S IMILARIDADE AO S ISTEMA M ASSA M OLA

3.2.3.1. Oscilações Livres Sem Amortecimento de Sistemas com um Grau de Liberdade

Quaisquer movimentos do navio livre no plano vertical vão gerar, por parte da massa de água em que este está imerso, uma resistência crescente que será tanto maior quanto maior o afastamento em relação à posição de equilíbrio. Para os restantes movimentos de translação e rotação do navio livre não se geram forças resistentes e este assume a sua nova posição. Portanto, em avanço, deriva ou guinada o navio, se livre, apresenta equilíbrio indiferente: alterando o equilíbrio inicial o corpo aceita a nova posição não apresentando qualquer tendência para a alterar (Oliveira e Lopes, 2010).

Em movimentos de balanço, cabeceio e arfagem o navio livre tem então um comportamento análogo ao do sistema massa-mola. O mesmo passará a acontecer para os movimentos no plano horizontal quando o navio estiver amarrado. Ao ser aplicada uma força exterior no navio, provocando um deslocamento no mesmo, desenvolvem-se forças e momentos resistentes, de magnitude crescente com a amplitude do deslocamento e evolução linear se esse deslocamento for reduzido, até que se atinja um novo ponto de equilíbrio. O navio acumula energia potencial. Se a excitação cessar ou a força exterior for removida a energia potencial será convertida em energia cinética, ou seja, em movimento. Em situação não-amortecida, a lei da conservação da energia mecânica dita que se estabelecerá um movimento oscilatório harmónico simples, como o de um pêndulo.

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Na equação fundamental de um sistema livre de 1 grau de liberdade sem amortecimento traduz- se o equilíbrio entre as forças inerciais e as forças elástica. Tipicamente, a equação é escrita apresentando a inércia caracterizada pela massa equivalente da mola, 𝑚, e a elasticidade caracterizada pela constante elástica da mola, 𝑘,

m ü + k u = 0 (3.16)

em que 𝑢 representa o deslocamento da mola e 𝑢̇ e 𝑢̈ são a primeira e segunda derivada do deslocamento 𝑢, correspondendo então à velocidade e aceleração da mola. Esta equação diferencial admite uma solução do tipo:

u = A cos(wt) + B sen (wt) (3.17)

As constantes 𝐴 e 𝐵 são dependem das condições iniciais do movimento e 𝑤 é uma característica física do sistema conhecida como frequência natural. Substituindo 𝑢 na equação diferencial e dado que esta deve ser, satisfeita para um qualquer instante 𝑡, obtém-se a relação de seguida apresentada (Arede, 2000)

w = √k

m (3.18)

São dedutíveis também a partir da equação os valores das constantes iniciais. A constante 𝐴 toma o valor da posição inicial, 𝑢₀, enquanto a constante 𝐵 é igual a u̇_o/w, relacionada à velocidade imprimida ao corpo quando se inicia o movimento. A solução geral toma então a seguinte forma:

u(t) = uocos(wt) + u̇o

w sen (wt) (3.19)

Constata-se que a equação dinâmica do sistema massa-mola é uma função harmónica, de período, T =2 π

w (3.20)

Este período, 𝑇, é conhecido como o período natural da oscilação é de grande importância pois para além de caracterizar o comportamento do corpo em vibração livre vai condicionar a forma como este se relaciona com as excitações externas.

3.2.3.2. Vibrações Livres com Amortecimento

A equação fundamental de um sistema de 1 grau de liberdade com amortecimento faz o equilíbrio entre as forças inerciais, as forças elásticas e a força de amortecimento. A força de amortecimento, 𝑓_𝑎 é normalmente dada por:

𝑓𝑎= 𝑐 𝑣 (3.21)

em que 𝑐 é o coeficiente de amortecimento e 𝑣 a velocidade do movimento. Esta equação traduz o efeito de um amortecedor viscoso linear, como são os fluídos Newtonianos de que a água é exemplo. A força de amortecimento é então proporcional a um coeficiente, 𝑐, denominado coeficiente de amortecimento, e à velocidade do movimento do corpo no grau de liberdade livre. Este mecanismo de amortecimento é responsável por dissipar a energia do sistema. Sendo f_a uma força não conservativa, deixa de ser válida a lei da conservação da energia mecânica. A equação fundamental do sistema massa-mola com amortecimento é então,

𝑚 𝑢̈ + 𝑐 𝑢̇ + 𝑘 𝑢 = 0 (3.22)

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𝑢 = 𝑐 𝑒𝑠𝑡 _(3.23)

em que 𝑠 é uma constante sem significado físico. Substituindo na equação vem que:

𝑠 = − 𝑐 2𝑚± √( 𝑐 2𝑚) 2 − 𝑘 𝑚 (3.24)

No caso em que o radicando é nulo diz-se que o sistema é criticamente amortecido e o coeficiente de amortecimento, no caso designado por 𝑐_𝑐𝑟, toma o seguinte valor:

𝑐𝑐𝑟= 2 𝑚 𝑤 (3.25)

Quando o movimento é criticamente amortecido não se chega a estabelecer um movimento oscilatório. O amortecimento do sistema pode-se enquadrar então em três situações: pode ser igual ao crítico, com o efeito anteriormente descrito; superior ao crítico em que tende para zero menos rapidamente; inferior a crítico em que a energia é totalmente dissipada ao fim de alguns ciclos. Assim, ganha algum interesse representar o amortecimento pelo seu quociente em relação ao amortecimento crítico. O chamado fator de amortecimento ξ é dado por:

𝜉 = 𝑐 𝑐𝑟=

𝑐

2 𝑚 𝑤 (3.26)

Representando por w_a a frequência angular amortecida do sistema vem a solução da equação diferencial,

𝑤𝑎= 𝑤 √1 − 𝜉2 (3.27)

𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜉 𝑤 𝑡_{(𝑢0𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑎 𝑡) +}𝑢0̇ + 𝑢0 𝜉 𝑤

𝑤𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑎 𝑡)) (3.28)

A Figura 3-27 ilustra a evolução no tempo de um movimento oscilatório amortecido. É notória a diminuição exponencial da amplitude do movimento, assim como o ligeiro aumento do período da oscilação.

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3.2.3.3. Resposta de um Sistema de um Grau de Liberdade a uma Carga Harmónica

Quando o sistema é submetido a uma força periódica ocorrem as vibrações forçadas de um sistema (Beer e Johnston, 1981).

Seja 𝑝(𝑡) a solicitação periódica, que se represente pela expressão:

𝑝(𝑡) = 𝑝0 𝑠𝑒𝑛 (𝑤̅ 𝑡) (3.29)

em que p0 e w̅ são respetivamente a amplitude e a frequência da solicitação. A equação de

equilíbrio dinâmico é então,

𝑚 𝑢̈ + 𝑐 𝑢̇ + 𝑘 𝑢 = 𝑝0 𝑠𝑒𝑛 (𝑤̅ 𝑡) (3.30) Portanto esta equação representa o equilíbrio entre as forças inerciais, as forças elásticas, as forças de amortecimento e uma força exterior periódica. A solução geral desta equação diferencial é obtida adicionando-se uma solução particular à solução geral da equação apresentada em 3.28, que passa agora a designar-se solução complementar. A solução complementar diz então respeito ao movimento do sistema livre amortecido. Fica assim patente que o comportamento do sistema sob ação da força exterior será a composição da oscilação livre com a oscilação forçada. A solução da equação vem então:

𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜉 𝑤 𝑡_{(𝑢0𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑎 𝑡) +}𝑢0̇ + 𝑢0 𝜉 𝑤 𝑤𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑎 𝑡)) +𝑝0 𝑘 1 (1 − 𝑟2₎2_{+ (2 𝜉 𝑟)}2[(1 − 𝑟2)𝑠𝑒𝑛 (𝑤̅ 𝑡) − 2 𝜉 𝑟 𝑐𝑜𝑠 (𝑤̅ 𝑡) (3.31)

em que a primeira parcela diz respeito à resposta transitória e a segunda à resposta estacionária. O quociente 𝑝0⁄ é o que normalmente se designa por deslocamento estático e 𝑟 a razão entre a 𝑘

frequência da solicitação e a frequência natural do sistema. A razão de frequências introduz outro conceito muito importante, o fator de amplificação dinâmica da parcela estacionária. Este é dado por:

𝐷 = 1

√(1 − 𝑟2₎2_{+ (2 𝜉 𝑟)}2 (3.32)

A importância do fator de amplificação dinâmica reside no efeito de acréscimo da amplitude da oscilação no estado estacionário que é, como foi apresentado, diretamente proporcional ao quadrado de 𝐷. Este é, por sua vez, função da já referida razão de frequências. Verifica-se que quando a frequência natural e a da solicitação são de valor próximo, a amplitude é fortemente amplificada, o que é de forma geral indesejável. No caso mais extremo, quando as frequências são iguais, ou seja r = 1, atinge-se a condição de ressonância com a amplitude da oscilação a tender para infinito com o tempo na ausência de amortecimento. O amortecimento desempenha então um papel de maior importância quando há amplificação por ressonância ao limitar a amplitude da resposta nesta condição,

Dr=1= 1

2 ξ (3.33)

Apresenta-se na Figura 3-28 a evolução do fator de amplificação dinâmica, 𝐷, em função da razão de frequências, 𝑟, para diversos valores do fator de amortecimento.

69 Figura 3-28 - Evolução do fator de amplificação dinâmica com a razão de frequências (Rosa Santos,

2010).