Fun¸ c˜ oes Caracter´ısticas sobre R

Nesta se¸c˜ao iremos estudar resultados espec´ıficos para f.c’s definidas sobre R, em particular a importante f´ormula de invers˜ao.

Teorema 7.5. Seja X uma v.a com f.c ϕ. (a) Se E(|X|^k) < ∞, ent˜ao a k-´esima derivada ϕ^(k)(t) existe, ´e cont´ınua e

ϕ^(k)(t) = Z

(ix)^ke^itxdP(x). (7.6)

Tamb´em, ϕ^(k)(0) = (i)^k·E(X^k).

(b) Seϕ^(k)(0) existe e se k´e par, ent˜ao E(|X|^k)<∞.

Prova: (a) Vamos dar a prova somente para o casok= 1. Temos ϕ(t+h)−ϕ(t)

h =

Z e^i(t+h)x−e^itx

h dP.

O m´odulo do integrando ´e limitado por|x|, que ´e intergr´avel por hip´otese; fa¸ca h→ ∞ e use o TCD para obter o resultado.

(b) Parak= 2,

ϕ⁰⁰(0) = lim

h→0

ϕ(h)−2ϕ(0) +ϕ(−h)

h² = lim

h→0

1 h²

Z

[e^ihx−2+e^−ihx]dP =−2 lim

h→0

Z 1−coshx h² dP.

Ent˜ao, Z

x²dP = Z

h→0lim

1−coshx

h² dP ≤ lim

h→0

Z 1−coshx

h² dP =−1

2ϕ⁰⁰(0)<∞.

Para o caso geral k par, suponha o teorema v´alido para k−2 e defina H(x) = Rx

−∞y^k−2dP(y). A fun¸c˜ao H ´e crescente, logoH(x)/H(∞) ´e uma f.d. Sejaψ a f.c.

dessa f.d. Ent˜ao,

122 CAP´ITULO 7. FUNC¸ ˜OES CARACTER´ISTICAS

ψ(t) = Z

e^itxdH(x) H(∞) =

Z

e^itxx^k−2dP(x) H(∞). Aplique o casok= 2 a essa f.c. e obtenha

∞>−1

2ϕ⁰⁰(0)≥ Z

x²dH(x) H(∞ =

Z

x²x^k−2dP(x)

H(∞ = 1

H(∞

Z

x^kdP(x).

Observe que o resultado n˜ao ´e v´alido sekfor ´ımpar.

Exemplo 7.1. ϕ(t) =e^−t4 n˜ao ´e uma f.c. A segunda derivada deϕexiste e ´e igual a zero parat= 0. Pela parte (b) do teorema,E(X²)<∞. Por (a)E(X²) = 0, logo X= 0, mas ϕn˜ao ´e na f.c. de X= 0.

Corol´ario 7.2. (Expans˜ao de Taylor). Seja X uma v.a com f.c ϕ e suponha que E(|X|^k)<∞. Ent˜ao, para t pr´oximo de zero:

(a)ϕ(t) =Pn k=0

(it)^kE(X^k)

k! =o(|t|ⁿ).

(b)ϕ(t) =Pn k=1

(it)^kE(X^k)

k! +θ_n^E(|X|_n!^n)|t|n,

ondeθn´e tal que|θ_n| ≤1 (Esses resultados valem parat pr´oximo de zero).

Prova: Veja o Problema 12.

Teorema 7.6. (M´etodo dos momentos) Sejam {X_n} v.a’s com distribui¸c˜oes{P_n}.

Suponha E(|X_n|^k)<∞, para todok e n. Suponha que:

(a) limn→∞

R x^kdPn(x) =µ_k<∞;

(b) limn→∞(µn)^1/n

n =λ <∞.

Ent˜ao, existe uma medida de probabilidade P e P_n⇒P.

Prova: Sejan_kqualquer subsequˆencia. Vamos provar que existe outra subsequˆencia n⁰_k tal que P_n⁰

k

⇒ P, eP ´e uma probabilidade que n˜ao depende das subsequˆencias consideradas. Note que sup_nR

x²dP_n < ∞, por (a). Segue-se que {P_n} ´e uma fam´ılia fechada (veja o Problema 13). Pelo teorema de Prokhorov, existe uma sub-sequˆencia n⁰_k de n_k e uma probabilidade P tal que P_n⁰

k

⇒ P. Provemos que P independe de subsequˆencias. Para cada j, temos que R

X^jdP_nk → R

X^jdP (sabe-mos que X^j

n⁰_k → X^j, em distribui¸c˜ao, logo E(X^j

n⁰_k) → E(X^j), pois {X_n} ´e u.i).

Logo, como R

x^jdP_n → µ_j, para todo j, segue-se que todos as P limites tˆem os

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mesmos momentos. Para mostrar queP ´e ´unica, basta mostrar que ´e univocamente determinada por seus momentos.

Se ϕ´e a f.c de P, usando uma expans˜ao de Taylor,

|ϕ(t+h)−ϕ(t)−ϕ⁰(t)−ϕ⁽²⁾(t)h²

2 −. . .−ϕ^(k)(t)h^k

k! | ≤ E(|X|^k+1)|t|^k+1 (k+ 1)! , ondeX ´e a v.a com distribui¸c˜ao P. Pela parte (b) e uma aproxima¸c˜ao envolvendo a f´ormula de Stirling, se |t| < 1/(4λ), o lado direito converge para zero, quando k→ ∞.

Conclu´ımos queϕadmite uma expans˜ao de Taylor ao redor de qualquer ponto da reta, ou sejaϕ´e anal´ıtica em uma vizinhan¸ca da reta, de modo que ´e univocamente determinada por sua s´erie de potˆencias ao redor do zero. Mas essa ´e dada por P(it)^kE(X^k)

k! , logo P ´e univocamente determinada por seus momentos.

Provaremos, a seguir, a chamada f´ormula de invers˜ao para f.c’s. Uma motiva¸c˜ao para tal f´ormula ´e a seguinte. Para dadaf, satisfazendo determinadas condi¸c˜oes, a transformada de Fourierde f ´e definida por

fˆ(ξ) = Z ∞

−∞

e^iξxf(x)dx.

Sabe-se, tamb´em, que sob condi¸c˜oes, temos a transformada inversa de Fourier f(x) = 1

2π Z ∞

−∞

e^−iξxfˆ(ξ)dξ.

Se f for uma densidade de probabilidade, com f.d F, ˆf ´e a f.c de f. Ent˜ao, F(b)−F(a) =

Z b a

f(x)dx= Z b

a

[ 1 2π

Z ∞

−∞

e^−iξxϕ(ξ)dξ]dx.

Os seguintes fatos s˜ao necess´arios:

(i) R∞ 0

sinx

x dx=π/2;

(ii) lima→−∞,b→∞Rb a

sinx

x dx=π;

(iii) R∞

−∞

sin(αx) x dx=

(π, α >0 0, α= 0

−π, α <0.

(iv) Rc

−c sin(αx)

x dx´e limitada como fun¸c˜ao dec.

124 CAP´ITULO 7. FUNC¸ ˜OES CARACTER´ISTICAS Teorema 7.7. (F´ormula da invers˜ao) Seja F uma f.d e ϕ a f.c correspondente.

Ent˜ao, para a < b, temos F(b) +F(b−)

2 −F(a) +F(a−)

2 = 1

2π lim

c→∞

Z c

−c

ϕ(t)e^−ita−e^−itb

it dt. (7.7)

Prova: A integral em (7.7) ´e dada por 1

2π Z c

−c

ϕ(t)e^−ita−e^−itb

it dt= 1 2π

Z c

−c

e^−ita−e^−itb it

Z ∞

−∞

e^itxdP(x)

dt=

= 1 2π

Z ∞

−∞

"

Z c

−c

e^it(x−a)−e^it(x−b)

it dt

#

dP(x).

O teorema de Fubini ´e necess´ario, pois

e^it(x−a)−e^it(x−b) it

≤

e^−ita−e^−itb it

=

Z b a

e^itxdx

≤b−a.

Seja

hc= Z c

−c

e^it(x−a)−e^it(x−b)

it dt=

Z c

−c

sint(x−a) t dt−

Z c

−c

sint(x−b) t dt, que ´e uma fun¸c˜ao limitada dec, por (iv) acima. Logo, podemos tomar o limite para c→ ∞, sob o sinal da integral, para obter

c→∞lim 1 2π

Z c

−c

ϕ(t)e^−ita−e^−itb

it dt== 1 2π

Z c

−c

c→∞lim hcdP.

Mas, limc→∞h_c=















(−π)−(−π) = 0, x < a 0−(−π) =π, x=a π−(−π) = 2π, a < x < b

π, x=b

0, x > b,

e, portanto, o limite acima fica

1 2π

Z ∞

−∞

c→∞lim hcdP = 1 2π

"

Z

{x=a}

πdF + Z

{a<x<b}

2πdF + Z

{x=b}

πdF

#

=

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= 1

2[F(a)−F(a−)]+[F(b)−F(a)]+1

2[F(b)−F(b−)] = F(b) +F(b−)

2 −F(a) +F(a−)

2 .

Corol´ario 7.3. Duas medidas de probabilidade sobre R, tendo a mesma f.c., s˜ao iguais.

Esse resultado fornece um teorema de unicidade para R. Teorema 7.8. Suponha que R

R|ϕ(t)|dt < ∞, onde ϕ´e a f.c da v.aX. Ent˜ao, X tem uma densidade de probabilidade limitada e cont´ınua.

Prova: (a) SejaF a f.d deX; ent˜ao, F ´e cont´ınua. Tamb´em, F(x+h) +F(x+h−)

2 −F(x) +F(x−)

2 = 1

2π Z ∞

−∞

ϕ(t)e^−xt−e^−i(x+h)t

it dt.

O integrando ´e limitado por |ϕ(t)|h. Para h → 0 e pelo TCD, o lado esquerdo tende a a zero. Pelo mesmo argumento, ^F(x)+F₂ ^(x−)−^F(x−h)+F₂ ^(x−h−) tende a zero, parah→0.

(b) Para mostrar que F ´e deriv´avel, considere F(x+h)−F(x)

h = 1

2π Z ∞

−∞

ϕ(t)e^−itx−e^−it(x+h)

ith dt.

O integrando ´e limitado por |ϕ(t)|; pelo TCD conclua que F⁰(x) =f(x) = 1

2πϕ(t)e^−itxdx.

Corol´ario 7.4. Se R

R|ϕ(t)|dt <∞, ent˜aoF⁰(x) existe, ´e limitada e cont´ınua, e F⁰(x) = 1

2π Z

R

ϕ(t)e^−itxdt. (7.8)

Aplica¸c˜oes

[1] Sabe-se que, se 0≤α ≤ε, ent˜ao ϕ(t) =e^−|t|α ´e uma f.c (na realidade, essa ´e a f.c de uma distribui¸c˜ao est´avel sim´etrica, veja o Cap´ıtulo 8). Pelo teorema, seX for sim´etrica e est´avel, ent˜ao X tem uma densidade limitada e cont´ınua.

[2] Suponha que P_n ⇒ P, e P_n, P tenham densidades f_n, f, respectivamente. Sa-bemos que n˜ao ´e necessariamente verdade que fn(x) → f(x) q.c. Contudo, se R

R|ϕ_n(t)−ϕ(t)|dt→0, ent˜ao f_n(t)→f(t).

126 CAP´ITULO 7. FUNC¸ ˜OES CARACTER´ISTICAS O teorema limite central na sua forma mais simples decorre de uma aplica¸c˜ao das f.c’s.

Teorema 7.9. Sejam X1, X2, . . . v.a’s i.i.d, E(X1) = 0, Var(X1) = 1. Ent˜ao, (X₁+. . .+X_n)/√

n→^D N(0,1).

Prova: Sejaϕa f.c deX₁ eS_n=X₁+. . .+X_n. Seψ_n´e a f.c deS_n/√

n, mostremos queψn(t)→e^−t2/2. Temos que

ψ_n(t) =Eh e^itSn/

√ni

=

ϕ t

√n n

=

= [1 +ϕ⁰(0) t

√n+ϕ⁰⁰(0) 2! ( t

√n)²+o(t²/n)]ⁿ,

pela independˆencia dosXi e usando expans˜ao de Taylor. Mas, ϕ⁰(0) = i·E(X1) = 0, ϕ⁰⁰(0) =i²E(X₁²) =−1, de modo que ψ_n(t) = [1−t²/(2n) +o(t²/n)]ⁿ → e^t2/2, quando n→ ∞.

Problemas

1. Prove queϕ(t) ´e uniformemente cont´ınua.

2. Prove (7.3).

3. Prove (7.4).

4. Prove (7.5).

5. Prove que a f.c da distribui¸c˜ao de Cauchy padr˜ao (densidade [π(1 +x²)]⁻¹) ´ee^−|t|. 6. SejamP, Qprobabilidades sobreR. Prove que: (a) SeP for absolutamente cont´ınua,

ent˜aoP ? Q´e absolutamente cont´ınua; (b) Se P for n˜ao atˆomica,P ? Qtamb´em n˜ao o ser´a.

7. Prove que, se hfor uma fun¸c˜ao integr´avel, ent˜ao Z

h(x)dP ? Q(x) = Z Z

h(x+y)dP(x)dQ(y).

8. (a) Se uma fam´ılia Φ de f.c’s sobreRfor equicont´ınua no zero, ent˜ao a fam´ılia corres-pondente de medidas de probabilidade ´e fechada.

(b) Seja{Qn} uma fam´ılia de f.c’s convergindo uniformemente numa vizinhan¸ca do zero. Prove que existe uma subsequˆencia convergindo para uma f.c.

9. Suponha que (X1, . . . , Xn) seja norma multivariada. Mostre queE(Xn|X1, . . . , X_n−1) = Pn−1

k=1akXk, para constantesak.

[Sugest˜ao: Determineak por meio deE{(Xn−Pn−1

k=1akXk)Xj}= 0.]

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10. Seja{Xn, n≥1}uma sequˆencia de v.a’s com f.c’sϕn. Suponha que|ϕn(t)| →1, para todot, quandon→ ∞. Mostre que existem constantesan tais queXn−an converge para zero em lei.

[Sugest˜ao: Simetrize e tome an= mediana{Xn}.]

11. (a) SejamX₁, X₂, . . .v.a’s i.i.d, m´edia zero e variˆancia 1. Prove que Pn

i=1X_i pPn

i=1X_i²

→D N(0,1).

(b) Supomha Xn ∼ binomial(n, pn) enpn →λ. Prove que Xn converge em distri-bui¸c˜ao paraY ∼ Poisson(λ).

(c) Para o TLC simples (Teorema 7.9), prove queSn/√

nn˜ao converge em probabili-dade, embora convergindo em distribui¸c˜ao.

(d) Sejam X e Y independentes, cada uma normal com variˆancia um. Prove que X+Y eX−Y s˜ao independentes, usando f.c’s.

12. Prove o Corol´ario 7.2. Use duas vers˜oes da f´ormula de Taylor.

13. Prove que a fam´ılia{Pn}do Teorema 7.6, ´e fechada.

14. Prove a seguinte f´ormula de invers˜ao (mesmo m´etodo de prova do Teorema 7.7):

1

2[F(x) +F(x−)] =1

2 + lim

c→∞,δ↓0

Z c

δ

e^itxϕ(−t)−e^−itxϕ(t)

2πit dt.

15. Seja X uma v.a com f.cϕ. Prove que, seϕ(t)∈ L₂ e se X tem densidadef, ent˜ao f ∈L₂ e

Z ∞

−∞

f²(x)dx= 1 2π

Z ∞

−∞

|ϕ(x)|²dx.

[Sugest˜ao: Considere a f.c de X−X⁰, sendoX⁰ independente deX e com a mesma distribui¸c˜ao queX.]

16. SuponhaP probabilidade sobreRcom f.cϕ.

(a) Se P for absolutamente cont´ınua com respeito `a medida de L´ebesgue, ent˜ao lim_|t|→∞ϕ(t) = 0;

(b) Se |ϕ(t1)| = 1, para algum t₁ 6= 0, ent˜ao P ´e concentrada em um conjunto de pontos da formax_n=a+n(2π/t₁).

[Sugest˜ao para (a): comece com o caso que a densidade deP ´e uma fun¸c˜ao simples.

Sugest˜ao para (b): existe θ1, tal que 1 = e^−iθ1ϕ(t1). Ent˜ao, note que 0 = R [1− cos(t1x−θ1)dP(x) e o integrando ´e n˜ao negativo.]

128 CAP´ITULO 7. FUNC¸ ˜OES CARACTER´ISTICAS 17. (Fun¸c˜ao de concentra¸c˜ao de L´evy) SePfor uma probabilidade sobreR, definaQP(ε) = sup_x∈RP(x+Sε), sendoSεuma esfera fechada de raioεao redor do zero. Prove que:

(a) o supremo ´e atingido,QP(ε)↑quandoε↑e lim_ε↑1QP(ε) = 1.

(b) SeP =P1? P2, ent˜aoQP(ε)≤QP₁(ε)∧QP₂(ε).

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Teoremas Limites Centrais

Um teorema limite central (TLC) ´e qualquer teorema que trata da convergˆencia fraca de somas de v.a’s apropriadamente normalizadas. Os teoremas mais conhecidos tratam da convergˆencia de tais somas de vari´aveis independentes, satisfazendo certas condi¸c˜oes. O caso mais simples, visto no cap´ıtulo anterior, trata do caso de v.a’s i.i.d com variˆancia finita. Nessas situa¸c˜oes, a distribui¸c˜ao limite ´e a normal (ou gaussiana).

Para v.a’s que tenham alguma forma de dependˆencia, podemos ter TLC’s sob condi¸c˜oes de independˆencia assint´otica, tamb´em chamadas condi¸c˜es mixing. Por exemplo, temos TLC’s para processos estacion´arios satisfazendo condi¸c˜oesmixing.

H´a situa¸c˜oes em que a distribui¸c˜ao limite n˜ao ´e a normal. Por exemplo, veremos mais adiante, que uma soma normalizada de v.a’s i.i.d converge, em distribui¸c˜ao, para uma v.a est´avel. Tamb´em, o m´aximo de um n´umero finito de v.a’s i.i.d, apro-priadamente normalizado, tende para uma distribui¸c˜ao, chamada distribui¸c˜ao gene-ralizada de valores extremos, que pode ser uma de trˆes tipos: Gumbel, Weibull e Fr´echet.

A primeira vers˜ao de um TLC foi postulada por de Moivre, em 1733, que usou a distribui¸c˜ao normal como aproxima¸c˜ao da distribui¸c˜ao de um n´umero de caras, resultantes de lan¸camentos de uma moeda. Laplace, em 1812, estendeu o resultado de de Moivre, ao aproximar a distribui¸c˜ao binomial pela normal.

O termo “teorema limite central” foi usado pela primeira vez por Polya, em 1920, e ele se referia ao termo “central” como devido `a sua importˆancia em pro-babilidades. De acordo com L. Le Cam, a escola francesa interpretava o termo no sentido que “descrevia o comportamento do centro da distribui¸c˜ao, em oposi¸c˜ao ao comportamento das caudas.”

No Cap´ıtulo 9 trataremos do teorema de Donsker, que trata do limite de certos processos emp´ıricos, `as vezes denominado de TLC funcional. O processo limite ´e chamado uma ponte browniana.

130 CAP´ITULO 8. TEOREMAS LIMITES CENTRAIS

8.1 Os Teoremas de Lindeberg e Feller

Para provar o Teorema de Lindeberg precisaremos dos seguintes lemas.

Lema 8.1. Seja C₀ a classe das fun¸c˜oes cont´ınuas e limitadas sobre R tais que limx→∞f(x) e limx→−∞f(x) eistem. Seja D a classe de todas as fun¸c˜oes tendo derivadas cont´ınuas e limitadas de qualquer ordem. Ent˜ao, qualquer fun¸c˜ao em C₀ pode ser uniformemente aproximada por uma fun¸c˜ao deD(isto ´e,D´e densa em C₀ na norma sup).

Prova: Seja f ∈ C₀ e para h > 0 defina f_h(x) = R

f(t)φ_h(x−t)dt, sendo φ_h a densidade da N(0, h). Ent˜ao, f_h tem derivadas cont´ınuas e limitadas de qualquer ordem. Tamb´em,

|f_h(x)−f(x)| ≤ Z

|f(t)−f(x)φ_h(x−t)dt= Z

|f(t−x)−f(x)|φ_h(t)dt.

Tome δ t˜ao pequeno de modo que |f(t) −f(s)| ≤ ε, sempre que |t−s| <

2δ. Separando a ´ultima integral acima em uma integral sobre [−δ, δ] e a outra sobre o complementar desse intervalo, obtemos que a integral ser´a menor ou igual a ε+M[1−Φ_h(δ) + Φ_h(−δ)], onde M ´e tal que|f(x)| ≤M, para todox e Φ_h ´e a f.d da normal. Parah→0, 1−Φh(δ) + Φh(−δ)→0, logo fh(x)−f(x)|< ε.

Lema 8.2. SejamPn, P medidas de probabilidade sobreRe suponha queR

Rf dPn→ R

Rf dP, para todaf tendo derivadas limitas e cont´ınuas de qualquer ordem. Ent˜ao, P_n⇒P.

Prova: Sejam F_n, F as f.d’s correspondentes a P_n, P e seja x um ponto de conti-nuidade deF. Sejaδ >0 arbitr´ario ef uma fun¸c˜ao definida como segue: f(t) = 1, parat≤x,f linear entrex e x+δ e f(t) = 0, parat≥x+δ. Seja fε uma fun¸c˜ao emD, tal que sup_x|f_ε(x)−f(x)|< ε. Ent˜ao,

lim sup

n

F_n(x)≤lim sup

n

Z

f dP_n≤lim sup

n

Z

(ε+f_ε)dP_n

=ε+ lim sup

n

Z

f_εdP_n=ε+ Z

f_εdP ≤2ε+ Z

f dP ≤2ε+F(x+δ).

Para δ → 0, lim sup_nF_n(x) ≤ 2ε+ F(x), e como ε > 0 arbitr´ario, obtemos lim sup_nFn(x)≤F(x). Por um argumento similar, obtemos lim infnFn(x)≥F(x), para x ponto de continuidade de F. Basta considerar f como acima, e os pontos x−δ ex na sua defini¸c˜ao, no lugar de x e x+δ.

Theorema 8.1. (Lindeberg) Para cada n, sejam Xn,1, . . . , Xn,kn v.a’s indepen-dentes, com m´edia zero, Var(Xn,j) = σ²_n,j. Sejam Sn = Xn,1 + . . .+ X_n,kn e s²_n=P_kn

j=1σ_n,j² . Suponha que

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n→∞lim 1 s²_n

kn

X

j=1

Z

{|X_n,j|>εs_n}

|X_n,j|²dP_n,j = 0, ∀ε >0. (8.1) Ent˜ao,S_n/s_n→^D N(0,1).

A equa¸c˜ao (8.1) ´e chamada condi¸c˜ao de Lindeberg.

Prova: Sejam Xn1, . . . , X_n,kn como no teorema e denotemos por N a v.a com distribui¸c˜ao N(0,1). Pelo Lema 8.2, ´e suficiente provar que

E{f(S_n/s_n)} →E{f(N)}, paraf ∈D, (8.2) sendo D a classe definida no Lema 8.1. A ideia da prova ´e: suponha que as v.a’s X_ni fossem normais, cada uma N(0, σ²_n,i). Ent˜ao,S_n/s_nseriaN(0,1) e (8.2) valeria nesse caso. Suponha que Y_n1, . . . , Y_n,kn sejam independentes N(0, σ_n,i² ), escolhidas de tal maneira que X_n1, . . . , X_n,kn, Y_n1, . . . , Y_n,kn sejam independentes.

Vamos substituir, sucessivamente, emS_n,X_n,kn, X_n,kn−1,· · ·porY_n,kn, Y_n,kn−1,· · ·, de tal sorte que E{f(S_n/s_n) seja substitu´ıda por E{(f(Y_n1 +. . .+Y_n,kn)/s_n} = E{f(N)}.

Defina g(t) = sup_x∈R|f(x+t)−f(x)−f⁰(x)t−f⁰⁰(x)t²/2|. Ent˜ao, por Taylor,

|g(t)| ≤M1|t|³. Tamb´em, |g(t)| ≤M2t², poisg(t)≤sup_x|f(x+t)−f(x)−f⁰(x)t|+ sup_x|f⁰⁰t²/2|.Segue queg(t)≤M(t²∧ |t|³). Note que

|f(x+t₁)−f(x+t₂)−f⁰(x)(t₁−t₂)−f⁰⁰(x)(t²₁−t²₂)/2| ≤g(t₁) +g(t₂). (8.3) Defina

Zn,k= X

1≤j<k

Xn,j+ X

k<j≤kn

Yn,j. Observe que Z_n,kn+X_n,kn=Sn eZn1+Yn1 ∼ N(0, s²_n).

Considere

|Ef S_n

sn)

−Ef

Y_n1+. . .+Y_n,kn sn

| ≤

kn

X

k=1

|Ef

Z_n,k+X_n,k sn

−Ef

Z_n,k+Y_n,k sn

|

≤

kn

X

k=1

Eg X_n,k

sn

+X

Eg Y_n,k

sn

, usando (8.3) e os c´alculos seguintes:

132 CAP´ITULO 8. TEOREMAS LIMITES CENTRAIS

Ef⁰(Z_n,k(X_n,k−Y_n,k)) =Ef⁰(Z_n,k)E(X_n,k−Y_n,k) = 0,

usando a independˆencia deX_n,k, Y_n,kdeZ_n,keE(X_n,k−Y_n,k) = 0. De modo similar, obtemos Ef⁰⁰(Z_n,k(X_n,k² −Y_n,kr)) = 0, notando que E(X_n,k² −Y_n,k² )) = 0.

Para terminar a prova, mostraremos que cada uma das somas acima tende a zero. Para a primeira,

X

k

Eg X_n,k

s_n

=X

k

Z

{|X_nk|≤s_nε}

g(·)dP_nk+X

k

Z

{|X_nk|>s_nε}

g(·)dP_nk ≤

≤MX

k

Z

{|X_nk|≤snε}

|X_nk|³

s²_n dPnk+MX

k

Z

{|X_nk|>snε}

|X_nk|²

s²_n dPnk ≤

≤M εX

k

Z |X_nk|²

s²_n ≤M ε, para todoε >0, levando em conta que a soma ´e igual a um.

Para a segunda soma, escrevendo a integral como a soma de duas integrais, como no caso anterior, ou seja uma sobre {|Y_nk| ≤s_nε} e a outra sobre o complementar desse conjunto, obtemos que

X

k

Eg Y_nk

s_n

≤εM+MX

k

Z

{|Y_nk|>εs_n}

|Y_nk|² s²_n dP_nk. Mas,

X

k

Z

{|Y_nk|>εsn}

|Y_nk|²

s²_n dPnk ≤ 1 ε

X

k

|Y_nk|³

s³_n dPnk ≤ M2

ε X

k

σ_nk³ s³_n , poisE(|N|³)≤σ³×constant, logo a ´ultima parcela da rela¸c˜ao anterior

M₂ ε

X

k

σ_nk³ s³_n ≤ M₂

ε max

k

σ_nk s_n

kn

X

k=1

σ_nk² s²_n ,

notando que a soma ´e igual a um. Logo, ´e suficiente mostrar que maxk σnk

sn → 0, para n → ∞. Mas, ^σ_s^2nk2

n = _s¹2

nE(X_nk² ) e quebrando a integral em duas, uma sobre {|X_nk| ≤s_nδ} e outra sobre o complementar, obtemos que

max

k

σ²_nk

s²_n ≤δ²+ 1 s²_n

Z

{|X_nk|>snδ}

|X_nk|²dP_nk,

Morettin - mar¸co/2018

sendo que o segundo termo tende a zero por (8.1). Como δ > 0 ´e arbitr´ario, o resultado segue.

Exemplo 8.1. [1] Sejam {X_n, n≥1} v.a’s i.i.d, m´edia zero e variˆancia comum σ². Ent˜ao, (X₁+. . .+X_n)/(σ√

n)→^D N(0,1).

De fato, temos que nesse caso, Xn,j = Xj, kn =n, s²_n =nσ² e a condi¸c˜ao de Lindeberg fica

1 σ²

Z

{|X₁|>σ√ nε}

|X₁|²dP →0.

[2] (Teorema de Lyapunov) Com a mesma nota¸c˜ao do Teorema 8.1, suponha que 1

s^2+δn kn

X

j=1

E(|X_n,j|^2+δ)→0, para algum δ >0. (8.4) Ent˜ao, S_n/s_n→^D N(0,1).

Basta observar que 1

s²_n

kn

X

j=1

Z

{|Xn,j|>εsn}

|X_n,j|² ≤ 1 s^2+δn ε^δ

kn

X

j=1

E(|X_n,j|^2+δ)→0, para cadaε >0,pois|X_n,j|^δ/(ε^δs^δ_n)>1.

Na condi¸c˜ao de Lindeberg (8.1), substituaXn,iporXn,i/sn=Yn,i, i= 1, . . . , kn. Note quePkn

i=1Var(Yn,i) = 1. Obtemos, ent˜ao, a seguinte reformula¸c˜ao do teorema 8.1. Suponha que

kn

X

i=1

Z

{|yn,i|>ε}

|y|²dPn,i→0, n→ ∞. (8.5) Ent˜ao,Pkn

i=1Y_n,i→^D N(0,1).

Note que se (8.3) vale, ent˜ao

n→∞lim max

k P{|Y_n,k|> ε} →0, (8.6) pois max_kP{|Y_n,k|> ε} ≤ _ε¹₂ Pkn

i=1

R

{|Y_n,i>ε}|Y_n,i|²dP_n,i→0, por (8.3), sendo que a desigualdade segue de Chebyshev.

Se as v.a’s Y_n,1, Y_n,2, . . . satisfazem (8.4), elas s˜ao chamadas:

(i) u.a.n (uniformly asymptotically negligible - Lo`eve);

134 CAP´ITULO 8. TEOREMAS LIMITES CENTRAIS (ii) null array(Feller);

(iii) holouspoudic (Chung).

Teorema 8.2. (Feller) Sejam Xn,1, . . . , Xn,kn v.a’s independentes, de m´edia zero, Var(Xn,i) =σ_n,i² , comP

σ_n,i² = 1. Seja Sn=Pkn

i=1Xn,i. Suponha que:

(1) Sn

→D N(0,1);

(2) limn→∞maxkP{|X_n,k|> ε}= 0, ∀ε >0.

Ent˜ao, Pkn

j=1

R

{|Y_n,j|>ε}X²dP_n,j →0, n→ ∞.

Prova: A condi¸c˜ao (1) implica que

kn

Y

k=1

ϕ_nk(t)→e^−t2/2, (8.7)

quando n→ ∞, sendo ϕ_n,k(t) a f.c deX_n,k. Provemos, agora, que (2) implica

n→∞lim max

k |ϕ_n,k(t)−1| →0, para cadat. (8.8) De fato,

|ϕ_nk(t)−1| ≤ Z

|e^itx−1|dP_nk(x)≤ Z

{|X_nk|>ε}

|e^itx−1|dP_nk(x)+

Z

{|X_nk|≤ε}

|e^itx−1|dP_nk(x)≤

≤2P{|X_nk|> ε}+ Z

{|Xnk|≤ε}

|tx|dP_nk(x)≤2P{|X_nk|> ε}+|t|ε.

Logo,

n→∞lim max

k |ϕ_nk(t)−1| ≤2 lim

n→∞max

k P{|X_nk|> ε}+|t|ε→0.

De (8.8), existe um inteiroN(t), tal que paran≥N(t), temos|ϕ_nk(t)−1| ≤1/2.

Logo, podemos escrever, usando (8.7):

kn

X

k=1

logϕ_nk(t)→ −t²/2, (8.9)

na qual os logaritmos s˜ao tomados com ˆangulo em (−π, π], e

logϕ_nk(t) = [ϕ_nk(t)−1] +M|ϕ_nk(t)−1|², (8.10)

Morettin - mar¸co/2018

na qual M tem valor complexo e ´e limitada por 2 em valor absoluto. De fato, pela expans˜ao de Taylor do valor principal de logz, logz = P

k

(−1)^k−1

k (z−1)^k, que ´e v´alida para|z−1|<1. Logo, como |ϕ_nk−1|<1/2, obtemos

|logϕ_nk(t)−(ϕ_nk(t)−1)| ≤X

k≥2

1

k|ϕ_nk(t)−1|^k≤ |ϕ_nk(t)−1|²X

k≥2

1 2^k. Temos, tamb´em,

X

k≥1

|ϕ_nk(t)−1|² ≤max

k |ϕ_nk(t)−1|X

k

|ϕ_nk(t)−1|. (8.11) Mas

X

k

|ϕ_nk(t)−1| ≤X

k

| Z

(e^itx−1)dP_nk(x)|=X

k

|

Z t²x²

2 dP_nk(x) =t²/2, poisP

kσ_nk² = 1. Logo,P

k≥1|ϕ_nk(t)−1|² →0, paran→ ∞, por (8.11) e (8.8).

Usando esse fato, (8.9) e (8.10), temos que P

klogϕ_nk(t) → −t²/2, quando k→ ∞, de modo que

X

k

[ϕ_nk(t)−1]→ −t²/2. (8.12) Tome a parte real de (8.12) para obter

X

k

Z

[1−costx]dP_nk(x)→ −t²/2.

Portanto,

lim sup|t² 2−X

k

Z

{|X_nk<ε}

[1−costx]dP_nk(x)|= lim sup|X

k

Z

{|X_nk|>ε}

[1−costx]dP_nk(x)|

≤lim sup|X

k

Z

{|X_nk|>ε}

2dPnk(x)| ≤2 lim supX

k

Z |x|²

ε² dPnk(x) = 2 ε². Segue que

2

ε² ≥lim sup

"

t²

2 −XZ

{|X_nk|<ε}

[1−costx]dP_nk(x)

#

136 CAP´ITULO 8. TEOREMAS LIMITES CENTRAIS

≥lim sup

"

t²

2 −XZ

{|X_nk|<ε}

t²x²

2 dP_nk(x)d_nk(x)

# . Ent˜ao,

1

ε²t² ≥lim sup[1−XZ

{|X_nk|<ε}

x²dP_nk(x)]≥0.

Fa¸ca t → ∞, para obter P R

{|X_nk|<ε}x²dP_nk(x) → 1. Conclui-se que a soma P

k

R

{|X_nk|>ε}x²d_nk(x)→0, pos P

k

R x²dP_nk(x) = 1.

O seguinte teorema foi provado independentemente por Berry (1941) e Esseen (1942). Veja Feller (1966) para uma prova.

Teorema 8.3. (Berry-Esseen) Sejam {X_n, n ≥ 1} v.a’s i.i.d, de m´edia zero e variˆancia σ² e suponha E(|X₁|³) < ∞. Seja Fn a f.d de (X1+. . .+Xn)/(σ√

n) e Φa f.d de uma normal padr˜ao. Ent˜ao,

sup

−∞<x<∞

|F_n(x)−Φ(x)| ≤ 33 4

E(|X₁|³) σ³

√1 n.

O teorema ´e caso particular de um resultado mais geral. Seja ∆n(x) =|F_n(x)− Φ(x)|. Sob as condi¸c˜oes do teorema (suponhaσ = 1), existe uma constante absoluta C₀(δ), para δ∈(0,1], tal que

sup

x

∆_n(x)≤C₀(δ)L^2+δ_n , onde L^2+δ_n = E(|X₁|^2+δ) n^δ/2 .

Observe que o teorema anterior ´e um caso particular paraδ= 1. V´arios trabalhos subsequentes foram provados no sentido de tornar mais preciso o limite superior do resultado. Veja Korolev e Shevtsova (2010) para uma resenha hist´orica.

No documento T´opicos em Probabilidade Avan¸cada (páginas 126-141)