A fração como razão.

Uma razão é uma expressão de relação entre os elementos de um par ordenado de números, quantidades ou grandezas, portanto, a fração, quando associada a uma razão, expressa um índice comparativo.

Há situações em que o índice se refere à comparação de grandezas de mesma natureza. As comparações nesses casos poderão se dar entre uma parte e o todo, entre partes disjuntas e complementares, ou entre partes, que não sejam nem disjuntas e nem complementares.

Já foram apresentadas situações de comparação no item "frações como parte-todo e medida", em que se tomaram as frações como idéia de medida. No entanto, ali, as comparações interessavam enquanto uma forma de expressar o tamanho das partes, através da comparação com um inteiro, de tamanho conhecido. Aqui, não se interessa pelo tamanho da parte e nem do todo ou da outra parte, mas, somente a relação que existe entre elas.

Muitas vezes, estas expressões de comparação não são em si mesmas, um número. Pode-se dizer que em um determinado livro duas de cada três páginas (2 : 3 ou

3 2

se dizer, também, que a relação entre a votação dos candidatos numa eleição, foi de 3 por 4 (3 : 4) sem determinar o número de votantes ou total de votos obtido por cada candidato.

"Em itens anteriores as frações foram caracterizadas em situações de comparação parte-todo, mas algumas vezes as frações são usadas como um "índice comparativo" entre duas quantidades de uma grandeza. Assim nos encontramos com o uso das frações como razões. Nesse caso não existe de forma natural uma unidade (um "todo") como podia ocorrer entre outros casos (podemos entender isto como que a comparação pode ser bidirecional)".(Llinares & Sanches, 1988,p.67).

As frações mostrando a razão entre duas quantidades são de grande significação social, pois diariamente encontra-se necessidade de se fazer comparações. Estas influenciam nossos julgamentos formando a base para nossas ações. Quando os elementos usados nestas comparações são dados quantitativos, torna-se possível aplicar os conhecimentos matemáticos, apontando relações ou diferenças básicas. É o que se chama de comparação. Dentro da matemática a comparação pode ser feita sobre duas bases:

a) Expressando relação em termos de deficiência ou excesso;

b) Expressando relação em termos de comparação do tamanho relativo de duas grandezas.

Leva-se com esta segunda base à fração interpretada dentro da tão útil noção de razão. Vista neste sentido a fração torna-se essencialmente uma técnica de medir, pela qual uma determinada grandeza é comparada à outra, assim como “a unidade de medida”. Isto pode ser revertido. O que, originalmente, era comparado torna-se a base para comparação. A grandeza que era a base para comparação torna-se a coisa a ser comparada.

O sentido de fração, expressando comparação, está diretamente relacionado ao de medida, que a divisão possui. Segundo Caraça (1970), medir e contar são operações cujas realizações são exigidas durante a vida toda, de todas as pessoas, todos os dias e com maior freqüência pela dona de casa, ao fazer as suas provisões de roupa, pelo engenheiro, ao fazer o projeto de uma ponte, pelo operário, ao ajustar um instrumento de precisão, pelo agricultor, ao calcular a qualidade de semente a lançar à terra de que dispõe. Todas pessoas, nas mais variadas circunstâncias, quaisquer que sejam suas profissões, têm

necessidades de medir. Mas, o que é - medir? Todos sabem em que consiste o comparar duas grandezas de mesma espécie – dois comprimentos, dois pesos, dois volumes etc...(Caraça,1970, p.27).

Exemplo: Quero comparar 2 metros com 3 metros. Diz-se que a razão entre estas duas grandezas é de 2 para 3, ou

3 2

. Examinemos o diagrama:

A razão entre a medida do segmento AB e a medida de outro segmento CD é

3 2

(2 : 3) e, realmente, num abuso de linguagem “o segmento AB é

3 2

do segmento CD”.

Assim ele classifica o problema de medida: “três fases e três aspectos distintos - escolha da unidade; comparação com a unidade; expressão do resultado dessa comparação por um número”. Caraça (1970, p. 30).

Dentro da interpretação de fração como razão, entendemos que podem ser incluídas as idéias de frações aplicadas na indicação de probabilidade, escala e porcentagem.

4.2.3.1 A fração no estudo das “probabilidades”.

No estudo da Análise Combinatória e Probabilidade também encontramos situações que envolvem a idéia de fração.

Pode-se dar como exemplo a possibilidade de sortear uma bola branca de uma caixa, na qual existem 5 bolas brancas e 10 pretas (5 em 15, 5:15,

15 5 , 3 1 , etc.) ou ao se lançar um dado qual a probabilidade de sair um seis? E outras questões possíveis...

Llinares chama a atenção para o fato de ser conhecida a dificuldade que apresenta o estudo das probabilidades nos níveis superiores, desconectadas de

qualquer outro tópico do ensino nas séries anteriores. A utilização das frações neste contexto se dá num caráter de cálculo (aritmético) sem pensar que a estrutura cognitiva subjacente às relações implícitas em contextos de probabilidade está vinculada à rede de relações estabelecidas para os números racionais.

4.2.3.2 A fração como idéia de “escala”

A idéia de escala envolve, também, a idéia de fração. O trabalho com escalas em mapas onde informamos que a escala é de 1:100.000 nos dá um exemplo bem interessante sobre o uso das frações, pois se compara a magnitude da distância utilizada no mapa, ou na planta, com a magnitude da distância real que se quer ali representar.

Escala 1:100.000 significa que cada um cm no mapa representa 100.000 cm (1 km) na realidade, ou ainda, um comprimento representado no mapa é

000 . 100

1

do comprimento real.

4.2.3.3 A fração como idéia de “porcentagem”.

O uso da fração como idéia de “porcentagem” é de grande uso social. Muito útil para reduzir os dados estatísticos a ma forma mais fácil de ser entendida e para comunicar as relações da aplicação comercial do número.

Por exemplo, quando se fala que 40 em cada 100 pessoas são corintianas podemos expressar como 40% (quarenta por cento) ou 40 : 100;

100 40 ; 0,4 ou 5 2 . A vantagem da utilização da porcentagem para a expressão de índices é a facilidade da comparação entre eles, uma vez que o total considerado é sempre o mesmo número (100).

O símbolo para indicar uma porcentagem (%), ao que tudo indica evoluiu a partir de ma figura semelhante encontrada em um manuscrito italiano anônimo do ano de 1.425 que trazia diversas frações de denominador 100.