Os quadriláteros não euclidianos

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Em um quadrilátero não convexo há um ângulo, no qual a medida de sua abertura é maior que 180º. As suas diagonais não se encontram em nenhum ponto, sendo que uma delas possui pontos, incluídos no segmento de reta que as formam, fora da região interna.

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O trapezoide consiste em um quadrilátero sem lados opostos paralelos. Suas diagonais se encontram em único ponto na região interna.

Os estudos sobre os quadriláteros não euclidianos iniciaram por Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733) e Johann Heinrich Lambert (1728-1777), a partir das tentativas de provas do quinto postulado11

de Euclides. Esses matemáticos são considerados os pioneiros das geometrias não euclidianas.

Conforme apontado por Ribeiro (2012), Saccheri produziu um quadrilátero com dois lados opostos congruentes e perpendiculares com relação à base, como ilustrado na Figura 04.

Figura 04 – Quadrilátero de Saccheri

Fonte: elaborado pelo autor

Saccheri demonstrou que se os demais ângulos do quadrilátero também fossem retos, logo, seria válido o exposto do quinto postulado de Euclides. Desse modo, só seria necessário construir uma prova de que tais ângulos eram realmente retos.

Com rapidez, é factível considerar que os outros dois ângulos do quadrilátero proposto por Saccheri possuem a mesma medida de abertura, logo, são congruentes. Nesse caso, falta somente verificar qual é a medida de um desses ângulos.

Ao construir as diagonais do quadrilátero e ao aplicar as propriedades de congruência, o matemático constatou que os dois ângulos são congruentes e, nessa direção, propôs três hipóteses relacionadas às características desses ângulos. Ou eles são retos, ou agudos ou obtusos, conforme ilustrado na Figura 05.

Em seguida, Saccheri subtraiu as hipóteses de que os ângulos são obtusos ou agudos, produzindo várias provas que se tornaram, mais tarde, importantes

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De acordo com esse postulado, por um ponto exterior a uma reta dada (ambos no mesmo plano), existe uma única reta paralela à reta dada.

teoremas vinculados às geometrias não euclidianas. Por fim, esse matemático chegou a três importantes conclusões.

Figura 05 – Hipóteses para os ângulos do quadrilátero de Saccheri

Fonte: elaborado pelo autor

A primeira informa que se uma hipótese é válida para o seu quadrilátero, desse modo, ela é válida para os demais quadriláteros. A segunda indica que a soma das medidas das aberturas dos dois ângulos pode ser maior, menor ou igual a 180º. A terceira sinaliza que dadas duas retas coplanares, ou apresentam uma reta comum perpendicular, ou são assintóticas, ou se encontram em um ponto (VALÉRIA COSTA, 2016).

Do mesmo modo que Saccheri, Lambert fez um estudo para provar o quinto postulado de Euclides a partir de uma argumentação indireta. Para isso, ele propôs um quadrilátero formado por três ângulos retos, que foi denominado de quadrilátero de Lambert, como ilustrado pela Figura 06.

Figura 06 – Quadrilátero de Lambert

Fonte: elaborado pelo autor

Nessa direção, Lambert lançou três hipóteses para o quarto ângulo: ele pode ser reto (primeira hipótese), ou agudo (segunda hipótese) ou obtuso (terceira hipótese), como apresentado pela Figura 07.

Figura 07 – Hipóteses para os ângulos do quadrilátero de Lambert

Fonte: elaborado pelo autor

A primeira hipótese de Lambert abrange o campo geométrico de natureza euclidiana. Esse matemático abandonou a sugestão do ângulo ser obtuso, semelhante ao que fez Saccheri. Para isso, ele apresentou que dada uma reta, duas outras retas perpendiculares à primeira, então, essas duas possuem um ponto de intersecção (GOMES, 2017).

Contudo, essa demonstração não provoca nenhum absurdo. Se existisse verdade na hipótese do ângulo obtuso, nesse sentido, as propriedades das figuras seriam curvadas sobre uma superfície esférica. Logo, as linhas retas se tornariam circuferências máximas (EDUARDO, 2013).

Porém, tendo em vista que as circunferências máximas12

se cruzam em mais de um ponto, eles não apresentam as mesmas características das linhas retas. Tal fato possibilita, desse modo, que a hipótese do ângulo obtuso seja desprezada.

Além disso, em sua tentativa em mostrar a hipótese do ângulo agudo, Lambert não encontrou um absurdo. Então, ele considerou que se as sugestões do ângulo (agudo e obtuso) são verdadeiras, portanto, o excesso ou a falta sobre 180º, relacionados à soma dos ângulos internos de um triângulo, serão proporcionais à área desse mesmo triângulo (RIBEIRO, 2012).

Considerando o quadrilátero com o ângulo agudo, relacionado à terceira hipótese, Lambert afirmou que a área do quadrilátero será maior à medida que o ângulo se torne mais agudo. Esse entendimento possibilitou o matemático concluir que a soma das medidas da abertura dos ângulos internos de um triângulo qualquer pode ter um valor menor que 180º (GOMES, 2017).

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Como sinalizado por Eduardo (2013), Lambert evidenciou que a hipótese do ângulo agudo era verdadeira para superfícies esféricas de raio imaginário. Também percebeu que a hipótese do ângulo obtuso é válida para triângulos esféricos.

Em seu estudo, Cruz e Santos (2009) indicam as principais características dos quadriláteros de Saccheri e Lambert, com base no tipo de superfície, na qual eles estão situados. O Quadro 01 apresenta tais características.

Quadro 01 – Características dos quadriláteros de Saccheri e Lambert

SUPERFÍCIE HIPERBÓLICA SUPERFÍCIE ELÍPTICA

QUADRILÁTERO DE SACCHERI

Possui dois ângulos retos e dois lados congruentes. Na figura abaixo, AB é o lado base e DC é chamado lado topo do quadrilátero. Os lados AD e BC são congruentes. Os ∠ A e ∠ B são retos e os ângulos ∠ D e ∠ C não são retos, são congruentes e agudos.

Possui os ângulos do topo, ∠ D e ∠ C, congruentes e obtusos. Os ângulos, ∠ A e ∠ B, do lado base, são retos.

QUADRILÁTERO DE LAMBERT

Possui o quarto ângulo agudo. Assim, o lado BC vertical adjacente ao ângulo agudo é maior que seu lado oposto AD.

Possui o quarto ângulo, no caso da figura à direita, o ∠ C, obtuso. Os lados do quadrilátero, adjacentes a este ângulo, são maiores que seus correspondentes opostos. Na figura em questão, são eles: BC menor que AD e DC maior que AB.

Fonte: Cruz e Santos (2009, p.17-18).

Os estudos de Saccheri e de Lambert foram de grande importância para a ruptura com o modelo geométrico euclidiano, possibilitando, assim, o surgimento das geometrias não euclidianas. A vivência com diferentes geometrias favorece o desenvolvimento do pensamento geométrico avançado, conforme sinalizado por Leivas (2009).

No tópico a seguir, dedicamos um espaço para discussão sobre os quadriláteros euclidianos notáveis.