Em um artigo que teve por objetivo apresentar um modelo didático para a aprendizagem de conceitos e procedimentos geométricos que favorecem o desenvolvimento do pensamento geométrico nos alunos do segundo ciclo da escola primária na Cidade de Havana (Cuba), Garrido (2005) verificou que o modelo de Van-Hiele não foi suficiente para explicar os níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico dos estudantes cubanos.
Inicialmente, a autora afirma que o pensamento matemático possui diferentes significados. Para aqueles que estudam a Matemática como ciência, isto é, os pesquisadores matemáticos, essa forma de pensar é considerada como um estudo que exige formas abstratas de pensamento.
Enquanto que, conforme a investigadora, para aqueles que estudam por meio de processos educacionais, essa instância do pensamento é uma ferramenta para resolver problemas ou situações da vida. Tudo isso em um ambiente social no qual a sociedade disponibiliza a conotação da ciência:
em outras palavras, o pensamento matemático é aquele que é alimentado por meio de conhecimento, habilidades e capacidades matemáticas que servem para enfrentar e resolver problemas de vida e, portanto, deve ser o mais flexível possível, criativo, divergente, produtivo e verdadeiro, como a própria realidade objetiva. Então, determinar em que nível o pensamento matemático expresso nos termos anteriores deve ser desenvolvido é um problema que deve ser resolvido pela própria sociedade e pelos seus sistemas educacionais43 (GARRIDO, 2005, p.9, tradução nossa).
Nessa direção, segundo a pesquisadora, o ensino de Matemática nas escolas básicas deve ter como objetivo central promover o desenvolvimento do pensamento matemático, ou seja, oferecer situações para construção do conhecimento de natureza matemática pelos estudantes, para que eles sejam capazes de resolver situações práticas, além de produzir novos conhecimentos.
No caso da Geometria, Garrido (2005) indica que, para atender as necessidades de Cuba, o pensamento geométrico deve constituir um centro de
43
En otras palabras, el pensamiento matemático es aquel que se potencia a través de los conocimientos, habilidades y capacidades matemáticas que sirve para enfrentar y resolver problemas de la vida y que, por tanto, debe ser lo más flexible, creativo, divergente, productivo y verdadero, como la propia realidad objetiva. Determinar entonces hasta qué nivel debe desarrollarse el pensamiento matemático expresado en los términos anteriores es un problema que debe ser resuelto por la propia sociedad y por sus sistemas educativos (GARRIDO, 2005, p.9).
atenção na escola primária. Para a autora, o estudo de conteúdos geométricos ensina as crianças a pensar e a raciocinar sobre a realidade tridimensional, com a qual elas estão em contato desde uma idade precoce e que precisam conhecer e modificar.
Em conformidade com a pesquisadora, por meio desses conteúdos, são desenvolvidas habilidades e capacidades específicas bastante úteis para transformar o mundo social. Por exemplo, sem a capacidade de imaginação espacial e habilidades de construções geométricas, profissões como torneiro, carpinteiro, construtor, pintor, engenheiro, arquiteto, etc, seriam impossíveis.
Conforme a investigadora cubana, o pensamento geométrico é considerado como
[…] uma forma de pensamento matemático, mas não exclusivo dele e é baseado no conhecimento de um modelo do espaço físico tridimensional. Esse pensamento, como reflexão generalizada e mediada do espaço físico tridimensional, possui uma forte base senso perceptual que começa a partir das primeiras relações da criança com o meio ambiente e que é sistematizada e generalizada ao longo do estudo dos conteúdos geométricos na escola44 (GARRIDO, 2005, p.10, tradução nossa).
A autora sinaliza que três capacidades bem definidas são desenvolvidas com o pensamento geométrico: visão espacial, representação espacial e imaginação espacial. Todas estão fortemente articuladas entre si. Todavia, a imaginação espacial ocupa o centro desse modo de pensar em Geometria, porque possibiliza realizar análise do plano e estabelecer relações no espaço.
Dito de outra forma, para Garrido (2005), essa capacidade geométrica possibilita o estudo do plano e do espaço por meio de seus conceitos, leis e, além da derivação de raciocínios, logo, perpassa o campo geométrico para tornar-se como um pensamento dialético por excelência.
Contudo, a investigadora considera que o conhecimento geométrico não pressupõe apenas reconhecer visualmente certas formas geométricas e conhecer os seus nomes corretos; mas implica, conscientemente, explorar o espaço, comparar
44
[…] una forma de pensamiento matemático, pero no exclusivo de ella y se basa en el conocimiento de un modelo del espacio físico tridimensional. Este pensamiento, como reflejo generalizado y mediato del espacio físico tridimensional tiene una fuerte base sensoperceptual que se inicia desde las primeras relaciones del niño con el medio y que se sistematiza y se generaliza a lo largo del estudio de los contenidos geométricos en la escuela (GARRIDO, 2005, p. 10).
os elementos observados, estabelecer relações entre eles e expressar verbalmente as ações realizadas e as propriedades observadas, a fim de interiorizar o conhecimento; bem como descobrir propriedades de figuras e transformações, construir modelos, tirar conclusões para chegar a formular leis gerais e resolver problemas.
Tendo por base esses pressupostos, Garrido (2005) indica que o processo de aprendizagem do conhecimento geométrico na escola primária em Cuba abrange dois momentos importantes: um estágio senso perceptual, que ocorre desde o nascimento da criança até os diferentes estágios de reconhecimento do espaço físico tridimensional.
Desse modo, a pesquisadora reflete que o pensamento geométrico é uma forma de pensar em situações que exigem conhecimentos, habilidades e capacidades geométricas e que isso promove o desenvolvimento do pensamento geral e único de cada estudante.
Então, Garrido (2005) propõe um modelo didático para estimular o pensamento geométrico em escolas primárias. Para a autora, esse modelo pode ser considerado como uma abstração do ensino e da aprendizagem, no qual são necessárias relações e nexos presentes para um determinado objeto deste processo.
Segundo a pesquisadora, o modelo de pensamento geométrico de Van-Hiele (1957) está focado nas dificuldades apresentadas por estudantes em aulas de Geometria da escola secundária holandesa.
Ao reconhecer a importância dos estudos de Van-Hiele, Garrido (2005) aponta que o modelo vanhieliano tenta explicar como os estudantes pensam por meio de cinco níveis de pensamento, além de fornecer orientações a serem consideradas na organização do ensino, para promover o progresso dessa forma de pensar dos discentes, a partir de cinco fases de aprendizagem.
Contudo, a autora cubana também faz uma análise crítica do modelo do pesquisador holandês, considerando quatro elementos (limitadores) para as concepções psicopedagógicas, a que Van-Hiele é atribuído e, o nível em que é aplicado. Dessa forma, a investigadora pontua as seguintes limitações do modelo vanhieliano:
a) a definição dos níveis de pensamento geométrico, por meio da qual a compreensão geométrica passa, é muito ampla; a localização dos estudantes em cada nível é complexa, pois a compreensão em Geometria não acontece obrigatoriamente em um ano escolar (GARRIDO, 2005).
b) o processo abstrato do modelo fundamenta-se em estudantes da escola secundária holandesa, que apresentam diferentes características psicológicas e sociais das crianças cubanas no nível primário (GARRIDO, 2005).
c) a base epistemológica em que o modelo foi construído é o construtivismo, logo, considera que é o aluno que constrói todo o seu conhecimento. No entanto, embora se considere que o uso racional desta corrente não é prejudicial para o ensino da Matemática, sua absolutização não é positiva (GARRIDO, 2005).
d) em sua aplicação internacional, o modelo é fragmentado para o uso quase absoluto dos níveis de pensamento, que é a parte mais importante e não suas fases. O critério é que, o conhecimento de outras teorias de aprendizagem (com ênfase nos trabalhos da escola histórico-cultural), em muitos países ibero-americanos enfraqueceu a parte prescritiva voltada às orientações de organização do ensino (GARRIDO, 2005).
Mesmo com o reconhecimento da importância do modelo de Van-Hiele na constituição do ponto inicial de discussões geradas na sua pesquisa, Garrido (2005) reforça sobre a necessidade da construção de um modelo didático que responda as demandas psicopedagógicas, além da realidade da escola em Cuba.
A autora considera que, como um princípio fundamental, o modelo didático deve propiciar o pensamento geométrico com base em uma aprendizagem desenvolvida de conceitos e procedimentos geométricos na escola primária, que englobe as cidades e a zona rural, salas de aula regulares e multisseriadas.
Para a pesquisadora, o modelo também deve ser um recurso para o professor, a partir de um diagnóstico real, assim, esse profissional poderá determinar o potencial e as dificuldades de seus alunos para aprender novos conceitos e procedimentos geométricos. Logo, para esse diagnóstico, os níveis devem ser mensuráveis e visíveis por professores e alunos, além de responder aos objetivos do ensino de Matemática em relação aos conteúdos geométricos.
Diante dessas circunstâncias, Garrido (2005) elaborou um modelo didático para a aprendizagem de conceitos e procedimentos geométricos com abordagem sistêmica, que considera o enfoque histórico-cultural e as tradições pedagógicas cubanas como base epistemológica.
Como sinalizado pela pesquisadora, o modelo didático proposto tem uma estrutura sistêmica, considerando o pensamento geométrico como núcleo, a determinação dos níveis de pensamento geométrico, os conceitos e procedimentos generalizadores e as alternativas didáticas, como elementos de sua integração, conforme ilustrado na Figura 29.
Figura 29 – Estrutura do modelo didático proposto por Garrido (2005)
Fonte: adaptado de Garrido (2005).
Em síntese, segundo a autora, o modelo didático compreende:
a) a precisão dos níveis de pensamento geométrico, dos alunos considerados, enfatiza o comportamento por níveis para prestar a atenção às diferenças individuais do aluno que está em um primeiro nível até o possível aluno talentoso (GARRIDO, 2005).
b) a organização da abordagem do conteúdo a ser ministrado em sala de aula tem como conceitos gerais os de figura geométrica, sólido geométrico e movimento, para potencializar a assimilação desses conceitos e dos procedimentos que são gerados em cada turma (GARRIDO, 2005).
c) a seleção da relação de alternativas didáticas tem como premissa os objetivos a serem alcançados e o diagnóstico dos níveis e pressupõe a implementação da criatividade de cada professor, tanto para combiná-las quanto para enriquecê-las (GARRIDO, 2005).
De acordo com a autora, para a determinação dos níveis de pensamento geométrico que integra o modelo didático foram especificados, como resultado da pesquisa, três níveis: Materialização (Nível 1), Reconhecimento (Nível 2) e Elaboração (Nível 3). O Quadro 13 apresenta a caracterização desses níveis.
Quadro 13 – Níveis de pensamento geométrico segundo Garrido (2005)
Níveis Descrição
Nível 1 Materialização
O aluno requer percepção sensorial direta de objetos materiais ou materializados que lhe permitam memorizar características essenciais, significados e relações45. Nível 2
Reconhecimento
O aluno observa e, por meio da ajuda de questões ativas à sua memória, estabelece significados e relacionamentos entre significados46.
Nível 3 Elaboração
O estudante pensa sobre situações de complexidade relativa e, em alguns casos, resolve problemas47.
Fonte: Garrido (2005, p. 16, tradução nossa).
Na determinação desses níveis nos estudantes, a autora realizou uma análise sobre as habilidades específicas de cada ano escolar da escola primária que são referenciadas nos objetivos escolares e nas habilidades geométricas gerais que integram o pensamento geométrico. Tal fato encontra-se ilustrado no Quadro 14.
Com base nessas habilidades geométricas, fica mais clara a proximidade entre o modelo de Van-Hiele (1957) e o de Garrido (2005). Isto é, a pesquisadora fez um percurso semelhante ao que fizeram Guitierrez, Jaime e Fortuny (1991), ao
45
El estudiante requiere de la percepción sensorial directa de objetos materiales o materializados que le posibilite memorizar rasgos esenciales, significados y relaciones (GARRIDO, 2005, p. 16).
46
El estudiante observa y mediante el auxilio de preguntas activa su memoria, establece significados y relaciones entre significados (GARRIDO, 2005, p. 16).
47
El estudiante razona ante situaciones de relativa complejidad y en algunos casos resuelve problemas (GARRIDO, 2005, p. 16).
proporem uma reorganização do modelo vanhieliano para o estudo de geometria tridimensional com alunos espanhóis.
Quadro 14 – Habilidades geométricas que integram o pensamento geométrico
Dimensões Indicadores Nível 1 Materialização Nível 2 Reconhecimento Nível 3 Elaboração Visual Identificar figuras em um
desenho.
Reconhecer informações contidas em uma figura ou sólido.
Identificar figuras contidas em outras.
Reconhecer propriedades de uma figura, movimentos ou sólidos.
Inter-relacionar diferentes tipos de figuras, sólidos e movimentos.
Reconhecer propriedades comuns a diferentes tipos de figuras, sólidos e movimentos.
Verbal Associar o nome correto a uma determinada figura, sólido ou movimento. Interpretar frases que des- crevem figuras, sólidos, movimentos. Explicar corretamente as propriedades de figuras, sólidos e movimentos. Definir adequadamente conceitos geométricos de objetos e relações. Para desenhar Construir os desenhos adequadamente indicando todas as partes. Explicar a informação obtida em um desenho. Desenhar usando as pro- priedades de figuras, sólidos e movimentos.
Construir desenhos rela- cionados a outros estudados.
Lógica Identificar diferenças e semelhanças entre figuras, sólidos e movimentos. Identificar figuras e sólidos em diferentes posições.
Classificar as figuras e os sólidos em diferentes tipos.
Distinguir figuras e sólidos por suas propriedades.
Determinar as caracterís- ticas necessárias e suficientes para um conceito.
Classificar por suas ca- racterísticas aquelas que pertencem a diferentes definições.
Resolver problemas geo- métricos simples.
Para modelar Identificar figuras e sólidos geométricos em modelos matemáticos e da realidade. Reconhecer propriedades geométricas em objetos físicos. Representar situações em um modelo.
Resolver problemas geo- métricos simples relacio- nados à vida.
Fonte: Garrido (2005, p. 16-17, tradução nossa).
Nessa direção, a autora cubana fez uma adaptação do modelo de Van-Hiele, considerando a realidade dos estudantes da escola primária de Cuba, bem como a natureza dos conceitos de figuras geométricas, sólidos geométricos e movimento. Tal reorganização é formada por três níveis de desenvolvimento do pensamento em Geometria, conforme ilustrada na Figura 30.
Figura 30 – Articulação entre os modelos de Van-Hiele e de Garrido
Fonte: elaborado pelo autor
Nesse modelo, não foram verificados alunos cubanos apresentando características do pensamento geométrico relacionadas aos dois últimos níveis vanhielianos. Como sinaliza a própria autora, esses atributos se manifestam em alunos que cursam o ensino médio e o ensino superior na Holanda. Não sendo possível verificá-las com estudos do primário em Cuba.
Os níveis propostos por Garrido (2005) são bem semelhantes aos de Gutierrez, Jaime e Fortuny (1991). Basicamente, a diferença é que o grupo espanhol focou nas características do pensamento geométrico mobilizadas em atividades que exploram os sólidos tridimensionais, identificando um total de quatro níveis. A autora cubana incorporou no modelo as figuras geométricas aos sólidos geométricos, verificando a existência de três níveis.
Também, essa adaptação proposta por Garrido (2005) diverge do modelo sugerido por nossa tese, pois nosso foco é um tipo específico de figura geométrica poligonal, isto é, os quadriláteros notáveis. Além disso, as realidades psicológicas e sociais dos estudantes brasileiros não são as mesmas dos alunos cubanos.
Garrido (2005) também organizou uma escala valorativa para os níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico, propostos em seu modelo didático, conforme exemplificado pelo Quadro 15. Para a autora, os conceitos relacionados aos objetos geométricos geram uma série de relações e operações geométricas, que para o ensino se transformam em procedimentos.
Quadro 15 – Escala valorativa por níveis de pensamento geométrico
Escala Características
Nível 1
Materialização: com o suporte de um
modelo visual
Manipula com material ou objetos materializados.
Identifica propriedades ao ter contato com objetos materiais ou materializados.
Estabelece relações geométricas simples a partir do trabalho com objetos materiais ou materializados.
Nível 2
Reconhecimento: com base em questões de suporte, sem a necessidade de um modelo visual
Identifica propriedades essenciais, comuns e incomuns. Explica as propriedades de figuras, sólidos e movimentos. Compara as características de diferentes conceitos geométricos.
Relaciona diferentes conceitos geométricos. Classifica tendo em conta as propriedades.
Nível 3
Elaboração: com base em trabalho
independente, às vezes com alguns impulsos do professor ou de outros alunos
Identifica as propriedades necessárias e suficientes. Compara e classifica diferentes conceitos geométricos. Explica verbalmente os conceitos (definição).
Argumenta tendo em conta as propriedades. Resolve problemas geométricos simples. Fonte: Garrido (2005, p. 18, tradução nossa).
Assim, para a pesquisadora, três conceitos geométricos generalizadores são apresentados nos programas de Matemática na escola primária cubana: figuras geométricas, sólidos geométricos e movimentos ou transformação, em torno dos quais o restante está estruturado, o que implica processos de generalização associados a eles.
Segundo a autora, na determinação desses três conceitos generalizadores, foi levado em consideração que eles são os conceitos a partir dos quais é organizada uma estruturação do conteúdo escolar, que pode ser definida ou não no currículo proposto, mas que constitui o centro da concepção curricular.
A pesquisadora sinaliza a importância do professor, ao demonstrar a completude dos conceitos generalizadores, em cada conteúdo geométrico abordado, uma vez que não há uma definição em uma turma específica. Mas isso é feito em várias seções em diferentes anos escolares, de modo que sua compreensão consciente permita às crianças uma visão mais científica da Geometria e, portanto, o desenvolvimento da aprendizagem de conteúdo geométrico.
As alternativas didáticas formam o terceiro elemento do modelo didático. Conforme Garrido (2005), tais alternativas não constituem um sistema fechado. De fato, ao declará-las a partir do uso de uma ou mais, de acordo com objetivos específicos, elas se complementam e enriquecem de acordo com a intenção do professor.
Além disso, como aponta a investigadora, elas estão em condições de admitir novas propostas, seja na ordem de novas alternativas ou que cada professor, de acordo com seu potencial e as características de seus alunos e nível escolar, pode contribuir para sua melhoria e enriquecimento do repertório.
A autora considera que os jogos didáticos, as perguntas abertas, os novos tipos de exercícios, as atividades para conceitos, os recursos de ensino e o software educacional são selecionados para equipar os professores para assumir as demandas da classe contemporânea.
Nessa direção, Garrido (2005) aponta quatro etapas estruturadas à implementação na prática do professor: orientação, diagnóstico, concepção curricular e concreção metodológica, conforme ilustrado no quadro a seguir.
Quadro 16 – Etapas estruturas à implementação na prática do professor conforme Garrido (2005)
Etapas Descrição
Etapa 1:
Orientação
É considerada uma etapa preparatória para o professor, ele deve conhecer e preparar em relação aos elementos teóricos sobre os conteúdos geométricos abordados na escola primária. Com uma perspectiva holística, o professor deve conhecer os conteúdos geométricos, suas regularidades e nexos. Esta etapa é importante porque o professor deve estar ciente do potencial oferecido pelo conteúdo geométrico para favorecer o pensamento geométrico em particular e a lógica abstrata em geral48.
Etapa 2:
Diagnóstico
Baseia-se em um conjunto de ações que o professor deve desempenhar na determinação dos níveis de pensamento geométrico em seus alunos. Essas ações e este processo em geral devem ser caracterizados por uma abordagem positiva, na qual não só dificuldades, mas também potencialidades são de interesse. Os instrumentos aplicados pelo professor devem ser suficientemente desenvolvidos para permitir que eles explorem como a criança pensou; então a combinação de instrumentos escritos e orais constituem a maneira recomendada para obter informações. Esta etapa está intimamente relacionada com o primeiro elemento do modelo didático: a determinação dos níveis de pensamento geométrico49.
48
Se considera una etapa preparatoria para el maestro, en ella debe conocer y prepararse en relación con los elementos teóricos sobre los contenidos geométricos que se abordan en la escuela primaria. Con una perspectiva holística debe conocer los contenidos geométricos, sus regularidades y nexos. Esta etapa es importante porque el maestro debe tener conciencia de las potencialidades que ofrece el contenido geométrico para favorecer el pensamiento geométrico en particular, y el lógico abstracto en general (GARRIDO, 2005, p. 20).
49
Se sustenta en un conjunto de acciones que el maestro debe realizar sobre la determinación de los niveles de pensamiento geométrico en sus escolares. Estas acciones y este proceso en general, debe estar caracterizado por un enfoque positivo, en el que interesan no solo las insuficiencias, sino también las potencialidades. Los instrumentos aplicados por el maestro deben ser lo suficientemente desarrolladores que permita explorar cómo pensó el niño; por lo que la combinación de instrumentos escritos y orales constituye la vía recomendada para obtener información. Esta etapa está
Etapa 3:
Concepção Curricular
O professor, com base no diagnóstico e na determinação dos níveis de pensamento geométrico dos estudantes, especificará os objetivos a serem alcançados em relação aos conceitos e procedimentos generalizadores, distribuirá as unidades temáticas e a concepção da passagem de um nível, por meio da seleção de tarefas docentes diferenciadas. Esta etapa está relacionada ao segundo elemento do modelo didático: os conceitos e os procedimentos generalizadores50.