Como dissemos na introdu¸c˜ao desse cap´ıtulo, trataremos aqui o caso de martin-gales com tempo discreto Um resultado importante que ser´a provado nessa se¸c˜ao ´e o
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Teorema da Amostragem Opcional. No entanto, daremos a defini¸c˜ao de martingale para o caso em que o conjunto param´etrico ´e um subconjunto dos n´umeros reais.
Defini¸c˜ao 4.5. Seja (Ω,F, P) um e.p e T um subconjunto de R. Seja {Ft, t∈T} uma fam´ılia crescente de sub-σ-´algebras de F, ou seja, Fs ⊂ Ft, se s ≤ t. Seja {Xt, t ∈ T} um processo estoc´astico adaptado a {Ft, t ∈ T}. Um processo X = {Xt,Ft, t∈T} ´e um martingale se:
(a) Xt ´e integr´avel, para cada t∈T; (b) Se s≤t, ent˜ao E(Xt|Fs) =Xs.
Defini¸c˜ao 4.6. Um submartingale tem as mesmas caracter´ısticas da defini¸c˜ao an-terior, exceto que (b) ´e substitu´ıda por:
(b0)Se s≤t, ent˜ao E(Xt| Fs)≥Xs. Um supermartingale substitui (b) por (b00) Se s≤t, ent˜ao E(Xt| Fs)≤Xs.
Uma interpreta¸c˜ao da defini¸c˜ao em termos de jogos ´e a seguinte. SeXnrepresenta a fortuna de um jogador ap´os o jogoneFnrepresenta a sua hist´oria at´e (incluindo) o instanten, ent˜aoE(Xn+1|Fn) =Xnsignifica que o ganho esperado do jogador no instante n+ 1, dado todo o conhecimento passado, ´e igual `a sua fortuna presente.
Teremos umjogo justo. Vale um interpreta¸c˜ao similar para (sub)supermartingale.
Observa¸c˜oes: (a) Quando dizemos que {Xt, t ∈ T} ´e um martingale, queremos dizer que as σ-´algebras da defini¸c˜ao s˜ao Ft=F {Xs, s≤t}.
(b) Um martingale com parˆametro discreto ou com tempo discreto´e aquele para o qualT´e uma cole¸c˜ao de n´umeros inteiros. Usualmente consideramosT ={1,2,3, . . .}
ou T =Z.
(c) Se{Xt, t∈T} ´e um submartingale, ent˜ao {−Xt, t∈T}´e um supermartingale.
(d) Se {Xt, t∈T} e {Yt, t∈T} s˜ao martingales, ent˜ao n˜ao ´e necess´ario que {Xt+ Yt, t∈ T} seja um martingale. ´E verdade se X e Y s˜ao martingales com repeito `a mesma sequˆencia de σ-´algebras.
(e) Para verificar que {Xn,Fn, n ≥ 1} ´e um martingale, ´e suficiente provar que E(Xn|Fn−1) =Xn−1.
(f) Seja{Xn, n≥1}um submartingale. Ent˜ao {E(Xn)}´e uma sequˆencia crescente.
De fato, E(Xn|Fn−1) ≥Xn−1, bastando tomar a esperan¸ca de ambos os mem-bros.
(g) Se{Xn, n≥1} ´e um martingale, ent˜aoE(Xn) =E(X1), para todo n.
70 CAP´ITULO 4. MARTINGALES De fato, de E(Xn|Fn−1) = Xn−1, obtemos E(Xn) =E(Xn−1) = . . . =E(X1), para todon.
(h) Se {Xn, n ≥1} ´e um sub(super)martingale, e se E(Xn) ´e uma constante, para todo n, ent˜ao, de fato, {Xn, n≥1}´e um martingale.
Exemplo 4.3. (a) Sejam{Xn, n≥1}v.a’s independentes, com m´edia zero. Ent˜ao, Yn=X1+. . .+Xn´e um martingale.
De fato, temos que
E(Yn+1|Fn) =E(Yn+1|X1, . . . , Xn) =E(
n+1
X
i=1
Xi|X1, . . . , Xn)
=X1+. . .+Xn+E(Xn+1|X1, . . . , Xn) =X1+. . .+Xn+E(Xn+1) =Yn, sendo que a pen´ultima igualdade vale pela independˆencia e a ´ultima porque a m´edia
´ e zero.
(b) Se{Xn, n≥1} s˜ao v.a’s independentes,E(Xi) =µi ≥0, ent˜ao Yn=Pn
i=1Xi ´e um submartingale ePn
i=1(Xi−µi) =Zn ´e um martingale.
(c) Seja X integr´avel, {Fn, n ≥ 1} uma fam´ılia crescente de σ-´algebras. Ent˜ao, Xn=E(X|Fn) ´e um martingale.
De fato,
E(Xn|Fn−1) =E[E(X|Fn)|Fn−1] =E(X|Fn−1) =Xn−1, por defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional e o fato queFn−1 ⊂ Fn.
Exemplo 4.4. (a) Seja{Yn}um martingale com tempos{. . . ,−3,−2,−1}. Ent˜ao, Yn deve ter a forma dada no Exemplo 4.3 (c), isto ´e,Y−n=E(Y−1|F−n).Esse ´e um exemplo de ummartingale reverso.
(b) Sejam {Xn, n≥1} v.a’s i.i.d, integr´aveis. Defina:
Y−1 =X1,
Y−2 = (X1+X2)/2;
· · ·
Y−n= (X1+. . .+Xn)/n.
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Ent˜ao, {. . . , Y−2, Y−1}´e um martingale com respeito aF {. . . , Y−2, Y−1}=F−1, F {. . . , Y−3, Y−2}=F−2 etc.
Martingales podem n˜ao ter a forma dada no Exemplo 4.3(c). Veja o Problema 6. Em algumas situa¸c˜oes, como em econometria, finan¸cas e somas de v.a’s indepen-dentes, ´e mais conveniente considerar incrementos. Uma sequˆencia {Un,Fn, n≥1}
´
e chamada uma diferen¸ca martingale se
E(Un+1|Fn) = 0, para todon≥1.
Diferentemente de martingales, diferen¸cas martingales s˜ao ortogonais. Veja o Problema 22.
Teorema 4.6. (a) Seja ϕ uma fun¸c˜ao convexa e{Xn,Fn, n ≥ 1} um martingale.
Suponha que ϕ(Xn) seja integr´avel, para cada n. Ent˜ao, {ϕ(Xn),Fn, n≥1} ´e um submartingale.
(b) Suponhaϕconvexa crescente e {Xn,Fn, n≥1} um submartingale. Seϕ(Xn) ´e integr´avel, ent˜ao {ϕ(Xn),Fn, n≥1}´e um submartingale.
Prova: (a) Temos que
E(ϕ(Xn+1|Fn))≥ϕ(E(Xn+1|Fn)) =ϕ(Xn),
onde usamos a desigualdade de Jensen e o fato queXn´e um martingale.
(b) De modo an´alogo,
E(ϕ(Xn+1|Fn))≥ϕ(E(Xn+1|Fn))≥ϕ(Xn), novamente usando Jensen,E(Xn+1|Fn)≥Xne ϕcrescente.
Exemplo 4.5. (a) Se{Xn}´e um martingale, ent˜ao{Xn2},{Xn+},{Xn∨M, M >0}
s˜ao submartingales. Tamb´em,{|Xn|}´e um submartingale, pela parte (a) do teorema anterior.
(b) Se{Xn}´e um submartingale, ent˜ao{Xn+},{Xn∨M, M >0}s˜ao submartingales.
Mas{|Xn|}n˜ao necessita ser, pois a fun¸c˜ao|x|n˜ao ´e crescente (parte (b) do teorema).
Consideramos, a seguir, o Teorema da Amostragem Opcional (TAO) de Doob.
Veja Doob (1971) e Williams (1991). O teorema diz, sob determinadas suposi¸c˜oes, que o valor esperado de um martingale em um tempo de parada ´e igual ao valor esperado de seu valor inicial. Como vimos, martingales podem ser usados para modelar a fortuna de um jogador, participando de um jogo justo.
Ou seja, se{Xn}´e um martingale, temos queE(Xn) =E(Xn−1) =. . .=E(X0), de modo que a fortuna esperada do jogador em qualquer tempo ´e igual `a sua fortuna esperada inicial.
72 CAP´ITULO 4. MARTINGALES Suponha, agora, que T seja um tempo de parada e XT ´e a fortuna do jogador nesse instante; ser´a que E(XT) = E(X0)? Em geral, a resposta ´e negativa, como mostrado em Doyle e Snell (1984). O TAO d´a condi¸c˜oes para que isso seja verdade.
O TAO ´e importante em muitas aplica¸c˜oes, em particular em finan¸cas, no con-texto do teorema fundamental do apre¸camento de ativos. O conte´udo essencial desse teorema ´e que n˜ao se pode ganhar (em m´edia) comprando-se e vendendo-se um ativo cujo pre¸co ´e modelado por um martingale.
Teorema 4.7. (Teorema da Amostragem Opcional). Seja {Xn,Fn, n ≥ 1} um (sub)martingale eT1≤T2 ≤. . . tempos de parada finitos relativamente a{Fn, n≥ 1}. Suponha que:
(a) E(|XTn|)<∞, para cada n.
(b) limN→∞infR
{Tn>N}|XN|dP = 0, para cada n.
Ent˜ao, {XT1, XT2, . . .}´e um (sub)martingale relativo a {FT1,FT2, . . .}.
Antes de demonstrar o teorema, vamos fazer uma observa¸c˜ao e apresentar algu-mas aplica¸c˜oes do TAO.
Observa¸c˜ao: H´a uma vers˜ao “mais simples”’ do TAO, dada em Williams (1991, Theorem 10.10). Seja X um martingale e T um tempo de parada. Suponha que qualquer uma das seguintes condi¸c˜oes valha:
(i) Existe um inteiro positivo N tal queT(ω)≤N, para todoω ∈Ω.
(ii) Existe um real positivoK tal que |Xn(ω)|< K, para todo ne todo ω ∈Ω, e T ´e finito q.c.
(iii) E(T)<∞ e existe um real positivo K tal que|Xn(ω)−Xn−1(ω)|< K, para todo ne todoω ∈Ω.
Ent˜ao XT ´e integr´avel e E(XT) =E(X0).
Aplica¸c˜oes do TAO
[1] Seja M > 0, inteiro, e T um tempo de parada tal que T ≤ M q.c. Ent˜ao, se {Xn, n≥1}´e um (sub)martingale, tamb´em o ser´a{X1, XT, XM}.
De fato, (b) est´a satisfeita e (a) tamb´em, pois E(|XT|) ≤ PM
k=1E(|Xk|) <∞.
Em particular, se {Xn} ´e um martingale, E(X1) = E(XT) = E(XM). Se for um submartingale, substituir os sinais de igualdade por desigualdade.
[2] Se {Xn, n≥ 1} ´e um (sub)martingale, e T um tempo de parada, finito ou n˜ao, ent˜ao {XT∧1, XT∧2, . . .} ´e um (sub)martingale.
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[3] SejamT1 ≤T2 ≤. . .tempos de parada eM1, M2, . . .constantes, tais queTi≤Mi, para todo i ≥ 1. Se {Xn, n ≥ 1} ´e um (sub)martingale, ent˜ao {XT1, XT2, . . .}
tamb´em o ser´a.
[4] Seja{Xn, n≥1}um martingale uniformemente integr´avel. SejamT1≤T2 ≤. . . tempos de parada finitos. Ent˜ao,{XT1, XT2, . . .}´e um martingale.
De fato, a condi¸c˜ao (b) do TAO vale, pois X ´e u.i. Por outro lado, {|Xn|}
´
e um submartingale, pelo Teorema 4.6, logo {XTk∧n, Xn} ´e um submartingale e portanto E(|XTk∧n|) ≤ E(|Xn|). Segue-se que E(|XTk∧n|) ≤ supnE(|Xn|) < ∞, pois temos i.u. Quando n→ ∞,XTk∧n →XTk q.c (poisTk<∞), logoE(|XTk|) ≤ supnE(|Xn|)<∞.
Prova do TAO: E suficiente provar que, dadas as hip´´ oteses, se S ≤ T s˜ao dois tempos de parada, ent˜ao E(XT|FS) = XS, no caso de um martingale e sinal de desigualdade, se submartingale. Ou seja, se Λ ∈ FS, provar que R
ΛXTdP = (≤
)R
ΛXSdP. Mas, para provar essa rela¸c˜ao ´e suficiente provar a desigualdade mais forte
Z
Λ∩{S=j}
XTdP = (>) Z
Λ∩{S=j}
XSdP.
Mas,
Z
Λ∩{S=j}
XSdP = Z
Λ∩{S=j}
XjdP = Z
Λ∩{S=j,T=j}
XjdP + Z
Λ∩{S=j,T >j}
XjdP.
Como o conjunto Λ∩ {S =j, T > j} ∈ Fj,obtemos que o ´ultimo termo ´e
= (<) Z
Λ∩{S=j,T=j}
XjdP+ Z
Λ∩{S=j,T >j}
Xj+1dP,
pela defini¸c˜ao de (sub)martingale, e fazendo-se Λ∩{S=j, T > j}= Λ∩{S =j, T = j+ 1} ∪Λ∩ {S=j, T > j+ 1}, e assim sucessivamente, obtemos
= (<)
N
X
k=j
Z
{Λ,S=j,T=k}
XkdP + Z
{Λ,S=j,T >N}
XNdP
= Z
{Λ,S=j, j≤T≤N}
XTdP + Z
{Λ,S=j, T >N}
XNdP.
Quando N → ∞, o ´ultimo termo tende a zero, por (b), e pelo TCD a primeira integral tende a R
{Λ,S=j}XTdP. .
74 CAP´ITULO 4. MARTINGALES