S´ eries Aleat´ orias

44 CAP´ITULO 2. INDEPEND ˆENCIA (b) F tem um n´umero enumer´avel de descontinuidades. Seja a₁, a₂, . . . uma enu-mera¸c˜ao de tais descontinuidades. Ent˜ao,F_n(a_k, ω)−F_n(a_k−, ω) ´e um salto da f.d.e.

que converge para F(ak, ω)−F(ak−, ω) q.c. Ou seja, para ω /∈Aak, um conjunto nulo, temos essa convergˆencia. De fato, seja

Z_k(ω) =

1, seXn(ω) =ak, 0, caso contr´ario.

Ent˜ao, usando o mesmo argumento que em (a), obtemos o resultado. Al´em disso, existe um conjunto nuloM tal que, se ω /∈M, teremos

n→∞lim{F_n(λ, ω)−F_n(λ−, ω)}=F(λ, ω)−F(λ−, ω), sempre queλseja um ponto no qual F tenha um salto.

(c) Tome qualquer ω /∈ M ∪N. Para tal ω, temos F_n(λ, ω) → F(λ, ω), para qualquer λ racional, e Fn(λ, ω)−Fn(λ−, ω)} → F(λ, ω)−F(λ−, ω). Isso implica em convergˆencia uniforme de F_n para F para o ω escolhido. .

e

E(I_AS_n²) =E(S_n²)−E(S_n²I_A^c)≥

n

X

k=1

σ_k²−a²[1−P(A)], (2.11) de modo que combinando (2.10) e (2.11) temos

[(a+c)²+

n

X

k=1

σ_k²]P(A)≥

n

X

k=1

σ²_k−a²[1−P(A)], logo

P(A)≥

Pn

k=1σ²_k−a² (a+c)²+Pn

k=1σ²_k−a² = 1− (a+c)² (a+c)²+Pn

k=1σ_k²−a² ≥1− (a+c)² Pn

k=1σ²_k.

Provamos antes que, seX1, X2, . . .s˜ao independentes, de m´edia zero, e seP

kσ²_k<

∞, ent˜ao P

kX_k converge q.c. A rec´ıproca ´e verdadeira se adicionarmos uma outra condi¸c˜ao.

Teorema 2.15 Sejam X1, X2, . . . independentes, de m´edia zero, |X_k| ≤ c, para todo k e algum c. Suponha que P

kX_k convirja q.c. Ent˜ao P

kσ_k² < ∞, onde σ_k² =Var(Xk).

Prova: Suponha que S_n = P_n

i=1X_i converge. Ent˜ao sup_n≥N|S_n+N −S_n| → 0 q.c, quandoN → ∞. Portanto, lim_N→∞P{sup_n≥N|S_n+N−S_n|> ε}= 0.TomeN grande de modo queP{sup_n≥N|S_n+N−S_n|> ε} ≤1/2. Suponha queP∞

k=1σ²_k=∞.

Ent˜ao, teremos:

1

2 ≥P{sup

n≥N

|S_n+N −S_n|> ε} ≥P{ sup

M≥n≥N

|S_n+N−S_n|> ε} ≥1− (ε+c)² PM

k=Nσ²_k, usando a Proposi¸c˜ao 2.1 e a segunda desigualdade valendo para qualquer M >

N. Como PM

k=Nσ_k² → 0, obtemos 1/2 ≥ 1, uma contradi¸c˜ao. Logo devemos ter P∞

k=1σ_k²<∞.

Teorema 2.16. (Teorema das trˆes s´eries de Kolmogorov) Sejam X₁, X₂, . . . v.a’s independentes. A s´erieP∞

i=1X_i converge q.c se, e somente se as seguintes trˆes s´eries convergem:

(i) P∞

n=1P{|X_n|> c}; (ii)P∞

n=1Var(X_n^c); (iii)P∞

n=1E(X_n^c), ondeX_n^c =X_n, se|X_n| ≤c eX_n^c = 0,se|X_n|> c, para c >0.

46 CAP´ITULO 2. INDEPEND ˆENCIA Prova: (a) Suponha que as trˆes s´eries dadas em (i)-(iii) convergem. Para mostrar queP

nX_n converge q.c, basta mostrar que P

nX_n^c converge q.c. Como (i) implica queX_n^c =Xn, com exce¸c˜ao de um n´umero finito de ´ındicesn, pelo Lema de Borel-Cantelli. Mas, por (ii), temos que P∞

n=1[X_n^c−E(X_n^c)] converge q.c, pelo Teorema 2.10. Tamb´em, por (iii) obtemos queP

nX_n^c converge q.c.

(b) Suponha, agora, que P

nX_n converge q.c. Ent˜ao X_n → 0 q.c, o que implica P{|X_n|> ci.v}= 0, para todoc >0, logo por Borel-Cantelli,P

nP(|X_n|> c)<∞, e (i) segue. Tamb´em segue que P

nX_n^c converge q.c, pois as caudas de ambas as s´eries s˜ao as mesmas.

Sejam Y1, Y2, . . . v.a’s independentes tais que, para todo k, Yk tenha a mesma distribui¸c˜ao que X_k^c e F {Y₁, Y2, . . .} seja independente de F {X₁^c, X₂^c, . . .}. Ent˜ao, P

n(X_n^c−Y_n) converge q.c. Os termos dessa soma tˆem m´edia zero, e s˜ao limitados em valor absoluto por 2c. Portanto, pelo Teorema 2.15, P

nVar(X_n^c −Yn) < ∞.

Mas Var(X_n^c−Yn) = 2Var(X_n^c), portanto P

nVar(X_n^c)<∞, provando (ii).

Novamente, usando o Teorema 2.10, segue-se que P

n[X_n^c−E(X_n^c)]<∞ e como P

nX_n^c <∞, obtemo queP

nE(X_n^c) converge q.c, e (iii) fica provada. . At´e agora usamos trˆes m´etodos importantes:

(i) Truncamento: substitu´ımos X_k porX_k^c;

(ii) Centraliza¸c˜ao com respeito a m´edias: substitiu´ımosX_k porX_k−E(X_k);

(iii) Simetriza¸c˜ao: substitu´ımos Xk por Xk−Yk, ondeYk ´e independente de Xk e tem a mesma distribui¸c˜ao que X_k.

Uma outra possibilidade: centrar com respeito a medianas. Lembremos que a mediana de uma v.a. X ´e um n´umerom tal que P(X ≥m) ≥1/2 e P(X ≤m) ≥ 1/2.Usaremos a nota¸c˜aom(X).

Teorema 2.17 (Desigualdade de L´evy) Sejam X1, X2, . . . independentes e Sn = P_n

i=1X_i. Ent˜ao,

P{max

1≤k≤n|S_k−m(Sn−Sk)| ≥λ} ≤2P{|S_n| ≥λ}. (2.12) Prova: (a) Provamos primeiro queP{max_1≤k≤n(S_k−m(S_n−S_k))≥λ} ≤2P{S_n≥ λ}.Chamemosm_k,n=m(S_n−S_k). Ent˜ao, temos:

(i) P{max _≤k≤n(S_k−m_k,n)≥λ} ≤P{S_n≥λ), (ii)P{max_1≤k≤n(S_k−m_k,n)≥λ, Sn< λ}=Pn−1

k=1P(τ =k, Sn< λ),

onde τ ´e o primeiro inteiro k tal que Sk−mk,n ≥ λ. Segue-se que a ´ultima soma

´

e ≤ Pn−1

k=1P(τ = k, S_n < S_k −m_k,n) = Pn−1

k=1P(τ = k)P(S_n −S_k < −m_k,n) =

Morettin - mar¸co/2018

Pn−1

k=1P(τ =k)P(m_k,n< S_k−S_n)), devido `a independˆencia entre{τ =k} e{S_n<

S_k−m_k,n}.

Pela defini¸c˜ao de mediana, P(m_k,n < S_k −Sn) ≤ P(S_k−Sn ≤ m_k,n), logo Pn−1

k=1P(τ = k)P(m_k,n < S_k −S_n)) ≤ Pn−1

k=1P(τ = k)P(S_n ≥ S_k −m_k,n) = Pn−1

k=1P(τ =k, S_n≥S_k−m_k,n)≤Pn−1

k=1P(τ =k, S_n≥λ) =P(S_n≥λ).

Portanto, P{max(S_n−m_k,n) ≥ λ, Sn < λ} ≤ P(Sn ≥ λ}. Adicione (i) e (ii) para obter o desejado.

(b) Para o caso geral, na parte (a) substitua X_n por −X_n na prova. Obtenha P{ max

1≤k≤n(−S_k+m_k,n)≥λ} ≤2P{−S_n≥λ}, portanto

P{max

1≤k≤n|S_k−m_k,n| ≥λ} ≤P{ max

1≤k≤n(S_k−m_k,n)≥λ}+P{max

1≤k≤n(−S_k+m_k,n)≥λ}

≤2P{S_n≥λ) + 2P{−S_n≥λ}= 2P{|S_n| ≥λ}.

Esse resultado pode ser usado para provar o teorema a seguir.

Teorema 2.18. Sejam{X_i, i≥1} v.a’s independentes. Ent˜ao P

kXk converge em probabilidade se, e somente se,P

kX_k converge q.c.

Prova: (⇐) Trivial (⇒) Seja S_n =Pn

k=1X_k. Suponha que S_k → S em probabilidade. Ent˜ao, existe uma subsequˆencia {n_k} tal queS_nk →S q.c e P∞

k=1P{|S_nk−S_nk+1|>1/2^k}<∞.

Defina

Mk= max

nk≤n≤nk+1

|S_n−Snk−m(Sn−Snk+1)|.

Ent˜ao, pela desigualdade de L´evy,

P(Mk ≥1/2^k)≤2P{|S_nk−Snk+1|>1/2^k}.

LogoP

kP(M_k≥1/2^k)<∞, implicando que M_k→0 q.c. Ou seja, paran_k≤n≤ n_k+1,

|S_n−m(Snk+1−Sn)−S| ≤ |S−Snk|+|S_n−Snk−m(Snk+1−Sn)|,

e como S−S_nk → 0, e o segundo termo ´e menor ou igual a M_k, que tende a zero q.c, segue-se que Sn−m(Snk+1 −Sn) → S q.c. Mas Sn → S em probabilidade, portantom(S_nk+1−S_n)→0, isto ´e,S_n→S q.c.

48 CAP´ITULO 2. INDEPEND ˆENCIA

Problemas

1. Prove a Proposi¸c˜ao 2.2.

2. Prove que as v.a’s definidas no exemplo 2.2 s˜ao independentes.

3. Prove a Aplica¸c˜ao 1, logo ap´os o Teorema 2.6.

4. Prove formalmente a Aplica¸c˜ao 1 (b), ap´os o Teorema 2.7.

5. Idem, Aplica¸c˜ao 3.

6. Sejam X₁, X₂, . . . independentes. Prove que seS_n/n converge a um limite finitoY, ent˜aoY ´e necessariamente constante.

7. Prove (i) do Exemplo 2.3.

8. Prove que o evento Λ de (iii) do Exemplo 2.3 ´e um evento sim´etrico emF {X1, X2, . . .}.

9. Prove que a classe dos eventos sim´etricos ´e umaσ-´algebra.

10. Sejam{Xi, i≥1}v.a’s i.i.d. Mostre queP{ω:Xn(ω) converge}= 0, supondo que a distribui¸c˜ao deX n˜ao est´a concentrada num ´unico ponto.

11. Sejam{X_i, i≥1} v.a’s i.i.d., com f.dF definida porF(x) = 1−e^−x, x≥0, F(x) = 0, x <0.Prove que:

(a)P{(Xn/logn)>2 i.v}= 0, mas que (b)P{(Xn/logn)>1 i.v}= 1.

12. SejamX₁, X₂, . . .v.a’s i.i.d.,P(X₁= 1) =p, P(X₁=−1) =q,p > q, p+q= 1. Seja S_n=X₁+. . .+X_n. S_n´e um passeio casual. Ent˜ao, prove que P(S_n = 0 i.v) = 0.

13. Prove que P{ω : lim inf_n→∞P

Xk(ω) > −∞} = 0 ou 1, onde {Xn, n≥ 1} ´e uma sequˆencia de v.a’s independentes, cada uma q.c finita.

14. Seja{Xn, n≥1}uma sequˆencia de v.a’s i.i.d, comE(Xi) = 0 e seja{cn, n≥1}uma sequˆencia limitada de constantes. Prove quePn

k=1ckXk/n→0 q.c.

15. A afirma¸c˜ao: lim_nsup(X₁+. . .+X_n)/n´e mensur´avel relativamente `aσ-´algebra caudal,

´e falsa ou verdadeira? Justifique.

16. SejamXeY v.a’s independentes e suponha queE(|X+Y|)<∞. Prove queE(|X|)<

∞.

17. Sejam{X_i, i≥1} v.a’s i.i.d, E(|X₁|) <∞. Prove que (X₁+. . .+X_n)/n converge paraE(X1) emL1.

18. Sejam{Xi, i≥1}v.a’s i.i.d, cada umaN(0,1). Mostre queP

n(Xn/n^α) converge q.c seα >1/2 e diverge seα≤1/2.

19. Suponha{Xi, i≥1} v.a’s com m´edias µi e variˆanciasσ²_i, n˜ao necessariamente inde-pendentes. SuponhaXi n˜ao correlacionadas.

(a) Prove que Var(Pn

i=1Xi) =Pn

i=1Var(Xi);

(b) Prove que, sePn

i=1σ²_i/n²→0, paran→ ∞, ent˜ao (X1+. . .+Xn)/n−(µ1+ . . .+µn)/n→0, emL1 e em probabilidade.

Morettin - mar¸co/2018

20. Seja (Ω,F, P) um e.p. e os eventosA, B deF. Prove que, seP(A) = 0 ou 1, ent˜aoA eB s˜ao independentes.

21. Seja Ω = {1,2,3,4,5} e F = 2^Ω, Suponha que P({1}) = P({4}) = P({5}) = 1/6, P({2}) =P({3}) = 1/4. Sejam F1 eF2 σ-´algebras sobre Ω geradas por{1,2} e {3,4,5}, respectivamenbte. Verifique seF1 eF2 s˜ao independentes.

22. Prove que as v.a’s do Exemplo 2.1 s˜ao independentes, mostrando que ambos os lados da igualdade s˜ao iguais a 2^−k.

23. (Doukhan, 2015) (a) Sejam X, Y v.a’s reais e independentes com X sim´etrica (isso significa que−X tem a mesma distribui¸c˜ao deX),E(X²)<∞eP(Y =±1) = 1/2.

ConsidereZ=XY. Prove que Cov(X, Z) = 0 e, al´em disso, se|X|n˜ao for constante q.c, ent˜aoX, Z n˜ao s˜ao independentes.

(b) Se as v.a’sX eY tˆem valores em{0,1} e satisfazem Cov(X, Y) = 0, prove queX eY s˜ao independentes.

Esperan¸ ca Condicional

3.1 Defini¸ c˜ oes e Fatos B´ asicos

No Problema 28 do Cap´ıtulo 1, para A ∈ F, P(A) > 0, definimos a probabi-lidade condicional P(B|A) = P(A∩B)/P(A), para todo B ∈ F. Segue-se que (Ω,F, P(·|A)) ´e um e.p. Dessa defini¸c˜ao seguem resultados importantes, como a lei da probabilidade total,P(B∩A) =P(A)P(B|A), e o Teorema de Bayes,

P(B|A) = P(B)P(A|B)

P(A) , (3.1)

que nos diz que a probabilidade a posteriori de B, dado que A ocorreu, ´e obtida, essencialmente, pelo produto da probabilidadea priori de B,P(B), pela verossimi-lhan¸caP(A|B). Veja os problemas 21 e 22.

Se X for uma v.a definida neste e.p, com valores{x_k}, podemos tamb´em definir a probabilidade condicional

P(A|X =xk) = P(A, X =x_k)

P(X=xk) , (3.2)

se P(X =x_k) >0, e definida arbitrariamente como sendo zero, se a probabilidade do denominador for zero. No caso geral, podemos considerar A∈ F e B ∈ B, com P(X∈B)>0 e definir

P(A|X∈B) = P(A, X ∈B)

P(X∈B) . (3.3)

Se quisermos dar um significado preciso para P(A|X=x) teremos que recorrer ao conceito de derivada de Radon-Nikodym, o que ser´a feito a seguir, quando de-finirmos o conceito mais geral de esperan¸ca condicional. Uma maneira equivalente

´

e definir a probabilidade condicional de A, dadaX(ω), como qualquer v.a sobre Ω, F {X}-mensur´avel, satisfazendo

52 CAP´ITULO 3. ESPERANC¸ A CONDICIONAL

P(A, X ∈B) = Z

{X∈B}

P(A|X)dP, para todoB ∈ B. (3.4) Quaisquer duas vers˜oes de P(A|X) diferem num conjunto de probabilidade nula.

Ver Breiman (1969) para detalhes.

De modo an´alogo, podemos considerar a esperan¸ca condicional E(Y|X = x), dadas duas v.a’s X e Y sobre (Ω,F, P). SeE(|Y|)<∞, ent˜ao E(Y|X) ´e qualquer fun¸c˜ao F {X}-mensur´avel satisfazendo

Z

A

E(Y|X)dP = Z

A

Y dP, para todoA∈ F {X}. (3.5) Ou seja, tanto P(A|X) comoE(Y|X) dependem somente de F {X}.

A seguir definimos uma esperan¸ca condicional mais geral, ou seja, a esperan¸ca condicional de uma v.a com respeito a umaσ-´algebra.

Defini¸c˜ao 3.1. Seja (Ω,G, P) um e.p e F uma σ-´algebra contida em G. Seja X uma v.a integr´avel sobre(Ω,G, P). A esperan¸ca condicional deX com respeito aF, denotada porE(X|F), ´e qualquer v.a satisfazendo:

(i) E(X|F)´e F-mensur´avel;

(ii) Se Λ´e qualquer conjunto emF, ent˜ao Z

Λ

E(X|F)dP = Z

Λ

XdP. (3.6)

Note que E(X|F) n˜ao ´e definida univocamente, mas quaisquer duas v.a’s que satisfazem (i) e (ii) ser˜ao iguais q.c. Assim, E(X|F) ´e qualquer uma das classes de equivalˆencia de v.a’s sobre Ω satisfazendo (i) e (ii).

Seja (Ω,G) qualquer espa¸co mensur´avel, µ uma medida sobre esses espa¸co e ν uma medida sinalizada sobre o mesmo espa¸co. Dizemos que ν ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ se ν(A) = 0 sempre que µ(A) = 0, para todo A ∈ G.

Escrevemos ν << µ. O seguinte resultado ´e fundamental.

Teorema 3.1. (Radon-Nikodym)Seja(Ω,G)um espa¸co mensur´avel eµuma medida finita sobre o mesmo. Suponhaν << µ. Ent˜ao, existe uma fun¸c˜ao G-mensur´avelX tal que, para todo A∈ G,

ν(A) = Z

A

Xdµ.

Morettin - mar¸co/2018

A v.a. X ´e ´unica a menos de conjuntos de medida µ-nula; dizemos que X ´e a derivada de Radon-Nikodym deν com respeito a µ e escrevemos X = _dµ^dν. Usamos esse fato para provar o seguinte resultado.

Teorema 3.2. A esperan¸ca condicional como definida acima existe.

Prova: Considere a fun¸c˜ao de conjunto ν sobre F definida por ν(A) =

Z

A

XdP, ∀A∈ F.

Esta fun¸c˜ao tem valores finitos e ´e enumeravelmente aditiva, logo ´e uma medida sinalizada. Se P(A) = 0, ent˜ao ν(A) = 0, logo ν << P. Pelo Teorema 3.1, existe uma fun¸c˜ao F-mensur´avel Y tal que ν(A) = R

AY dP. Segue-se que Y satisfaz a defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional, e dν/dP =E(X|F). .

Para aσ-´algebraF {X}gerada pela v.aX, escrevemosE(Y|X) paraE(Y|F {X}).

De modo similar, E(X|X₁, . . . , Xn) ´e definida como E(X|F {X₁, . . . , Xn}). Para Λ ∈ G, defina P(Λ|F) = E(I_Λ|F), como sendo a probabilidade condicional de Λ com respeito a F. Especificamente, P(Λ|F) ´e qualquer uma das classes de equi-valˆencia de v.a’s F-mensur´aveis satisfazendo

P(Λ∩B) = Z

B

P(Λ|F)dP, para todoB ∈ F.

Considere X1, X2, . . . v.a’s sobre (Ω,G, P) eE(X|X₁, . . . , Xn). Cada vers˜ao da esperan¸ca condicional de X, dadasX₁, . . . , X_n ´e F {X₁, . . . , X_n}-mensur´avel. Tome qualquer uma dessas vers˜oes. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao mensur´avel de Borel ϕ : Rⁿ→R, tal que

E(X|X₁, . . . , Xn) =ϕ(X1, . . . , Xn) q.c,

pelo Teorema 1.10. Como consequˆencia desse fato, a fun¸c˜aoE(Y|X) ( ouE(X|X₁, . . . , X_n)), como fun¸c˜ao deω, ´e constante q.c em cada conjunto sobre o qualX(ω) seja constante

(ou sobre o qual (X1, . . . , Xn) seja constante). Frequentemente, usamos a nota¸c˜ao E(Y|X=x) =ϕ(x) ouE(X|X₁=x1, . . . , Xn=xn) =ϕ(x1, . . . , xn).

Exemplo 3.1. (a) Se F ={∅,Ω}, ent˜ao E(X|F) =E(X).

(b) SeX ´e F-mensur´avel, ent˜ao E(X|F) =X.

Exemplo 3.2. (a) Sejam Λ1, . . . ,Λneventos emG, disjuntos e∪Λ_i = Ω, P(Λi)>0.

SejaF aσ-´algebra gerada pelos{Λ_i}. Ent˜ao, E(X|F) = 1

P(Λi

Z

Λi

XdP, para cadaω∈Λi. (3.7)

54 CAP´ITULO 3. ESPERANC¸ A CONDICIONAL De fato, (i) da defini¸c˜ao est´a satisfeita, pois (3.7) ´e F-mensur´avel (constante).

Quanto a (ii), devemos mostrar que, se Λ ∈ F, ent˜ao R

ΛE(X|F)dP =R

ΛXdP. ´E suficiente verificar a igualdade para cada Λi, poisF ´e gerada por reuni˜oes dos Λi. Ent˜ao, para cada i,

Z

Λi

E(X|F)dP = Z

Λi

1 P(Λi)

Z

Λi

XdP

dP = 1 P(Λi)

Z

Λi

dP Z

Λi

XdP = Z

Λi

XdP.

Note que E(X|F) ´e constante q.c sobre os ´atomos de F (dada uma σ-´algebra F, um ´atomo de F ´e qualquer conjunto Λ∈ F tal que, seA⊂Λ e se A∈ F, ent˜ao P(A) = 0 ou P(A) =P(Λ)).

(b) Dados os Λ_i de (a), defina Y = Pn

i=1c_iI_Λi, sendo os c_i distintos. Ent˜ao, E(X|Y) =E(X|F), onde F ´e aσ-´algebra gerada pelos Λi.

(c) SejaF gerada por um conjunto Λ, isto ´e, F ={∅,Ω,Λ,Λ^c}. Ent˜ao, se A∈ G, P(A|F) =

(_P(A∩Λ)

P(Λ) , seω∈Λ

P(A∩Λ^c)

P(Λ^c) , seω∈Λ^c.

Exemplo 3.3. Seja Ω = [−1,1], F a σ-´algebra de Borel eP=(medida de Borel)/2.

Defina uma v.aY sobre (Ω,F, P) por Y(ω) =ω. Ent˜ao,Y geraF. SejaX uma v.a sobre o mesmo e.p, integr´avel .

(a)E(X|Y) =X, poisX ´eF-mensur´avel e F {Y}=F. (b)E(X|Y³) =X, pela mesma raz˜ao.

(c) E(X|Y²) = [X(ω) +X(−ω)]/2. Note que, agora, a σ-´algebra gerada por Y² consiste de todos os conjuntos de BorelM, tais queM =−M. Mostre que (i) e (ii) da defini¸c˜ao est˜ao satisfeitas.

Exemplo 3.4. Seja Ω = R²,G a σ-´algebra de Borel sobre R²; seja f(x, y) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa, f :R² → R, com R

R²f(x, y)dxdy = 1. DefinaP sobre (Ω,G) por P(A) =R

Af dxdy, para todoA∈ G. Defina v.a’s X e Y sobre (Ω,G, P) por:

se ω∈R², ω= (ω₁, ω₂), X(ω) =ω₁, Y(ω) =ω₂. Ent˜ao, a f.d conjunta de (X, Y) ´e dada por

F(x, y) =P{ω:X(ω)≤x, Y(ω)≤y}= Z x

−∞

Z y

−∞

f(x, y)dxdy.

Morettin - mar¸co/2018

Seja f₁(x) a densidade marginal de X. Ent˜ao, afirmamos que uma vers˜ao da E[g(Y)|X], para alguma fun¸c˜ao de Borelg, ´e dada por

E[g(Y)|X] = R∞

−∞g(y)f(x, y)dy

f₁(x) =h(X). (3.8)

Para justificar tal afirma¸c˜ao, temos que provar que h(X) ´e F {X}-mensur´avel e satisfaz a propriedade (ii).

(i) f1(x) ´e F {X}-mesnur´avel, o mesmo valendo para R∞

−∞g(y)f(x, y)dy, pelo teo-rema de Fubini. Logo, o quocienteh(X) em (3.8) ´eF {X}-mensur´avel, se mostrar-mos queP{f₁(X) = 0}= 0. Seja Λ ={x:f₁(x) = 0}. Ent˜ao,

P(Λ) = Z

Λ

Z ∞

−∞

f(x, y)dxdy = Z

Λ

f1(x)dx= 0.

(ii) Tome Λ∈ F {X}. Devemos provar que Z

Λ

g(Y)dP = Z

Λ

h(X)dP.

Mas qualquer tal Λ ´e da forma Λ =A₁×R, ondeA₁ ∈ B, logo Z

A1×R

g(Y)dP = Z

A1

Z

R

g(y)f(x, y)dxdy = Z

A1

Z

R

g(y)f(x, y)

f1(x) f₁(x)dydx

= Z

A1

h(x)f1(x)dx= Z

A1

h(x)[

Z

R

f(x, y)dy]dx= Z

A1×R

h(x)f(x, y)dydx

= Z

A1×R

h(x)dP.

Note que, na primeira e ´ultima igualdades, usamos os fato que dP =f dxdy.

No documento T´opicos em Probabilidade Avan¸cada (páginas 49-60)