Função Cobb-Douglas

A função de produção Cobb-Douglas, muito utilizada nos manuais de teoria microeconômica, foi desenvolvida e aplicada pioneiramente por Cobb e Douglas (1928) em análise sobre a produção industrial norte-americana. Conforme será discutido com mais detalhes na presente subseção, uma das principais vantagens da função Cobb- Douglas está no fato de ela atender às principais pressuposições teóricas em torno de uma função de produção, que, de acordo com Chambers (1988) são:

i) monotonicidade: se x´ ≥ x, tem-se que f (x´) ≥ f (x),em que f (.) representa uma função de produção e x é um vetor de fatores de produção;

32 _{Essa seção está fortemente baseada em livros e textos de microeconomia intermediário-avançada, como} por exemplo, Chambers (1988), Binswanger (1972), Boisvert (1982), Nicholson e Snyder (2011), Varian (2009) e Silberberg e Suen (2000).

72 ii) concavidade: 𝑓 (𝜃𝑥0 _{+ (1 − 𝜃)𝑥}∗_{) ≥ 𝜃 𝑓(𝑥}0_{) + (1 − 𝜃)𝑓(𝑥}∗_{) para 0 ≤} ≤

iii) essencialidade dos fatores: f (0n) = 0, em que 0n é um vetor de zeros; iv) f(x) é contínua;

v) f(x) é duas vezes diferenciável.

A função de produção Cobb-Douglas para dois fatores de produção (x1 e x2) e um produto (y) pode ser representada da seguinte forma:

y = f (x1, x2) = .x1.x2        em que o parâmetro positivo  está relacionado à escala de produção e os parâmetros positivos 1e0 < 1 e 0 < 2 representam o impacto do uso dos fatores x1 e x2 sobre o produto (y). Para simplificar o desenvolvimento da função, será pressuposto que o parâmetro  é igual a um.33 Diferenciando-se a função (31) com relação aos fatores de produção, obtém-se o produto marginal de cada fator, que mostra a produção adicional da firma decorrente do emprego de unidades adicionais do fator em questão, mantendo-se a dotação do outro fator fixa34_:

𝜕𝑦

𝜕𝑥1= 𝛽1𝑥1𝛽1−1. 𝑥2𝛽2 = 𝑃𝑚𝑔 𝑥1 (32)

𝜕𝑦

𝜕𝑥2= 𝛽2𝑥1𝛽1. 𝑥2𝛽2−1 = 𝑃𝑚𝑔 𝑥2 (33)

Conforme pode-se observar em (32) e (33), os produtos marginais dos fatores são positivos, atendendo a uma importante propriedade teórica das funções de produção (propriedade de monotonicidade, segundo a qual aumentos no uso dos fatores não podem reduzir o produto). É natural esperar que os produtos marginais sejam positivos, uma vez que seria economicamente irracional empregar unidades adicionais de determinado fator a partir do ponto em que esse fator não contribui mais para a produção da firma.35 _A função Cobb-Douglas atende também à premissa de rendimentos marginais decrescentes

33 _{Essa pressuposição não altera o desenvolvimento teórico e matemático da função. Em análises} econômicas que utilizam dados em painel, o parâmetro assume uma função importante de mostrar as mudanças tecnológicas ocorridas ao longo do tempo. Como as análises empíricas deste estudo não utilizam dados em painel, o parâmetro não assume papel de destaque.

34 _{Geralmente, adota-se o emprego de uma unidade adicional do fator de produção para calcular o produto} marginal deste fator. Por exemplo, o produto marginal do fator x1 seria a produção adicional decorrente do emprego de uma unidade adicional do fator x1 mantendo-se o uso do fator x2 constante.

35 _{Essa situação de produto marginal negativo é classificada em alguns manuais de microeconomia como} estágio III da produção no curto prazo (estágio III de Cassels). Nesse estágio, não há mais possibilidade de a firma aumentar seu produto utilizando-se de quantidades adicionais dos fatores variáveis, uma vez que os fatores fixos limitam o crescimento da produção. Por exemplo, uma fábrica que tem um número limitado de máquinas e um tamanho fixo de instalações não pode aumentar sua produção indefinidamente contratando mais operários e comprando mais matéria-prima.

73 (concavidade na função de produção). Isto é, a função Cobb-Douglas garante que os produtos marginais sejam positivos, porém decrescentes. Para verificar essa propriedade teórica, é necessário checar as condições de segunda ordem da função. Calculando a segunda derivada da função (31) com relação aos fatores, tem-se:

𝜕2𝑦 𝜕𝑥12 = (𝛽1− 1)𝛽1 𝑦 𝑥12 (34) 𝜕2𝑦 𝜕𝑥22 = (𝛽2− 1)𝛽2 𝑦 𝑥22 (35)

Como em funções de produção do tipo Cobb-Douglas é imposto que 0 < 1 < 1 e 0 < 2 < 1, o resultado das segundas derivadas será negativo, o que, por sua vez, implica em rendimentos marginais decrescentes para os fatores de produção. Por exemplo, conforme um agricultor aumenta o uso de adubo em sua produção e mantêm os outros fatores fixos (terra, trabalho e capital), a contribuição marginal de cada adubação para a produção será cada vez menor. As segundas derivadas com valor negativo implicam também que a matriz Hessiana de uma função Cobb-Douglas seja negativa semidefinida, garantindo uma função de produção bem comportada (côncava com isoquantas convexas) como nos manuais de microeconomia básica.

Uma importante medida econômica que pode ser calculada a partir de funções de produção é a elasticidade parcial da produção com relação aos fatores de produção. Essa medida mostra como a produção varia conforme ocorrem alterações no uso de determinado fator de produção, apresentando relação direta com o produto marginal do fator. A grande vantagem da medida de elasticidade parcial da produção é que ela é apresentada em termos percentuais, sendo, portanto, de fácil interpretação. Por exemplo, a elasticidade parcial da produção com relação ao fator x1 mostra a variação percentual na produção diante de um aumento de um ponto percentual no uso do fator x1. A interpretação para o fator x2 é análoga. Matematicamente, tem-se:

𝐸𝑦𝑥1 = _𝜕𝑥1𝜕𝑦 𝑥1_𝑦 = 𝑃𝑚𝑔𝑥1_{𝑃𝑚𝑒𝑥1} (36)

𝐸𝑦𝑥2 = _𝜕𝑥2𝜕𝑦 𝑥2_𝑦 = 𝑃𝑚𝑔_𝑃𝑚𝑒𝑥2

𝑥2 (37)

em que Eyx1 e Eyx2 são as elasticidades parciais da produção com relação aos fatores x1 e x2, respectivamente. Conforme as equações (32) e (33), as primeiras derivadas da função de produção com relação aos fatores são definidas como os produtos marginais dos fatores. Já a produção dividida pela quantidade física do fator pode ser definida como o produto médio (produtividade média) do fator em questão. Portanto, pode-se notar que as elasticidades parciais da produção também podem ser calculadas dividindo-se o

74 produto marginal pelo produto médio do fator. Para calcular os retornos de escala (ou a elasticidade total da produção) de uma função Cobb-Douglas (ou qualquer outra função de produção) basta somar as elasticidades parciais da produção com relação aos fatores. Assim, tem-se que:

𝜀 = 𝐸𝑦𝑥1+ 𝐸𝑦𝑥2 (38)

em que é a elasticidade total da produção. Se a tecnologia de produção apresenta retornos constantes de escala, isto é, ao multiplicar todos os fatores por um escalar t, o produto também será multiplicado por esse mesmo escalarsea tecnologia apresenta retornos crescentes de escala, isto é, ao multiplicar todos os fatores por um escalar t, o produto será multiplicado por um escalar maior do que t esea tecnologia apresenta retornos decrescentes de escala, isto é, ao multiplicar todos os fatores por um escalar t, o produto será multiplicado por um escalar menor do que t. O conceito de elasticidade total da produção é importante para caracterizar o tamanho ótimo das firmas diante da tecnologia de produção disponível. Tecnologias de produção caracterizadas por retornos crescentes de escala ( sugerem a existência de grandes firmas no setor analisado, à medida que tecnologias caracterizadas por retornos decrescentes de escala () sugerem a existência de várias pequenas firmas.

É importante destacar que os estudos empíricos que estimam a tecnologia de produção a partir de uma função de produção Cobb-Douglas utilizam sua forma logarítmica devido à linearidade nos parâmetros (COELLI; RAO; BATTESE, 1998; GREENE, 2008). Aplicando logaritmos naturais em (31), obtêm-se:

ln y = lnlnx1 + lnx2 (39)

Nesse caso, devido às propriedades de derivação de logaritmos, os parâmetros estimados (e já se apresentam em elasticidades parciais da produção com relação aos fatores. Portanto, para calcular os retornos à escala (elasticidade total da produção) em uma função de produção Cobb-Douglas logarítmica, basta somar os valores dos parâmetros estimados na função. A função de produção Cobb-Douglas em sua forma logarítmica também atende à propriedade de concavidade. Para checar a propriedade de monoticidade, basta verificar se os sinais dos parâmetros estimados (e) são positivos. É fácil perceber que a função Cobb-Douglas em sua forma logarítmica também é duas vezes diferenciável.

75 A função de produção Cobb-Douglas possui características que tornam o seu uso bastante atrativo, principalmente devido à imposição de algumas restrições a priori que atendem aos pressupostos da teoria microeconômica da produção, quais sejam:

i) A função de produção Cobb-Douglas impõe que a taxa marginal de substituição técnica36 _{(TMST) entre os fatores de produção seja decrescente, atendendo à premissa de} tendência a não especialização no uso dos fatores e resultando nas tradicionais isoquantas convexas dos livros básicos de microeconomia;

ii) Por ser um monômio de grau 1+2, a função Cobb-Douglas é homogênea de grau 1+2, ou seja, multiplicando todos os fatores por um número positivo t, o produto irá crescer em t_{Portanto, pode-se inferir os retornos à escala de uma função Cobb-} Douglas apenas conhecendo-se os parâmetros da função. Se 1+2 = 1, a função irá apresentar retornos constantes; se 1+2 > 1, a função irá representar retornos crescentes e se 1+2 < 1, a função irá apresentar retornos decrescentes de escala;

iii) As funções de produção Cobb-Douglas também irão resultar em funções de custo e lucro com propriedades “bem comportadas” que respeitam as condições de segunda ordem e, portanto, que estão alinhadas aos principais pressupostos da teoria microeconômica neoclássica.

Em que pesem as características acima mencionadas, a função de produção Cobb- Douglas impõe algumas restrições indesejáveis que podem limitar as análises empíricas. As principais restrições impostas pela função Cobb-Douglas são:

i) Elasticidades parciais de substituição de Allen e Morishima com valor igual a um: as medidas de elasticidade de substituição de Allen e Morishima mostram a facilidade/dificuldade que as firmas têm para substituir os fatores de produção durante o processo produtivo. Uma elasticidade de substituição alta indica que há facilidade para a firma trocar um fator por outro quando, por exemplo, alteram-se os preços relativos dos fatores. O limite seria uma função de produção com fatores que se substituem perfeitamente, a qual representa uma tecnologia de produção com substitutibilidade perfeita entre os fatores. Já uma elasticidade de substituição baixa indica que a firma tem

36 _{A taxa marginal de substituição técnica pode ser calculada a partir da razão entre os produtos marginais} dos fatores de produção. Assim, 𝑇𝑀𝑆𝑇𝑥2/𝑥1= 𝑃𝑚𝑔 𝑥1_{𝑃𝑚𝑔 𝑥2}= 𝛽1𝑥1

𝛽1−1_.𝑥2𝛽2 𝛽₂𝑥1𝛽1.𝑥2𝛽2−1= 𝛽1 𝛽2 𝑥2 𝑥1 . A TMST mostra a taxa

pela qual pode-se substituir o fator x2 pelo fator x1 sem que se altere o nível de produção da firma. É fácil perceber que essa taxa está relacionada com as produtividades marginais dos fatores. Por exemplo, se Pmg x1 = 2 e Pmg x2 = 1, a taxa de troca será igual a dois. Ou seja, para abrir mão de uma unidade de x1 e manter o mesmo nível de produção, são necessárias duas unidades de x2.

76 dificuldade em substituir seus fatores no processo produtivo. Neste caso, o limite seria uma função de produção com proporções fixas entre os fatores (impossibilidade de substituição de fatores). A função Cobb-Douglas sempre apresenta elasticidade de substituição igual à unidade (tanto elasticidade de Allen, como também de Morishima), o que pode não representar corretamente o comportamento da tecnologia de produção das firmas no mundo real.

ii) Elasticidade total da produção e elasticidades parciais da produção com relação aos fatores não variam de acordo com a quantidade de fatores ou produto. A função Cobb- Douglas assume que as elasticidades da produção com relação aos fatores e, consequentemente, a elasticidade total da produção apresentam o mesmo valor para todas as firmas analisadas. Ou seja, não é admitido que as firmas operem em diferentes regiões de retornos à escala, pressupondo-se, por consequência, que todas as firmas da amostra (independentemente da quantidade adotada de fatores e/ou produzida do produto) estão operando em uma mesma região de retornos à escala.

Assumindo-se que a função Cobb-Douglas seja apropriada para representar a tecnologia de produção, pode-se definir a função custo Cobb-Douglas como37_:

𝑐 (𝑤1, 𝑤2, 𝑦) = 𝑦𝛽1+𝛽21 𝑤1𝛽1+𝛽2𝛽1 𝑤2𝛽1+𝛽2𝛽2 𝛽1+𝛽2 𝛽1𝛽1+𝛽2 𝛽1 _𝛽2𝛽1+𝛽2𝛽2

(40)

Os parâmetros e, associados à tecnologia de produção, também são importantes na função de custo total. Supondo os preços dos fatores de produção constantes, tem-se que se 1+2 = 1, o custo total cresce linearmente em relação ao produto (y); se 1+2 > 1, o custo total cresce menos do que linearmente em relação ao produto e; se 1+2 < 1, o custo total cresce mais do que linearmente em relação ao produto. Cada um desses casos resultará em um formato típico de curvas de custo dos manuais de microeconomia.

Uma medida importante em funções de custo, que também está relacionada com as características da tecnologia de produção, é a elasticidade custo com relação à produção. Essa medida mostra a variação percentual no custo total decorrente de variações percentuais na produção da firma, mantendo-se os preços dos fatores constantes. Matematicamente, pode-se calcular a elasticidade custo da seguinte forma:

37 _{Essa função de custo é o resultado do problema de minimização de custos apresentado a partir da equação} (16) da seção 3.1. Naquela seção não foi assumida nenhuma forma funcional para o desenvolvimento do problema. Caso fosse assumida uma tecnologia do tipo Cobb-Douglas, o resultado do problema de minimização condicionada ao nível de produção seria a função de custo apresentada em (40).

77 𝐸𝐶 (𝑤1, 𝑤2, 𝑦) = 𝜕𝐶(𝑤1,𝑤2,𝑦)_{𝜕𝑦 𝐶 (𝑤1,𝑤2,𝑦)}𝑦 (41) Como 𝜕𝐶_𝜕𝑦 é, por definição, o custo marginal (Cmg) da firma e 𝑦_𝐶 é o inverso do custo médio (Cme), é possível reescrever a equação da elasticidade custo como:

𝐸𝐶 (𝑤1, 𝑤2, 𝑦) = 𝐶𝑚𝑔_𝐶𝑚𝑒 (42)

Pela equação (42), pode-se verificar que se o custo marginal for menor do que o custo médio, a firma apresenta uma elasticidade custo menor do que a unidade. Nesse caso, o aumento de, por exemplo, 1% na produção acarreta em um aumento menor do que de 1% no custo total da firma. Caso custo marginal e custo médio sejam iguais, a elasticidade custo é igual à unidade, sendo que um aumento de 1% na produção resulta no aumento de exatamente 1% no custo total. Por fim, se o custo marginal for maior do que o custo médio, a elasticidade custo apresenta valor superior à unidade, o que indica que um aumento de 1% na produção resulta em aumento superior a 1% no custo total. O índice de economias de escala (IES), calculado a partir da elasticidade custo, pode ser formalizado como:

𝐼𝐸𝑆 = 1 − 𝐸𝐶 (43)

Quando EC < 1, IES > 0, o que indica a existência de economias de escala no processo de produção. Quando EC = 1, IES = 0, portanto, não há economias nem deseconomias de escala na produção. Já quando EC > 1, IES < 0, indicando deseconomias de escala no processo. É importante ressaltar que o conceito de economias/deseconomias de escala é de grande utilidade para o produtor decidir o tamanho da firma. Portanto, apesar de em análises empíricas verificar-se o uso deste conceito para situações de curto prazo, o mesmo é mais adequado para o longo prazo. O motivo para tal é que no longo prazo os proprietários das firmas podem alterar o uso de todos os fatores de produção e, consequentemente, escolher entre diferentes tamanhos de firma, o que não ocorre no curto prazo.

Outro ponto importante a ser mencionado é que as economias de escala podem ser reais ou pecuniárias. No primeiro caso, tem-se uma redução no custo médio de longo prazo decorrente do uso mais eficiente dos fatores para maiores tamanhos de planta, o que é uma característica intrínseca de algumas tecnologias de produção (refino de petróleo, por exemplo). Economias de escala reais podem resultar de maior especialização do trabalho em grandes firmas, da necessidade de grandes investimentos acompanhada do uso mais eficiente do capital para maiores tamanhos de planta produtiva,

78 da lei dos grandes números, entre outros fatores. Por sua vez, no caso de economias de escala pecuniárias tem-se uma redução no custo médio de longo prazo em decorrência do pagamento de preços mais baixos para a compra de grandes volumes dos fatores de produção. Por exemplo, quando a firma aumenta seu tamanho, ela pode aumentar também seu poder de negociação no mercado de matérias-primas, pressionando seus fornecedores e pagando preços mais baixos pelas matérias-primas. Neste último caso mencionado, a firma obtém uma economia de escala decorrente de maior poder de barganha na comercialização de insumos e não como uma característica intrínseca de sua tecnologia de produção. 

Em funções de custo Cobb-Douglas é possível calcular as demandas condicionadas dos fatores de produção diretamente a partir da função de custo total (abordagem dual). Em estimativas empíricas, essa propriedade é bastante interessante, pois dificilmente são estimadas as demandas condicionadas dos fatores. Normalmente estimam-se funções de custo e, a partir dessas funções, é possível inferir algumas características da tecnologia de produção e da alocação ótima dos fatores a partir da abordagem dual (COELLI; RAO; BATTESE, 1998). Aplicando-se o lema de Shephard38 na função de custo, obtêm-se as funções de demanda condicionada dos fatores de produção:

𝜕𝑐 (𝑤1,𝑤2,𝑦)

𝜕𝑤1 = 𝑥1𝑐 (𝑤1, 𝑤2, 𝑦) (44)

𝜕𝑐 (𝑤1,𝑤2,𝑦)

𝜕𝑤2 = 𝑥2𝑐 (𝑤1, 𝑤2, 𝑦) (45)

As funções de custo Cobb-Douglas obedecem à condição de simetria, segundo a qual as derivadas parciais cruzadas das demandas condicionadas com relação aos preços dos fatores são iguais, independentemente da ordem adotada para calculá-las. A condição de simetria implica em matrizes de segunda ordem (Hessiana e Hessiana Orlada) simétricas. Pelo teorema de Young, tem-se que:

𝜕𝑥1𝑐 (𝑤1,𝑤2,𝑦) 𝜕𝑤2 = 𝜕2𝑐 (𝑤1,𝑤2,𝑦) 𝜕𝑤1𝜕𝑤2 = 𝜕2𝑐 (𝑤1,𝑤2,𝑦) 𝜕𝑤2𝜕𝑤1 = 𝜕𝑥2𝑐 (𝑤1,𝑤2,𝑦) 𝜕𝑤1 (46)

Assim como no caso da função de produção, os estudos empíricos que estimam funções de custo Cobb-Douglas também adotam sua forma logarítmica devido à linearidade nos parâmetros. Cabe destacar que as propriedades acima desenvolvidas

38 _{O lema de Shephard é derivado do teorema do envelope, bastante utilizado na microeconomia. Para mais} detalhes sobre o teorema do envelope, ver Simon e Blume (2009).

79 podem ser facilmente aplicadas à função de custo Cobb-Douglas logarítmica. Aplicando logaritmos naturais na função custo, tem-se:

ln C = lnw1lnw2lny (47)

Nesse caso, o índice de economias de escala (IES) é calculado diretamente subtraindo-se o parâmetro 3 da unidade (1 -3). Percebe-se também que o parâmetro 3 apresenta a elasticidade custo (EC) em uma função Cobb-Douglas logarítmica.

As equações (40) e (47) mostram funções de custo que representam o comportamento de uma firma (ou um conjunto de firmas) que está minimizando seu custo total no longo prazo, isto é, quando todos os fatores de produção são variáveis. No curto prazo, quando alguns fatores de produção são fixos, há inflexibilidade da firma em alterá- los quando seus preços se alteram. Portanto, quando se assume que a firma está adotando um comportamento de minimização de custo no curto prazo, as quantidades físicas dos fatores de produção fixos (ao invés de seus preços) aparecem na função de custo.

As principais propriedades que uma função custo deve atender são:

i) Não negatividade: essa propriedade mostra que é impossível produzir quantidades positivas de produto a custo zero. Qualquer volume de produção positivo implica em um custo de produção também positivo.

ii) Homogeneidade linear nos preços dos fatores: a função de custo total deve ser homogênea de grau um nos preços dos fatores de produção. Essa propriedade implica que se os preços dos fatores aumentarem em uma proporção t, o custo total de produção deve aumentar exatamente nessa mesma proporção. Essa propriedade também implica que a firma não altera a forma como combina os fatores se os preços destes fatores se alterarem exatamente na mesma proporção. Por exemplo, se os preços de todos os fatores que a firma utiliza aumentarem em 10%, a firma não altera a proporção com que faz o mix dos fatores. A partir desta propriedade, pode-se concluir que a firma está preocupada com os preços relativos dos fatores ao fazer suas alocações ótimas. Em estimativas empíricas, essa propriedade é atendida se o somatório dos parâmetros estimados associados aos preços dos fatores (´s) for igual a um.

iii) Comportamento não decrescente em y, w1 e w2: se a firma estiver minimizando seu custo total para determinado nível de produção, aumentos na produção ou nos preços dos fatores devem, necessariamente, aumentar o custo total da firma. Se essa propriedade não for atendida, a firma não estava minimizando seu custo total antes do aumento no

80 nível de produção ou nos preços dos fatores. Matematicamente, pode-se escrever essa propriedade como: 𝜕𝐶 (𝑤1,𝑤2,𝑦) 𝜕𝑦 ≥ 0 𝜕𝐶 (𝑤1,𝑤2,𝑦) 𝜕𝑤1 ≥ 0 𝜕𝐶 (𝑤1,𝑤2,𝑦) 𝜕𝑤2 ≥ 0 (48)

iv) Côncava e contínua nos preços dos fatores (w1 e w2): a concavidade nos preços dos fatores é condição suficiente (condição de segunda ordem) para que se possa obter um custo mínimo, hipótese fundamental na teoria microeconômica neoclássica. Já a continuidade implica que a função custo pode ser diferenciada em relação aos preços dos fatores. A continuidade é fundamental para a minimização do custo, como também para aplicar a abordagem dual às funções de custos e inferir aspectos da tecnologia de produção a partir de tais funções.

v) Monotonicidade nos preços dos fatores: as parcelas de custos relacionadas aos fatores de produção devem ser não negativas. Ou seja, o uso de fatores deve apresentar relação positiva com o custo total e aumentos nos preços dos fatores devem aumentar o custo total, o que, por sua vez, pode ser verificado a partir dos resultados dos parâmetros estimados.

As propriedades acima apresentadas são facilmente checadas e/ou impostas na função Cobb-Douglas. Contudo, as mesmas restrições impostas pela função de produção Cobb-Douglas também são impostas para a função de custo, uma vez que essas funções são duais. Desta forma, a função custo Cobb-Douglas assume que, independentemente