas para armazenar os valores de c entre 0 e 1 vector(29) vk
’cria as matrizes i3 e i4 correspondendo a identidades de ordem 3 e 4, respec- tivamente
matrix i3=@identity(3) matrix i4=@identity(4)
’preenche os campos do vetor vc com n´umeros entre 0.001 e 1 for !i=1 to 9 vk(1+{!i})=0.001*{!i} vk(10+{!i})=0.01*{!i} vk(19+{!i})=0.1*{!i} vk(29)=1 next
’cria uma 29 matrizes denominadas A1, A2, ..., A29 e preenche seus campos com
a soma da matriz de correla¸c~ao das vari´aveis explicativas com a matriz c*I. Em seguida resolve os sistemas Ab=xyt, armazenando a solu¸c~ao de cada sistema nas matrizes incog1, incog2,..., incog29. Cria ent~ao os vetores linha beta1, beta2, ..., beta29 cor- respondendo `as matrizes incog1, incog2,..., incog29 transpostas. Finalmente, em- pilha os vetores coluna beta1, beta2, ..., beta29 usando o comando rowplace)de modo a compor a matriz denominada estimativas
for !j=1 to 29
matrix A{!j}=correl+vk({!j})*i3
matrix incog{!j}=@solvesystem(A{!j}, xyt) rowvector beta{!j}=@transpose(incog{!j}) rowplace(estimativas, beta{!j},{!j}) next
’amplia a matriz estimativas em uma coluna, de modo que esta deixa de ser 29x3 para ser 29x4
matrix(29,4) estimativas
’insere o vetor vc na quarta coluna da matriz estimativas colplace(estimativas,vc,4)
A figura 16.7 apresenta as estimativas de Ridge para os valores de c listados na quarta coluna. Em Chaterjee e Price (1991) o valor escolhido de c foi 0.04. A escolha desse n´umero deve-se tanto `a estabiliza¸c˜ao das estimativas da regress˜ao de Ridge quanto `a estabiliza¸c˜ao do FIV (o leitor ´e estimulado a conferir este resultado). A figura 16.8 apresenta a evolu¸c˜ao das estimativas de Ridge para os diferentes valores de c. A linha vertical indica o ponto em que c = 0.04.
Uma vez definido o valor de c = 0.04, constru´ımos um programa para gerar as estimativas de m´ınimos quadrados e de Ridge, tanto para as vari´aveis transformadas como para as vari´aveis
16.2. FORMAS DE CORRIGIR A MULTICOLINEARIDADE 187 medidas em suas unidades originais. As instru¸c˜oes a seguir podem ser digitadas tanto na janela de comandos quanto em um objeto do tipo Program. Trabalharemos no segundo para manter a linha de explica¸c˜ao no pr´oprio programa.
’gera um vetor denominado beta_ols_transf contendo as estimativas de m´ınimos quadrados para as vari´aveis transformadas
vector beta_ols_transf=@inverse(@transpose(xt)*xt)*@transpose(xt)*yt
’gera um vetor denominado beta_ols contendo as estimativas de m´ınimos quadra- dos para as vari´aveis em suas unidades originais
vector beta_ols=@inverse(@transpose(x)*x)*@transpose(x)*y
’gera um vetor denominado beta_ridge_transf contendo as estimativas de Ridge para as vari´aveis transformadas
vector beta_ridge_transf=@inverse(correl+0.04*i3)*@transpose(xt)*yt
’gera um vetor coluna denominado beta_ridge contendo quatro linhas para armazenar os valores das estimativas de Ridge para as vari´aveis em suas unidades originais
vector(4) beta_ridge
beta_ridge(2)=beta_ridge_transf(1)*(@stdev(y)/@stdev(x1)) beta_ridge(3)=beta_ridge_transf(2)*(@stdev(y)/@stdev(x2)) beta_ridge(4)=beta_ridge_transf(3)*(@stdev(y)/@stdev(x3))
beta_ridge(1)=@mean(y)-beta_ridge(2)*@mean(x1)-beta_ridge(3)*@mean(x2)-beta_ridge(4)*@mean(x3) 6) Componentes principais: Regress˜ao de componentes principais consiste basicamente em
um m´etodo de estima¸c˜ao baseado na redu¸c˜ao da dimens˜ao do problema. Seja o modelo
Seja a matriz cujas colunas s˜ao os autovetores de ordenados de acordo com os autovalores correspondentes de ordem crescente. assim definida ´e ortogonal ( ). Considere agora a transfor- ma¸c˜ao:
onde e .
A matriz definida acima ´e conhecida como matriz de componentes principais e , onde ´e o i-´esimo maior autovalor associado a .
O estimador de componentes principais de ´e obtido pela exclus˜ao de uma ou mais vari´aveis , seguido da aplica¸c˜ao de m´ınimos quadrados ordin´arios ao modelo restante e da transforma¸c˜ao de volta ao espa¸co param´etrico original.
EViews n˜ao disp˜oe de fun¸c˜ao relacionada a componentes principais, entretanto o leitor ´e convidado a operacionalizar este estimador. Para este prop´osito, a parte 02 deste manual ´e suficiente. O leitor interessado em informa¸c˜oes mais detalhadas pode consultar as obras de referˆencia, notadamente Judge et al (1985) e (1988) e Castelar (2001).
APˆENDICE 1: Vari´aveis explicativas ortogonais
Suponha que no modelo , as colunas da matriz X s˜ao todas n˜ao correlacionadas, ou seja, s˜ao ortogonais.
Se X0 a Xk (em que X0 ´e o vetor de uns) s˜ao mutuamente ortogonais, temos que o produto interno euclidiano entre eles ´e zero . Assim a matriz X’X ´e diagonal:
188 CAP´ITULO 16. MULTICOLINEARIDADE representando como produto interno euclidiano entre Xi e Xj . Temos, portanto que: Logo, ´e a soma dos quadrados dos elementos de Xi , portanto a matriz X’X no caso de vari´aveis explicativas ortogonais ´e diagonal, contendo na sua diagonal principal a soma dos quadrados dos elementos de cada vari´avel explicativa, al´em do tamanho da amostra n.
Para obter , considere o exemplo a seguir:
Isto d´a porque, se X’X ´e diagonal, (X’X)-1 tamb´em o ´e. logo,
Pela constru¸c˜ao de , percebemos que o valor estimado de cada parˆametro, devido `a forma de X’X, s´o depende da vari´avel relativa ao parˆametro e do vetor de vari´aveis dependentes. Assim sendo, a estima¸c˜ao de um novo parˆametro pode ser feita independentemente dos demais. Evidentemente, haver´a altera¸c˜ao no desvio padr˜ao e consequentemente na estat´ıstica t de cada parˆametro.
Para checarmos as afirma¸c˜oes anteriores no Eviews, considere os dados experimentais apre- sentados na tabela A1.1.
TABELA A1.1: EXEMPLO DE VARI ´AVEIS EXPLICATIVAS ORTOGONAIS
Y CO X1 X2 X3 0.00 1 -7 -7 7 0.06 1 -5 5 -13 0.18 1 -3 7 -3 y = 0.40 X = 1 -1 3 9 0.59 1 1 -3 9 0.67 1 3 -7 -3 0.54 1 5 -5 -13 0.40 1 7 7 7 X’X ´e dado por: group group01 co X1 X2 X3 matrix X = @convert(group01) matrix XlX = @transpose(x)*x
Logo, X’X = XLX. Primeiramente, conferimos que a correla¸c˜ao entre as vari´aveis explicativas ´
e zero. Para isto, selecionamos View / Correlations.na barra de ferramentas do grupo GROUP01. O resultado ´e apresentado abaixo:
FIGURA A1.1: MATRIZ DE CORRELA ¸C ˜AO DAS S ´ERIES X1, X2 E X3
Comprovamos sem problemas que as vari´aveis s˜ao realmente n˜ao correlacionadas. ´e obtida da forma usual. Para encontrarmos , fazemos:
vector YI = @convert(Y) matrix ID = @identity(8) matrix M = ID - X*@inverse(xlx)*@transpose(x) vector e = M*YI vector S2=(@transpose(e)*e)/(8-3) matrix MVC = S2(1)*@inverse(xlx)
Como X’X ´e diagonal, o mesmo vale para (X’X)-1 e consequentemente para MVC. FIGURA A1.2: MATRIZ DE VARI ˆANCIA E COVARI ˆANCIA DOS COEFICIENTES ESTIMADOS , e
Finalmente, para mostrarmos que a inclus˜ao de uma vari´avel explicativa n˜ao altera o coefi- ciente das demais no caso de vari´aveis explicativas ortogonais, fa¸camos o seguinte: