60 CAP´ITULO 3. ESPERANC¸ A CONDICIONAL (iii) A seguir, (3.16) vale paraX ≥0, integr´avel, A-mensur´avel. Basta tomar uma sequˆencia Xn↑X, de fun¸c˜oes simples e usar o TCM.
(iv) Portanto, (3.16) vale para qualqer X que seja A-mensur´avel, usando X = X+−X−.
Defini¸c˜ao 3.3. Seja(Ω,G, P) um e.p,F ⊂ GeY = (Y1, . . . , Yn)uma v.a sobre esse e.p. Uma probabilidade condicional regular sobreF {Y}, relativamente a F, ´e uma fun¸c˜ao definida emF {Y} ×Ω e valores emR, tal que:
(i) P(A,·)´e uma vers˜ao de P(A|F), para cadaA∈ F {Y};
(ii) P(·, ω)´e uma medida de probabilidade sobre F {Y}, para cada ω.
Defini¸c˜ao 3.4. Sejam F {Y} e F como antes. Uma probabilidade condicional em sentido amplo para F {Y}, relativamente a F, ´e uma fun¸c˜ao Q(·,·) : Bn×R→ R, tal que:
(i) Q(B,·) =P{Y−1(B)|F } q.c, se B∈ Bn;
(ii) Q(·, ω)´e uma medida de probabilidade sobreBn, para cada ω.
Se ϕ for uma fun¸c˜ao de Borel de Rn em R, e com as nota¸c˜oes da defini¸c˜ao de Q(·,·), pode-se provar que
E[ϕ(Y1, . . . , Yn)|F](ω) = Z
R
ϕ(y1, . . . , yn)Q(dy, ω).
Basta seguir os mesmos passos da prova do Teorema 3.3.
Os seguintes resultados n˜ao ser˜ao provados.
Teorema 3.4. Seja (Ω,G, P) um e.p, F ⊂ G e Y = (Y1, . . . , Yn) um vetor sobre o e.p. Ent˜ao, existe uma probabilidade condicional em sentido amplo para F {Y} relativamente aF.
Corol´ario 3.1. Seja (Ω,G, P) um e.p, F ⊂ G e Y = (Y1, Y2, . . .) uma sequˆencia de v.a’s sobre o e.p. Ent˜ao, existe uma probabilidade condicional em sentido amplo paraF {Y} relativamente aF.
Problemas
1. Prove (a) e (b) do exemplo 3.1.
2. Prove (b) do exemplo 3.2.
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3. Prove (c) do exemplo 3.3.
4. Prove a propriedade P1.
5. Prove as propriedades P5 e P6.
6. SejaX integr´avel,Y limitada. Prove que
E[E(X|F)Y] =E[XE(Y|F)]. 7. SeX≥0,E(X)<∞, ent˜aoE(X|F)≥0 q.c.
8. Prove que, seF {X}for independente deF,E(|X|)<∞, ent˜aoE(X|F) =E(X) q.c.
9. Prove que Var[E(Y|F)]≤Var(Y).
10. Dˆe um exemplo ondeE[E(Y|X1)|X2]6=E[E(Y|X2)|X1].
11. SejaY uma v.a com f.dF(x) = 1−e−x, sex≥0 eF(x) = 0, sex <0. Calcule:
(a)E(Y|Y ∨t); (b)E(Y|Y ∧t), t >0.
12. Sejam X e Y independentes e B um conjunto de Borel. Prove que P{(X +Y) ∈ B|X}=PY{B−X} q.c.
13. SejamX1, . . . , Xn independentes eSn=X1+. . .+Xn. Prove que P{Sn∈B|S1, . . . , Sn−1}=P{Sn∈B|Sn−1}.
14. Seja Ω = [−π, π], F aσ-´algebra de Borel eP = (medida de Borel sobre [−π, π])/2π.
Calcule E(X|Y), se X integr´avel sobre (Ω,F, P) e Y(ω) = sen(nω), n um inteiro positivo fixo.
15. SejamX1, X2, . . . v.a’s i.i.d, E(|X1|) <∞ e Sn =X1+X2+. . .+Xn. Prove que E(X1|Sn, Sn+1, . . .) =Sn/n.
16. SeX eY est˜ao emL2, prove queE[E(X|F)Y] =E[XE(Y|F)].
17. Seja Ω = [−1,1]×[−1,1], F a σ-´algebra de Borel, P = 1/4(medida de Borel). Se ω= (ω1, ω2)∈Ω, seja X(ω) =ω1, Y(ω) =ω2. CalculeE[X|(X+Y)2].
18. SejaX uma v.a,F1, F2duasσ-´algebras. Prove que, seF {X} ∨ F1for independente deF2, ent˜aoE(X|F1∨ F2) =E(X|F1) q.c.
19. Suponha queX seja uma v.a com variˆancia finita eF uma sub-σ-´algebra deG. Prove que
E(X−E(X|F))2=E(X2)−E(E(X|F))2.
20. Defina avariˆancia condicionalcomo Var(X|F) =E((X−E(X|F))2|F). Sejam X e Y duas v.a’s com variˆancias finitas,F ⊂ G,e sejaguma fun¸c˜ao com valores reais, tal queE(g(X))2<∞. Prove que
E(Y −g(X))2=E[Var(Y|F)] +E[E(Y|F)−g(X)]2≥E[Var(Y|F)], com igualdade seg(X) =E(Y|F).
62 CAP´ITULO 3. ESPERANC¸ A CONDICIONAL 21. Considere {C1, . . . , Cn} uma parti¸c˜ao de Ω (ou seja, uma cole¸c˜ao de eventos mutu-amente exclusivos cuja reuni˜ao ´e Ω). Prove que, para todo evento A ⊂Ω, P(A) = Pn
k=1P(A|Ck)·P(Ck).
22. Com a mesma parti¸c˜ao do problema anterior, prove que, para todo eventoA⊂Ω, P(Ck|A) = P(A|Ck)·P(Ck)
Pn
j=1P(A|Cj)·P(Cj), k= 1,2, . . . , n.
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Martingales
Neste cap´ıtulo, vamos nos restringir ao estudo de martingales com tempo dis-creto. No cap´ıtulo seguinte trataremos de processo com tempo cont´ınuo e, em particular, martingales com tempo cont´ınuo. Os conceitos de tempo de parada e integrabilidade uniforme ser˜ao estudados antes de definir martingales.
Martingales s˜ao generaliza¸c˜oes de somas de v.a’s independentes com m´edia zero.
Veja o Exemplo 4.3 (a). Aparentemente, foram definidos pela primeira vez por Ville (1939), sendo que os resultados mais inovadores aparecem em Doob (1953). A teoria de martingales tem aplica¸c˜oes em diversas ´areas, em particular em confiabilidade e finan¸cas. Referˆencias importantes s˜ao Neveu (1975) e Williams (1991).
4.1 Tempos de Parada
Seja (Ω,F, P) um e.p e {Fn, n ≥ 1} uma sequˆencia de sub-σ-´algebras de F. Dizemos que {Fn}´ecrescente seFn⊂ Fn+1, para todon≥1.
Seja X ={Xn, n≥1} um processo estoc´astico sobre (Ω,F, P); dizemos que X
´
e adaptado a{Fn, n≥1} seXn ´e Fn-mensur´avel, para cadan≥1.
Na se¸c˜ao 4.3 estaremos interessados na seguinte quest˜ao: o que acontece quando paramos um martingale num instante de tempo aleat´orio? Para responder a essa quest˜ao, temos que ter uma regra para parar um processo estoc´astico num dado instante, de modo que essa regra n˜ao dependa do futuro. Isso nos leva `a defini¸c˜ao de tempo de parada.
Defini¸c˜ao 4.1. Um tempo de parada τ (ou v.a opcional) relativo a uma fam´ılia crescente {Fn, n ≥1}, ´e uma v.a sobre(Ω,F, P) com valores em N =N∪ {+∞}, N={1,2,3, . . .}, tal que
{ω : τ(ω) =n} ∈ Fn, para cada n∈N. (4.1)
64 CAP´ITULO 4. MARTINGALES Quando dizemos que τ ´e um tempo de parada para um processo X, isso sig-nifica que τ ´e um tempo de parada relativo `a sequˆencia crescente de σ-´algebras Fn = F {X1, . . . , Xn}. Intuitivamente, τ ´e uma v.a com valores inteiros positivos (possivelmente ∞) que fornece uma regra para parar um processo estoc´astico. A equa¸c˜ao (4.1) nos diz que a decis˜ao de parar ou n˜ao o processo no instantendepende somente da informa¸c˜ao dispon´ıvel no instante n(ou seja, a hist´oria do proceso at´e e incluindo o instante n). Nenhum conhecimento do futuro ´e necess´ario.
Defini¸c˜ao 4.2. SejaX ={Xn, n ≥1} um processo estoc´astico e τ um tempo de parada para X. Suponha τ < ∞ q.c, isto ´e, P{τ < ∞} = 1. Considere v.a Xτ
tomando o valor Xn(ω) sobre o conjunto {ω : τ(ω) = n}. Ou seja, se τ(ω) = n, ent˜aoXτ(ω)(ω) =Xn(ω).Aσ-´algebra gerada porXτ, Xτ+1, . . .´e chamadaσ-´algebra p´os-τ, e indicadaFτ+.
Defini¸c˜ao 4.3. Seja{Fn, n≥1}uma fam´ılia crescente deσ-´algebras eτ um tempo de parada relativo a essa fam´ılia. A σ-´algebra pr´e-τ, denotada Fτ−, ´e a σ-´algebra consistindo de todos os conjuntos Λ de F∞ tal que Λ∩ {ω :τ(ω) =n} ∈ Fn, para todo n≥1.
Segue-se que os eventos deFτ−s˜ao aqueles ocorrendo antes do tempo de parada τ, enquanto que os eventos deFτ+ s˜ao aqueles eventos ocorrendo depois de τ. Exemplo 4.1. (a) Seja {Fn, n≥1} e defina τ(ω) =p,constante, p∈N. Ent˜ao,τ
´
e um tempo de parada eFτ−=Fp.
(b) Seja X um processo estoc´astico e B um conjunto de Borel. Defina τ por:
τ(ω) = inf{n :Xn(ω) ∈ B}, e τ(ω) = ∞, se o conjunto acima for vazio. Segue-se queτ ´e o primeiro instante de tempo que X entra em B, e ´e um tempo de parada.
De fato, {ω : τ(ω) = n} = {ω : Xj(ω) ∈/ B, j < n, Xn(ω) ∈ B}, que pertence a Fn=F {X1, . . . , Xn}.
(c) Sejam Y1, Y2, . . . v.a’s i.i.d, P(Y1 = 1) = p, P(Y1 = −1) = q, p > q. Defina Xn= 1 +Y1+Y2+. . .+Yne sejaτ = inf{n:Xn(ω) = 0}, eτ =∞, se esse conjunto for vazio. Ent˜ao,τ ´e um tempo de parada.
(d) Considere a situa¸c˜ao de (c). Sabemos que Xn atingir´a o valor zero somente um n´umero finito de vezes, ou seja, P{Xn= 0 i.v}= 0. Definaτ como o ´ultimo tempo em que Xn = 0. Ent˜ao, τ < ∞ q.c, est´a bem definido, mas n˜ao ´e um tempo de parada.
4.1.1 Propriedades dos tempos de parada
Alguma propriedades dos tempos de paradas s˜ao enunciadas a seguir. Algumas ser˜ao demonstradas, as demais ficam como exerc´ıcios.
Morettin - mar¸co/2018
[1] Para cadan, os seguintes conjuntos est˜ao emFn, ondeτ ´e um tempo de parada relativo a {Fn, n≥1}:
{τ ≤n}, {τ =n}, {τ < n}, {τ > n}, {τ ≥n}.
De fato, {τ ≤n} =∪nm=0{τ =m} e {τ =m} ∈ Fm ⊂ Fn, se m ≤n. O conjunto {τ > n} ∈ Fn, tomando o complementar.
[2] Se σ e τ s˜ao tempos de parada, ent˜ao σ∧τ e σ∨τ s˜ao tempos de parada.
De fato, {σ∧τ}={σ=n, τ > n} ∪ {σ > n, τ =n} ∪ {σ=n, τ =n}.
[3] Sejak∈Neτ um tempo de parada. Ent˜ao,τ+k´e tamb´em um tempo de parada (Note queτ −k n˜ao necessita ser um tempo de parada).
[4] Sejamτ1, τ2, . . .tempos de parada; ent˜ao supnτn´e tamb´em um tempo de parada.
[5] τ ´e Fτ−-mensur´avel.
[6] Sejaτ um tempo de parada finito relativo aX={Xn, n≥1}. SeX ´e adaptado
`
a sequˆencia {Fn, n≥1}, ent˜ao Xτ ´e Fτ−-mensur´avel.
[7] Sejamτ1, τ2 tempos de parada,τ1≤τ2. Ent˜ao,Fτ1−⊂ Fτ2−.
De fato, se B ∈ Fτ1−, temos queB∩ {τ2≤n}=B∩ {τ1≤n} ∩ {τ2≤n} ∈ Fn, para todon≥1, ou sejaB ∈ Fτ2−.
[8] SejaX ={Xn}um processo estoc´astico eτ um tempo de parada. Para qualquer inteiro positivo n e qualquer ω ∈ Ω, defina τ ∧n(ω) = min{τ(ω), n}. Definimos, ent˜ao, oprocesso parado Xτ ={Xnτ}por Xnτ(ω) =Xτ∧n(ω)(ω).
Na se¸c˜ao 4.3 veremos que seX ´e um martingale, ent˜ao Xτ ={Xτ∧n}´e tamb´em um martingale.
Exemplo 4.2. SejamX1, X2, . . .v.a’s i.i.d e seja τ um tempo de parada finito para X={Xn, n≥1}. Ent˜ao,Fτ−eFτ+s˜ao independentes e (X1, X2, . . .) tem a mesma distribui¸c˜ao que (Xτ+1, Xτ+2, . . .) (esse ´e um caso especial da chamada propriedade forte de Markov).
De fato, seja Λ∈ Fτ−. ´E suficiente provar que
P(Λ, Xτ+1 ∈B1, . . . , Xτ+n∈Bn) =P(Λ)P(X1∈B1, . . . , Xn∈Bn), ondeBi s˜ao conjuntos de Borel.
Temos que
P(Λ,{τ =k}, Xk+1∈B1, . . . , Xk+n∈Bn) =P(Λ,{τ =k})P(Xk+1 ∈B1, . . . , Xk+n∈Bn)
66 CAP´ITULO 4. MARTINGALES
=P(Λ,{τ =k})P(X1 ∈B1, . . . , Xn∈Bn),
onde notamos que, Λ∩ {τ =k} ∈ Fk, a primeira igualdade decorre do fato de Fk ser independente de{Xk+1, . . . , Xk+n}e a ´ultima igualdade vale pois osXi s˜ao i.i.d.
Agora, basta somar sobrek para obter o resultado.