Os quadriláteros notáveis

Como discutido anteriormente, os quadriláteros notáveis são formados pelos paralelogramos (que também incluem o losango, o retângulo e o quadrado) e pelos trapézios. Em decorrência do desenvolvimento da própria Matemática, a definição desses quadriláteros foi passando por mudanças ao longo da história humana.

Conforme sinalizado por Bongiovanni (2004), são três as principais definições encontradas na literatura para os quadriláteros notáveis. Tais definições são diversas, que em conformidade com o tipo de classificação aplicada, admitem diferentes relações entre si.

No livro I de Os elementos, em especial, a definição 19, o grego Euclides de Alexandria considera que toda figura composta por quatro linhas constitui uma figura quadrilátera. Na definição 22, posteriormente, ele expõe atributos aos quadriláteros notáveis, segundo o Quadro 02.

Quadro 02 – Quadriláteros notáveis segundo Euclides

QUADRILÁTERO NOTÁVEL DESCRIÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA Quadrado

É uma figura quadrilátera de quatro lados iguais com ângulos retos

Oblongo

É uma figura quadrilátera com ângulos retos, mas que não tem quatro lados iguais

Rombo

É uma figura quadrilátera com quatro lados iguais, mas não com ângulos retos.

Romboide

É uma figura quadrilátera que tem lados e ângulos opostos iguais entre si, mas não tem quatro lados iguais nem ângulos retos.

Fonte: Bongiovanni (2004, p.30)

Com base nessa caracterização, percebemos que o oblongo proposto por Euclides é um caso específico do quadrilátero notável atualmente chamado retângulo. Nessa mesma linha de entendimento, o rombo é o atual losango e o rombóide é o que consideramos recentemente como paralelogramo oblíquo.

Concordamos com Ferreira (2016), ao considerar que, nessa definição de Euclides para os quadriláteros notáveis, o conjunto estabelecido por cada classe é disjunto, como ilustrado a seguir pela Figura 08.

Figura 08 – Conjunto dos quadriláteros sob a ótica de Euclides

Fonte: elaborado pelo autor e baseado em Bongiovanni (2004).

Segundo Bongiovanni (2004), depois de Euclides, outros matemáticos propuseram definições diversas aos quadriláteros notáveis. O primeiro deles foi o francês Adrien-Marie Legendre, que em 1793, ao publicar o livro Elementos de Geometria, sugeriu uma geometria com menos intuição e com mais rigor.

Legendre caracterizou os quadriláteros notáveis da seguinte forma:  quadrado – possui seus lados iguais e ângulos internos retos;  retângulo – possui ângulos retos sem ter os lados iguais;

 losango – possui os lados iguais sem que os ângulos internos sejam retos;  paralelogramo – possui os lados opostos paralelos.

Nessa definição apresentada por Legendre, podemos verificar mudanças importantes em relação à definição apontada por Euclides. Por exemplo, o rombo e o oblongo passam a ser chamados de losango e retângulo, simultaneamente. Ainda, o nome do romboide é substituído pelo paralelogramo, contudo, ocorre um avanço do conceito, pois passa a apresentar lados opostos paralelos.

Como pontuado por Bongiovanni (2004), essa mudança na definição possibilita que os losangos, os retângulos e os quadrados sejam ainda considerados como paralelogramos. Todavia, o quadrado não é classificado como losango e nem como retângulo.

Pouco mais de um século depois, em 1898, o francês Jacques Salomon Hadamard apresenta uma caracterização mais ampla para os quadriláteros notáveis:  quadrado – é um quadrilátero que tem todos ângulos internos iguais e todos

os lados iguais;

 retângulo – é um quadrilátero que tem todos os ângulos iguais, logo, são ditos retos;

 losango – é um quadrilátero que apresenta todos lados iguais entre si;

 paralelogramo – é um quadrilátero que possui os quatro lados paralelos dois a dois.

Com base na definição de Hadamard, podemos observar que ocorreu a supressão das limitações colocadas aos losangos e aos retângulos. Dessa maneira, qualquer quadrado pode ser classificado como retângulo e losango. Além disso, o quadrado, o retângulo e o losango podem ser considerados paralelogramos, como ilustrado a seguir pela Figura 09.

Figura 09 – Conjunto dos quadriláteros sob a ótica de Hadamard

Fonte: elaborado pelo autor e baseado em Bongiovanni (2004).

Essa versão é a mais aceita atualmente, sendo abordada nos livros didáticos de Matemática do Brasil. Além disso, Bongiovanni (2004, p.31) destaca que:

é importante observar que o processo que permitiu evoluir para as definições modernas de Hadamard levou muitos anos. Durante séculos, a obra de Euclides serviu de modelo para o ensino da geometria e cada novo

autor de manual de geometria respeitava a divisão dos conteúdos da obra de Euclides, bem como as definições e proposições.

Além dessas três versões de definição para os quadriláteros notáveis, anunciadas por Bongiovanni (2004), encontramos outras duas definições, datadas do século XX. Todavia, elas foram construídas, de certo modo, baseadas em Hadamard.

O norte-americano Edwin M. Hemmerling publicou o livro Geometria Elementar em 1971, no qual caracteriza os quadriláteros notáveis do seguinte modo:

 quadrilátero: todo polígono que possui quatro lados;

 paralelogramo – é um quadrilátero que tem os pares de lados opostos paralelos;

 losango – é um paralelogramo equilátero;

 retângulo – é um paralelogramo que possui um ângulo reto;  quadrado – é um retângulo equilátero.

Nessa definição sugerida por Hemmerling, o quadrado, o retângulo e o losango são considerados paralelogramos. O quadrado é classificado como retângulo, todavia, esse matemático não deixou claro se o quadrado também é um caso particular de losango.

O brasileiro João Lucas Marques Barbosa publicou em 1985 o livro intitulado Geometria Euclidiana Plana, no qual caracteriza os quadriláteros notáveis. Para esse matemático:

 paralelogramo – quadrilátero cujos lados opostos são paralelos;  retângulo – quadrilátero cujos ângulos internos são retos;

 losango – paralelogramo que possui todos os seus lados congruentes;  quadrado – é um retângulo que também é um losango.

Essa definição proposta por Barbosa (2006) é bem similar a de Hadamard, que classifica retângulos, losangos e quadrados como paralelogramos. Os quadrados são considerados retângulos e losangos, ao mesmo tempo.

Com relação ao ensino dos quadriláteros notáveis, os resultados de pesquisas em Educação Matemática, assim como nossa experiência docente na educação básica, têm mostrado que a maioria dos estudantes possui compreensão

sobre esse conceito geométrico bastante congruente com as definições de Euclides e Legendre.

Em geral, verificamos que os quadrados não são considerados losangos e retângulos, simultaneamente. Ou então, nenhum deles é classificado como paralelogramos. Desse modo, como sinalizado por Bongiovanni (2004), cada tipo de quadrilátero é reconhecido como um grupo diferente de objeto em Matemática.

Esse autor ainda recomenda que:

compete a nós, professores de Matemática, a tarefa de acolher o saber trazido pelos alunos [...] e de fazê-los progredir lentamente para uma concepção mais ampla, como a de Hadamard, generalizando proposições relacionadas com quadriláteros (BONGIOVANNI, 2004, p.31-32).

Com relação à definição de trapézio, também não há consenso entre autores de livros didáticos e professores de Matemática. Em concordância com Bongiovanni (2010) e Ferreira (2016), duas definições são evidenciadas:

 trapézio – é um quadrilátero com um par de lados paralelos (equivalentemente, pode ser considerado um quadrilátero que tem dois lados paralelos);

 trapézio – é um quadrilátero que apresenta unicamente um par de lados opostos paralelos.

A primeira definição possibilita que os pares de lados opostos sejam paralelos, dessa forma, viabiliza que um paralelogramo seja considerado um trapézio. Essa compreensão gera incertezas em estudantes e professores de Matemática, em decorrência do realce dado às representações figurais diante às propriedades do objeto matemático (FERREIRA, 2016).

De acordo com Bongiovanni (2010), essa definição permite que sete tipos de figuras possam representar trapézios, conforme ilustrado a seguir na Figura 10.

Considerando a segunda definição, as figuras 4, 5, 6 e 7 são excluídas, pois não satisfazem tal proposição. Logo, nessa perspectiva, os trapézios podem ser representados por três tipos de figuras, que no caso ilustrado na figura a seguir, são as figuras 1, 2 e 3.

Figura 10 – Sete tipos de figuras que podem representar trapézios

Fonte: Bongiovanni (2010, p.9)

Acerca do tipo de abordagem a ser realizada para o conceito de trapézio, Ferreira (2016, p. 106) destaca que:

ao depender da definição de trapézio adotada, é necessário haver coerência com as demais definições adotadas e propriedades enunciadas. Um caso que pode gerar incoerência é a definição de trapézio isósceles e de suas propriedades enunciadas. Ao definir este tipo de trapézio como sendo aquele que apresenta dois lados congruentes, não podemos assumir que os ângulos de suas bases e suas diagonais sejam congruentes, uma vez que o paralelogramo seria um trapézio isósceles que não satisfaz tais propriedades.

Buscando evitar essa incoerência, Bongiovanni (2010) sugeriu a seguinte definição para o trapézio isósceles: é um trapézio que possui apenas um par de lados opostos congruentes (ou então que possui exatamente um eixo de simetria).

Em nosso entendimento, essa perspectiva é um pouco ampla, pois não deixa claro que os lados opostos congruentes mencionados em tal definição não são paralelos. Talvez, uma definição mais adequada seria: Trapézio isósceles é um trapézio que possui um único par de lados, não paralelos, opostos e congruentes.

Além disso, é importante mencionar qual é a definição que consideraremos nessa tese para os quadriláteros notáveis. O Quadro 03 apresenta nossa compreensão sobre esse conceito geométrico.

Pelo Quadro 03, é possível verificarmos que a definição utilizada nessa tese é baseada na compreensão de Hadamard, na qual há duas classes nos quadriláteros notáveis: os trapézios e os paralelogramos (que também inclui os quadrados, os

losangos e os retângulos). Ainda, o quadrado é um retângulo e losango, de modo simultâneo. Essa caracterização encontra-se ilustrada na Figura 11.

Quadro 03 – Caracterização dos quadriláteros notáveis considerada na tese

QUADRILÁTEROS DEFINIÇÃO PROPRIEDADES

Trapézio É um quadrilátero notável que possui exatamente um único par de lados opostos paralelos. Esses lados são chamados comumente de bases do trapézio.

Os ângulos internos adjacentes a um mesmo lado transverso são suplementares.

São classificados em três tipos: - trapézio escaleno: os lados opostos, não paralelos, não são congruentes;

- trapézio isósceles: os lados opostos, não paralelos, são congruentes;

- trapézio retângulo: possui dois ângulos internos congruentes retos. Os trapézios isósceles apresentam diagonais congruentes.

Paralelogramo É um quadrilátero notável que apresenta os dois pares de lados opostos paralelos entre si.

Os lados opostos são congruentes. Os ângulos internos opostos são congruentes.

Dois ângulos internos adjacentes quaisquer são suplementares. As diagonais se cortam ao meio, em seus respectivos pontos médios.

Retângulo É um paralelogramo que tem ângulos internos retos.

As diagonais dos retângulos são congruentes.

Losango É um paralelogramo que possui todos os lados congruentes.

As diagonais são perpendiculares entre si, e estão localizadas nas bissetrizes dos ângulos internos. Quadrado É um paralelogramo que é retângulo

e losango ao mesmo tempo.

As diagonais são congruentes entre si, perpendiculares e ainda são as bissetrizes dos ângulos internos.

Fonte: elaborado pelo autor

Concordamos com Ferreira (2016) ao indicar que as características apresentadas por Bongiovanni (2004; 2010) aos quadriláteros notáveis indicam a forma pela qual esse conceito possibilita explorar os encadeamentos de uma visão desacertada acerca de uma definição.

Além de que, matematicamente, o ensino dos quadriláteros propicia a abordagem de uma quantidade relevante de propriedades em Geometria, aplicadas,

em especial, à solução de problemas matemáticos. Por meio do uso de instrumentos geométricos, o estudo desse conceito geométrico facilita a construção de hipóteses, mobilização de teoremas, provas e demonstrações.

Figura 11 – Conexões entre os quadriláteros consideradas nessa tese

Fonte: elaborado pelo autor

Os quadriláteros notáveis constituem um conceito em Geometria que permite o estudante realizar transformações cognitivas importantes ao desenvolvimento do pensamento geométrico, tais como a identificação, a conversão e o tratamento, conforme pressupostos teóricos defendidos por Duval (1995).

Para tanto, os quadriláteros notáveis constituem o objeto em Matemática adequado para a construção do modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico, proposto nessa tese.

No tópico a seguir, discutiremos sobre as situações didáticas verificadas em livros didáticos de Matemática, que dão sentido ao conceito de quadriláteros notáveis.