Teste para omiss˜ ao de vari´ aveis teste da raz˜ ao de verossimilhan¸ ca (RV)

Este teste possibilita verificar se um subconjunto de vari´aveis adicionadas a uma equa¸c˜ao exerce ou n˜ao uma contribui¸c˜ao significante na explica¸c˜ao da varia¸c˜ao da vari´avel dependente. A hip´otese nula ´e de que o conjunto de regressores adicionais n˜ao ´e estatisticamente significante.

Vejamos como se conduz uma estima¸c˜ao por m´axima verossimilhan¸ca em um modelo de regress˜ao simples, para em seguida deduzirmos a estat´ıstica de teste da raz˜ao de verossimilhan¸ca. Considere o modelo simples abaixo:

Como os ui’s se distribuem identicamente e independentemente normal, temos que o mesmo ocorre com os Yi’s (considerando X n˜ao estoc´astico). Deste modo, a fun¸c˜ao densidade de prob- abilidade conjunta pode ser escrita como o produto das n fun¸c˜oes de densidade individuais:

A fun¸c˜ao ´e chamada de fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca. Os parˆametros estimados pelo m´etodo da m´axima verossimilhan¸ca (MV) s˜ao aqueles que maximizam . Torna-se conveniente maximizar o log natural da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca, uma vez que a fun¸c˜ao se torna mais simples e os valores dos parˆametros que maximizam s˜ao os mesmos que maximizam .

14.3. TESTES PARA OS COEFICIENTES 145 Maximizaremos primeiramente com respeito a e em seguida com rela¸c˜ao a . Note que apenas o terceiro termo da ´ultima express˜ao de envolve e , e maximizar este termo equivale a minimizar , de modo que os estimadores de MV de e s˜ao precisamente iguais aos estimadores de m´ınimos quadrados. Note que, apesar deste exemplo tratar do caso de regress˜ao simples, o mesmo pode ser dito para regress˜ao m´ultipla.

Substituindo por e por em , segue que a fun¸c˜ao de MV ´e agora apenas fun¸c˜ao de :

onde ´e a soma dos quadrados dos res´ıduos (SQR). Pela condi¸c˜ao de primeira ordem para maximiza¸c˜ao, temos que

.

Note que este estimador ´e diferente do estimador n˜ao viesado . Entretanto, para n grande, as estimativas dos dois m´etodos s˜ao bastante pr´oximas. O m´etodo de MV ´e um m´etodo de estima¸c˜ao para grandes amostras . Substituindo em , temos:

Conclui-se, portanto que, Aplicando antilog,

Considere a raz˜ao , onde ´e o valor da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca restrita avaliada nos parˆamet- ros estimados por MV e ´e o valor da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca irrestrita avaliada nos parˆametros estimados por MV. Mostraremos a seguir que para calcular a estat´ıstica do teste da raz˜ao de verossimilhan¸ca, precisamos apenas das SQR’s dos modelos sob teste.

Percebe-se claramente que ´e necessariamente menor ou igual a 1, uma vez que o m´aximo restrito ser´a sempre menor ou igual ao m´aximo irrestrito. Se as restri¸c˜oes n˜ao forem v´alidas, ser´a significativamente menor que 1. Se as restri¸c˜oes forem v´alidas, ser´a pr´oximo de 1.

Substituindo e em , temos:

Aplicando logaritmo natural (ln) em ambos os lados, temos: onde m ´e o n´umero de restri¸c˜oes.

Conclu´ımos assim que (Greene, 2000).

O relat´orio padr˜ao do EViews para um teste de omiss˜ao de vari´aveis informa o valor calculado das estat´ısticas F e da raz˜ao de verossimilhan¸ca (LR), associados aos respectivos valores-p. A estat´ıstica F ´e baseada na diferen¸ca entre a soma dos quadrados dos res´ıduos do modelo restrito e irrestrito.

onde ´e o vetor de res´ıduos do modelo restrito. Se a restri¸c˜ao for v´alida, deve haver uma pequena diferen¸ca entre a soma dos quadrados dos res´ıduos restrito e irrestrito, de modo que o valor de F deve ser baixo.

O teste da raz˜ao de verossimilhan¸ca ´e dado por:

onde ´e o log da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca restrita e ´e o log da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca irrestrita. A estat´ıstica LR segue distribui¸c˜ao com n´umero de graus de liberdade igual ao n´umero de restri¸c˜oes do modelo (m), isto ´e, o n´umero de vari´aveis adicionadas.

IMPORTANTE: O teste s´o est´a dispon´ıvel se a equa¸c˜ao for especificada como lista de re- gressores, e n˜ao como f´ormula.

146CAP´ITULO 14. REGRESS ˜AO M ´ULTIPLA, ESPECIFICA ¸C ˜AO E TESTES DE DIAGN ´OSTICOS Exemplo 14.9 Continuando com os dados da fun¸c˜ao de demanda de frangos utilizados na ilustra¸c˜ao do teste de Wald (exemplo 14.7), considere a seguinte fun¸c˜ao demanda restrita:

Para gerar a regress˜ao, entramos com o comando ls log(Y) C log(X2) log(X3)

na janela de comandos. A regress˜ao calculada ´e apresentada na figura 14.25.

Recomenda-se salvar a equa¸c˜ao como EQ02 (basta selecionar Name na barra de ferramentas do workfile e digitar o nome sugerido em Name to identify object).

Queremos testar se a vari´avel explicativa LOG(X6) est´a ou n˜ao sendo omitida corretamente do modelo. A hip´otese nula ´e que a fun¸c˜ao demanda restrita ´e verdadeira, ou seja, que LOG(X6) deve realmente ser omitida.

Figura 14.24:

FIGURA 14.25: RELAT ´ORIO DE RESULTADOS DA EQUA ¸C ˜AO RESTRITA DO EX- EMPLO 14.9

A estat´ıstica do teste da RV (LR) ´e obtida por

Para gerar o vetor com a estat´ıstica do teste da RV, denominado TESTERV, deve-se seguir o comando abaixo:

vector TESTERV = -2(EQ02.@LOGL - EQ01.@LOGL) Uma outra forma de gerar TESTERV ´e:

vector TESTERV = 23*(LOG(EQ02.@SSR)-LOG(EQ01.@SSR)) Um duplo clique sobre o vetor TESTERV e visualizamos o resultado.

Figura 14.25: FIGURA 14.26: VETOR TESTERV

Veremos agora que este resultado, o qual acabamos de gerar ´e exatamente o que o EViews retorna quando estamos testando a omiss˜ao de vari´aveis em um modelo. Para realizar este teste diretamente no EViews, devemos selecionar:

1. View / Coefficients Tests / Omitted Variables - Likelihood Ratio... na barra de ferramentas da equa¸c˜ao EQ02 (restrita).

2. Digitar a restri¸c˜ao a ser testada, LOG(K), em One or more test series e clique em OK. ´

E importante perceber o motivo pelo qual o teste ´e realizado na EQ02 e n˜ao na EQ01. Isto ocorre em raz˜ao de estarmos testando se a vari´avel explicativa LOG(X6) est´a sendo omitida erroneamente do modelo. Como o modelo irrestrito EQ01 j´a cont´em LOG(K), ent˜ao esta vari´avel n˜ao pode estar sendo omitida nesta equa¸c˜ao. O resultado do teste ´e apresentado na figura 14.27.

14.3. TESTES PARA OS COEFICIENTES 147 FIGURA 14.27: RELAT ´ORIO DO TESTE DE OMISS ˜AO DE VARI ´AVEIS PARA A HIP ´OTESE

NULA DE QUE A VARI ´AVEL LOG(X6) EST´A CORRETAMENTE OMITIDA

A estat´ıstica F apresentada baseia-se na diferen¸ca entre a soma dos quadrados dos res´ıduos dos modelos restrito e irrestrito. Com base no resultado acima, conclu´ımos pela n˜ao rejei¸c˜ao da hip´otese nula de que a fun¸c˜ao demanda restrita ´e verdadeira (valor-p 0,61), ou seja, no per´ıodo analisado n˜ao h´a rela¸c˜ao linear estatisticamente significante entre LOG(Y) e LOG(X6).

14.3.3 Teste para vari´aveis redundantes- teste da raz˜ao de verossimilhan¸ca (RV)

O teste para vari´aveis redundantes permite que seja testada a significˆancia estat´ıstica de um subconjunto das vari´aveis inclu´ıdas na regress˜ao. Mais formalmente, o teste verifica se um subconjunto de vari´aveis na equa¸c˜ao tem coeficientes iguais a zero, e sendo assim, poderia ser exclu´ıdo da equa¸c˜ao. Note que, assim como o teste para omiss˜ao de vari´aveis, o teste para vari´aveis redundantes s´o est´a dispon´ıvel se a equa¸c˜ao for especificada como lista de regressores, e n˜ao como f´ormula.

Exemplo 14.10 Considerando os dados do exemplo 14.8, utilize o teste da raz˜ao de verossim- ilhan¸ca (RV) para justificar sua escolha entre um dos modelos abaixo:

Queremos testar se a vari´avel ´e redundante na especifica¸c˜ao irrestrita com base no teste da raz˜ao de verossimilhan¸ca. Sabemos que este teste requer que as duas equa¸c˜oes (restrita e irrestrita) sejam estimadas. A regress˜ao irrestrita , denominada EQ01 j´a foi estimada no exemplo 14.8. O resultado desta estima¸c˜ao foi devidamente apresentado na figura 14.22.

Para conduzir o teste diretamente no EViews, devemos selecionar View / Coefficients Tests / Redundant Variables - Likelihood Ratio... na barra de ferramentas da equa¸c˜ao EQ01 (irrestrita) e digitar a restri¸c˜ao a ser testada, LOG(K), em One or more test series e clicar em OK. O resultado do teste ´e apresentado na figura 14.28.

Figura 14.27:

FIGURA 14.28: RELAT ´ORIO DO TESTE DE VARI ´AVEIS REDUNDANTES PARA A

HIP ´OTESE NULA DE QUE A VARI ´AVEL LOG(K) ´E REDUNDANTE ´

E importante perceber o motivo pelo qual o teste ´e realizado na equa¸c˜ao irrestrita. Isto ocorre em raz˜ao de estarmos testando se a vari´avel explicativa LOG(K) ´e redundante no modelo. Como o modelo restrito n˜ao cont´em LOG(K), ent˜ao esta vari´avel n˜ao pode ser redundante neste modelo.

Juntamente com o resultado do teste o EViews apresenta a estima¸c˜ao da equa¸c˜ao restrita . Com base no resultado do teste, conclu´ımos pela rejei¸c˜ao da hip´otese nula de que LOG(K) ´e uma vari´avel redundante no modelo , de modo que decidimos pela sua permanˆencia na especifica¸c˜ao. Exemplo 14.11 Com base na fun¸c˜ao demanda por moeda do exemplo 14.1, como vocˆe decidiria se a vari´avel explicativa taxa de juros deve ou n˜ao ser mantida no modelo? Devemos ent˜ao, fazer a op¸c˜ao entre um dos modelos abaixo:

Modelo restrito: Modelo irrestrito:

148CAP´ITULO 14. REGRESS ˜AO M ´ULTIPLA, ESPECIFICA ¸C ˜AO E TESTES DE DIAGN ´OSTICOS Modelo restrito:

Modelo irrestrito:

A estima¸c˜ao do modelo irrestrito foi feita no exemplo 14.1. O resultado ´e convenientemente reapresentado na figura 14.29.

Figura 14.28:

FIGURA 14.29: RELAT ´ORIO DE RESULTADOS DO EXEMPLO 14.11

Para conduzir este teste, devemos selecionar View / Coefficients Tests / Redundant Variables - Likelihood Ratio... na barra de ferramentas da equa¸c˜ao EQ01 (irrestrita) e digitar a restri¸c˜ao a ser testada, LOG(I), em One or more test series. O resultado do teste ´e apresentado na figura 14.30.

Figura 14.29:

FIGURA 14.30: RELAT ´ORIO DO TESTE DE VARI ´AVEIS REDUNDANTES PARA A

HIP ´OTESE NULA DE QUE A VARI ´AVEL LOG(I) ´E REDUNDANTE

Com base no resultado do teste, apresentado na figura 14.30, conclu´ımos pela n˜ao rejei¸c˜ao da hip´otese nula de que LOG(I) ´e uma vari´avel redundante no modelo .

14.4

Especifica¸c˜ao e testes de estabilidade

O EViews oferece uma variedade de testes estat´ısticos que examinam se os parˆametros do modelo s˜ao est´aveis ao longo de v´arios subper´ıodos da amostra.

Uma t´ecnica emp´ırica bastante utilizada consiste em dividir as T observa¸c˜oes totais em um grupo com T1 observa¸c˜oes e outro grupo com as T2 (=T-T1) observa¸c˜oes restantes. As T1 observa¸c˜oes seriam usadas na estima¸c˜ao do modelo e as T2 observa¸c˜oes usadas para testar a estabilidade. Ao usar toda a amostra dispon´ıvel na estima¸c˜ao, estamos buscando um conjunto de parˆametros estimados que melhor se ajuste ao conjunto espec´ıfico de dados. Em dados de s´eries temporais, tomam-se usualmente as T1 primeiras observa¸c˜oes para estimar e testar as T2 ´

ultimas. No caso de dados do tipo cross-section, pode-se orden´a-los de acordo com uma das vari´aveis e usar um subconjunto da amostra para teste.

N˜ao h´a regra exata para definir o tamanho de T1 e T2. Em alguns casos existem pon- tos nos quais ´e prov´avel que haja quebra estrutural - como no caso de guerras, mudan¸ca pol´ıtica/econˆomica relevante, por exemplo. Quando n˜ao h´a raz˜ao a priori para esperar uma quebra estrutural, uma regra pr´atica comumente usada consiste em utilizar cerca de 85% a 90% das observa¸c˜oes na estima¸c˜ao e o restante no teste.