Em um artigo que teve por objetivo apresentar uma maneira alternativa de analisar os níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico propostos por Van-Hiele, a partir da apreciação das respostas de estudantes e futuros professores dos anos iniciais, Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991) verificaram que os participantes do estudo atuam em diferentes níveis ao mesmo tempo, em certos casos.
Esse fenômeno ocorre, pois, conforme os autores, os alunos aplicam procedimentos associados a mais de um nível de Van-Hiele, logo, eles apresentam diferentes graus de aquisição dos níveis dessa forma de pensar em Geometria.
Além disso, os investigadores sinalizam que a habilidade matemática de argumentar em atividades relacionadas à geometria tridimensional favorece a passagem entre os níveis por esses estudantes. Com o modelo alternativo, o foco dos autores é a identificação de estudantes que estão em transição entre os níveis de Van-Hiele.
No momento, nos atentamos em refletir sobre os atributos de cada grau de aquisição dos níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico sinalizado no estudo do grupo espanhol. Nesta tese, defendemos que estudantes do ensino
básico (mas também de outros níveis escolares) podem apresentar características de mais de um nível, não por atuarem na transição, mas sim por trabalharem em subníveis dessa forma de pensar em Geometria.
No estudo, Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991) consideraram a caracterização proposta por Van-Hiele (1957) ao pensamento geométrico, a qual indica que esse modo de pensar em Geometria é decorrente dos atributos que seguem: reconhecer uma figura geométrica por meio da aparência física, analisar essa figura em termos de suas propriedades, ordenar logicamente as propriedades de figuras e perceber as relações entre essas propriedades e entre diferentes figuras, apreciar o papel da dedução e provar teoremas dedutivamente, e estabelecer teoremas em diferentes sistemas axiomáticos.
O estudo desses autores foi desenvolvido em Valência na Espanha com 09 estudantes da oitava série da escola primária (que corresponde ao nono do ensino fundamental brasileiro) e de 41 futuros professores primários (que equivalem aos estudantes de Pedagogia no Brasil), os quais responderam cinco atividades sobre geometria tridimensional.
Na proposta, os pesquisadores basearam-se em dois argumentos. No primeiro, consideraram que, para ter uma visão mais completa do pensamento geométrico atual dos alunos, faz-se necessário tomar em conta a sua capacidade de usar cada um dos níveis de Van-Hiele, em vez de atribuir um único nível.
No segundo argumento, os autores afirmaram que na continuidade nos níveis de Van-Hiele, deve-se considerar que não é possível determinar um momento exato em que isso ocorre, mas que há um período de transição na passagem de um nível para o imediatamente superior.
Dessa forma, Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991) quantificaram a aquisição de um nível de pensamento geométrico por meio da representação de um segmento graduado de 0% a 100%. Todavia, os autores indicam que é possível identificar distintos modos de pensamento durante a aquisição de um nível.
Consequentemente, para os investigadores, também é conveniente dividir esse processo contínuos em cinco períodos, caracterizados pelas formas qualitativamente diferentes, pelas quais os estudantes argumentam. Estes períodos
representam diferenças fundamentais no grau de aquisição de um determinado nível.
Segundo os pesquisadores, a divisão proposta de cada nível de Van-Hiele em períodos não implica que o progresso por meio dos níveis não seja contínuo. A atribuição de um valor numérico ao grau de aquisição de um nível pode ser útil para as pesquisas em Educação Matemática.
No entanto, como pontuam os autores, no planejamento pedagógico do professor, é necessário ter acesso às informações qualitativas do pensamento geométrico dos estudantes, para atribuição de atividades adequadas à aprendizagem. A Figura 27 ilustra as interpretações quantitativas e qualitativas do processo de aquisição de um nível. Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991) destacam que os valores específicos atribuídos aos limites são subjetivos, até certo ponto.
Figura 27 – Graus de aquisição dos níveis de Van-Hiele segundo Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991)
Fonte: adaptado de Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991)
Como apontam os autores, na aquisição nula do nível de pensamento, os estudantes não têm consciência da existência ou da necessidade de métodos específicos de pensamento para um novo nível. Na aquisição baixa, os alunos começam a estar conscientes dos métodos de pensar em um determinado nível e de sua importância, então, eles tentam usá-los.
No entanto, conforme os pesquisadores, por causa de sua falta de experiência, os discentes simplesmente fazem algumas tentativas de trabalhar nesse nível, com pouco ou nenhum sucesso na solução das atividades, e retornam ao nível mais baixo de pensamento.
Para Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991), à medida que a experiência dos estudantes cresce, eles entram em um período de grau de aquisição intermediária
do novo nível. Eles já usam os métodos do nível mais frequentemente, de forma contínua e com precisão.
Todavia, como indicam os autores, a falta de domínio desses métodos faz com que os alunos falem nos métodos do nível inferior quando eles enfrentam dificuldades especiais em suas atividades, mesmo que depois tentem voltar ao nível mais alto. Portanto, o pensamento durante este tempo é caracterizado por saltos frequentes entre os dois níveis.
Segundo os pesquisadores, no grau de aquisição rica do nível, os alunos estão com mais experiência, logo, o pensamento é progressivamente fortalecido. Os estudantes argumentam de maneira usual correspondente a este nível, mas eles cometem alguns erros ou voltam para o nível mais baixo. Por fim, ao atingirem aquisição completa do novo nível, os alunos têm o domínio total dessa maneira de pensar e usá-lo sem dificuldades.
Na atribuição dos estudantes a um certo grau de aquisição de um nível de pensamento geométrico, Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991) apresentam um procedimento de avaliação:
para atribuir alunos a um grau específico de aquisição dentro de cada nível de Van-Hiele, propomos um procedimento de avaliação consistindo em uma série de itens abertos e critérios para avaliar as respostas dos alunos a cada item. Para cada um, os alunos recebem uma pontuação numérica relacionada à escala usada para determinar os graus de aquisição. Com a média das pontuações atribuídas aos itens que medem cada nível específico, um aluno é atribuído a um grau de aquisição dentro de cada nível40 (p.239, tradução nossa).
Os autores indicam o pressuposto de que é mais importante observar o tipo de pensamento dos alunos do que a capacidade de resolver certos problemas corretamente em um determinado momento.
Além disso, segundo eles, uma resposta parcialmente correta (ou mesmo totalmente incorreta) também pode fornecer importantes informações. Uma resposta incorreta pode, por si só, oferecer uma quantidade de informação insignificante, mas
40 ln order to assign students to a specific degree of acquisition within each van Hiele leveI, we
propose an assessment procedure consisting of a series of openended items and criteria for evaluating students' responses to each item. For each item students are assigned a numerical score that is related to the scale used to determine the degrees of acquisition. By averaging the scores assigned to items that measure each particular leveI, a student is assigned to a degree of acquisition within each leveI (GUTIERREZ; JAIME; FORTUNY, 1991, p.139).
o caso é diferente quando uma resposta é considerada em conjunto com outras respostas.
Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991) afirmam que, ao marcar cada resposta, devem ser levados em consideração os níveis de Van-Hiele e a precisão matemática refletidos pelas respostas. Contudo, não é dado o mesmo valor a uma resposta completamente incorreta quanto a uma parcialmente incorreta ou a uma correta.
Nessa direção, os pesquisadores avaliaram cada resposta levando em consideração o(s) nível(is) de pensamento refletido(s), bem como a sua precisão e completude magistral. Nessa avaliação, Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991) especificam que cada resposta é classificada de acordo com o nível de pensamento de Van-Hiele que reflete, seguindo os descritores dos níveis. As respostas que evidenciam dois níveis consecutivos são atribuídas ao nível superior, pois indicam um certo grau de aquisição desse nível.
Os autores sinalizam, ainda, que cada resposta é atribuída a um número de tipos de respostas, dependendo da sua precisão matemática e de como foi produzida a solução para a atividade.
Segundo os investigadores, para determinar o tipo de uma resposta, é necessário considerá-la do ponto de vista do nível de Van-Hiele que reflete, uma vez que uma resposta pode ser adequada de acordo com os critérios de um determinado nível de pensamento, mas não válido de acordo com os critérios de um nível superior.
Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991) consideram que qualquer resposta a um item aberto pode ser atribuída a um dos seguintes tipos:
Tipo 0. Sem resposta ou respostas que não podem ser codificadas. Tipo 1.
Respostas que indicam que o aluno não atingiu um determinado nível, mas que não fornece informações sobre qualquer nível inferior. Tipo 2. Respostas erradas e elaboradas insuficientemente que dão alguma indicação de um pouco de pensamento; respostas que contêm explicações incorretas e reduzidas, processos de pensamento ou resultados. Tipo 3. Respostas corretas, mas elaboradas insuficientemente, que dão alguma indicação de um determinado tipo de pensamento; respostas que contêm muito poucas explicações, processos de pensamento incipientes ou resultados muito incompletos. Tipo 4. Respostas corretas ou incorretas que claramente refletem características de dois níveis de Van-Hiele consecutivos e que contam processos de pensamento e justificativas suficientes. Tipo 5. Respostas incorretas que refletem um pouco de pensamento; respostas que os atuais processos de pensamento são completos, mas incorretos ou respostas que apresentam processos de
pensamento corretos que não consideram a solução do problema declarado. Tipo 6. Respostas corretas que refletem bastante um determinado nível de pensamento, mas que estão incompletas ou insuficientemente justificadas. Tipo 7. Respostas corretas, diretas e suficientemente justificadas que refletem um determinado nível de pensamento41 (p.240, tradução nossa).
Segundo os autores, as respostas dos tipos 0 e 1 indicam nenhum nível. No entanto, há uma diferença entre eles, porque as respostas de Tipo 1 indicam que um nível específico não foi alcançado. O valor numérico atribuído a ambos os tipos é o mesmo e, consequentemente, deste ponto de vista, ambos os tipos podem ser unidos em um único, mas são qualitativamente diferentes.
Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991) consideram que as respostas dos tipos 2 e 3 apontam para o início da aquisição de um nível. Em ambos os casos, as respostas são muito incompletas e, em geral, muito baixas. Por causa dessa incompletude, eles não permitem a avaliação para identificar o nível de pensamento do aluno. O avaliador só poderá identificar vestígios vagos desse nível de pensamento.
Como assinalado pelos investigadores, o tipo 4 indica respostas para as quais o estudante usa dois níveis de pensamento, mas nenhum dos níveis é claramente predominante. Esse tipo de resposta caracteriza os discentes que estão em uma fase intermediária de transição entre dois níveis, pois estão conscientes da conveniência de usar os métodos do nível superior, mas não podem dispensar os métodos do nível mais baixo. Com relação à sua precisão matemática e completude, esse tipo de resposta tem características semelhantes às dos tipos 5, 6 e 7.
Em concordância com os autores, os tipos 5 e 6 correspondem às respostas que refletem principalmente o uso pelo aluno de um nível de pensamento
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Type 0. No reply or answers that cannot be codified. Type 1. Answers that indicate that the learner
has not attained a given level but that give no information about any lower level. Type 2. Wrong and insufficiently worked out answers that give some indication of a given level of reasoning; answers that contain incorrect and reduced explanations, reasoning processes, or results. Type 3. Correct but insufficiently worked out answers that give some indication of a given level of reasoning; answers that contain very few explanations, inchoate reasoning processes, or very incomplete results. Type 4. Correct or incorrect answers that cIearIy reflect characteristic features of two consecutive van Hiele levels and that contam cIear reasoning processes and sufficient justifications. Type 5. Incorrect answers that cIearly reflect a level of reasoning; answers that present reasoning processes that are complete but incorrect or answers that present correct reasoning processes that do not lead to the solution of the stated problem. Type 6. Correct answers that cIearly reflect a given level of reasoning but that are incomplete or insufficiently justified. Type 7. Correct, commplete, and sufficiently justified answers that cIearly reflect a given leveI of reasoning (GUTIERREZ; JAIME; FORTUNY, 1991, p. 240).
predominantemente específico, embora algumas vezes um nível mais baixo possa aparecer.
Segundo Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991), essas respostas indicam uma fase avançada na transição entre dois níveis, com diferentes graus de aquisição do nível superior, pois a aquisição de um nível de pensamento depende dos seus procedimentos de pensamento e do desenvolvimento adequado dos conceitos matemáticos.
Portanto, como apontado pelos autores, uma aquisição incompleta de um nível pode ser verificada quando o estudante utiliza procedimentos de pensamento deste nível de forma incompleta e, às vezes, precisa recorrer às estratégias do nível inferior, ou, então, quando o aluno não consegue completar a resposta ou perceber que é incorreta.
Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991) declaram que o Tipo 7 indica que o aluno adquiriu completamente um determinado nível, uma vez que ele consegue resolver toda a atividade usando apenas procedimentos de pensamento que são característicos desse nível. Os oito tipos de respostas refletem os vários graus de aquisição dos níveis vanhielianos de pensamento. Os tipos 0 e 1 indicam que não há aquisição, os Tipos 2 e 3 indicam baixa aquisição, o Tipo 4 indica aquisição intermediária, os Tipos 5 e 6 indicam alta aquisição e o Tipo 7 indica a aquisição completa do nível.
Para cada tipo de resposta, referente ao teste de geometria tridimensional, os autores atribuíram um peso em porcentagem como ilustrado a seguir:
Quadro 11 – Peso relacionado aos diferentes tipos de resposta
Tipo 0 1 2 3 4 5 6 7
Peso (%) 0 0 20 25 50 75 80 100
Fonte: Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991, p.241)
Ainda, com relação aos pesos, os pesquisadores explicam que:
assim, podemos atribuir ao vetor (l, t) a cada resposta de um teste, onde l é o nível de Van-Hiele refletido na resposta e t é o tipo de resposta (I está vazio quando t é zero). Os tipos de respostas são quantificados em termos da escala de aquisição do nível de pensamento refletido […]. O grau de aquisição de um nível de Van-Hiele por um aluno é determinado pela concentração da média aritmética dos pesos dos vetores (I, t) para os itens
que poderiam ter sido respondidos nesse nível42 (GUTIERREZ; JAIME; FORTUNY, 1991, p.241, tradução nossa).
Além disso, os autores espanhóis reorganizaram os níveis de Van-Hiele, oferecendo, assim, uma adaptação desse modelo para o estudo de geometria tridimensional. Essa reorganização é composta por quatro categorias de níveis conforme descrito no Quadro 12 e ilustrado na Figura 28.
Quadro 12 – Adaptação dos níveis de Van-Hiele para o estudo de geometria tridimensional
NÍVEIS DESCRIÇÃO
Primeiro Nível
(Nível 1 ou
Reconhecimento)
Os sólidos geométricos são julgados por sua aparência. Os alunos consideravam objetos tridimensionais como um todo. Eles reconhecem e denominam sólidos (prismas, cones, pirâmides, etc.), e eles distinguem o sólido dado de outros em uma base visual. Os estudantes não consideram explicitamente os componentes ou propriedades para identificar ou nomear um sólido.
Segundo Nível
(Nível 2 ou
Análise)
Os discentes identificam os componentes dos sólidos geométricos (faces, bordas, etc.) e os sólidos são analisados como portadores de suas propriedades (paralelismo, regularidade, etc.). Os estudantes descrevem de modo informal formas tridimensionais por meio de suas propriedades. Eles não conseguem relacionar logicamente as propriedades entre si, nem podem classificar logicamente sólidos ou famílias de sólidos. Os alunos são capazes de descobrir propriedades dos sólidos por meio da experimentação.
Terceiro Nível
(Nível 3 ou
Dedução Informal)
Os estudantes são capazes de classificar famílias de sólidos geométricos (classes de prismas ou sólidos arredondados, poliedros regulares, dualidade, etc.). As definições (condições necessárias e suficientes) são significativas para os alunos, que são capazes de lidar com definições equivalentes para o mesmo conceito. Os discentes podem apresentar argumentos informais para suas deduções, e eles podem seguir algumas provas formais fornecidas pelo professor ou pelo livro didático, mas só podem realizar inferências simples por si mesmas.
Quarto Nível
(Nível 4 ou
Dedução Formal)
Os alunos compreendem o papel dos diferentes elementos de um sistema axiomático (axiomas, definições, termos indefinidos e teoremas). Eles também podem realizar provas formais.
Fonte: Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991)
Como não foram identificados alunos atuando no último nível vanhieliano, ao resolverem atividades sobre sólidos geométricos, então, esse nível foi removido da reorganização proposta pelos autores.
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Thus, we can assign a vector (I, t) to each answer of a test, where I is the van Hiele leveI reflected in the answer and t is the type of answer (I is empty when t is zero). The types of answers are quantified in terms of the scale of acquisition of the reflected leveI of reasoning […]. The degree of acquisition of a van Hiele level by a student is determined by caIcuIating the arithmetic average of the weights of the vectors (I, t) for all the items that could have been answered at that level (GUTIERREZ; JAIME; FORTUNY, 1991, p.241).
Figura 28 – Articulação entre os modelos de Van-Hiele e de Gutierrez, Jaime e Fortuny
Fonte: elaborado pelo autor
Além disso, essa adaptação dos pesquisadores espanhóis é diferente do modelo proposto por nossa tese, pois os objetos geométricos de estudo são diferentes. Na pesquisa de Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991), o centro da investigação é a geometria tridimensional, ou seja, os sólidos geométricos, enquanto em nossa tese, o foco é nos quadriláteros notáveis euclidianos planos.
Por fim, os autores concluem que a maneira de avaliar os níveis de pensamento geométrico permite a possibilidade de que o aluno possa desenvolver dois níveis consecutivos de pensamento ao mesmo tempo, embora o que geralmente acontece é que a aquisição do nível inferior é mais completa do que a aquisição do nível superior.
De fato, eles observaram que os estudantes, em geral, mobilizaram um único nível de pensamento, mas alguns usaram vários níveis ao mesmo tempo, provavelmente dependendo da dificuldade do problema.
Para os pesquisadores, isso não implica uma rejeição da estrutura hierárquica dos níveis, mas sim sugere que o modelo de Van-Hiele deve ser melhor adaptado à complexidade dos processos de pensamento humano, pois as pessoas não se comportam de forma simples e linear, e que a atribuição de um único nível pode demorar.