2.3 Estudo R&R
2.3.1 Método da média e amplitude
O método da média e da amplitude permite estimar a repetibilidade e a reprodutibilidade, mas não a sua interacção (caso exista é possível estimar no método da ANOVA). Neste método vários operadores recolhem medições para a mesma característica, lidas em diferentes experiências, e utilizando o mesmo instrumento. Cada operador não deve ter acesso às medições dos restantes operadores. A tabela seguinte representa os cálculos a efectuar após a recolha dos dados.
Tabela 2.1: Cálculos iniciais estudo R&R
Repetição Experiência Média 1 2 ... n 1 2 ... r Média X¯ Amplitude R¯
Como se pode observar, na tabela 2.1, calcula-se a média e amplitude das observações, tendo em consideração que se trata apenas de um operador. O cálculo da amplitude para cada experiência utiliza a seguinte equação:
R= XMáx(1,...,r)− XMin(1,...,r) (2.8)
Para cada operador que participe no estudo, será necessário repetir os mesmos cálculos.
Análise Gráfica
A carta de amplitudes é construída para verificar se o processo se encontra sob controlo estatís- tico. A carta de amplitudes permite adicionalmente verificar se há consistência no processo de
medição, entre operadores para a mesma experiência. A carta de amplitudes apresenta a ampli- tude das observações por operador e por experiência. Para a construção da carta de amplitudes é também necessário calcular os limites de controlo.
Amplitude média (de todos os operadores) é calculada pela seguinte equação: ¯¯R = ∑ ¯R
número de operadores (2.9)
E os limites de controlo da carta de amplitudes são determinados a partir das equações (2.10) e (2.11).
LSCR= ¯¯R × D4 (2.10)
LICR= ¯¯R × D3 (2.11)
onde D4e D3são constantes a consultar numa tabela de constantes para cartas tradicionais
de variáveis.
Após a construção das cartas de amplitudes, analisa-se ponto a ponto, de forma a verificar se todos os pontos se encontram dentro dos limites determinados anteriormente. Se se verificar que existem pontos fora dos limites, ou seja, causas especiais de variação, o passo seguinte é identificar e corrigir o problema. Posteriormente, repetem-se as medições correspondentes, nas mesmas condições em que foram recolhidas inicialmente (a mesma experiência, o mesmo operador). Calcula-se novamente a média total de amplitudes, ¯¯R, e os limites de controlo, LSCR
e LICR. Quando não existirem causas especiais de variação, é possível fazer a análise dos dados.
A carta das médias é construída a partir da média das várias medições de cada operador, em cada experiência. É apresentado por operador, com a experiência em índice. Esta carta permite verificar se as medições entre operadores são consistentes. Para além dos pontos corresponden- tes às partes, também é colocado no gráfico a média total das observações, ¯¯X, e os limites de controlo da carta das médias, calculados a partir da média de amplitudes, LSCX¯ e LICX¯. Assim,
a média das observações, é dada por:
¯¯X = ∑ ¯X
número de operadores (2.12)
E os limites de controlo são dados por:
LSCX¯ = ¯¯X+ ¯¯R × A2 (2.13)
onde nas equações (2.13) e (2.14), A2 representa uma constante a consultar na tabela de
constantes para cartas tradicionais de variáveis, considerando a dimensão da amostra r (tabela 2.1).
Na carta que se obtém, a área entre os limites de controlo, representa a sensibilidade da medição. Uma vez que as experiências utilizadas no estudo, representam a variação do processo, mais de metade das observações deve estar fora dos limites de controlo. Se as observações registadas na carta de controlo demonstrarem este padrão, é possível concluir que o sistema de medição consegue detectar variação entre partes. Se menos de metade das observações estiver fora dos limites de controlo, então ou o sistema não tem resolução suficiente para a medição da característica em estudo, ou a amostra seleccionada não representa a variação esperada do processo (AIAG, 2002).
Análise númerica • Repetibilidade
Depois da análise gráfica, e tendo verificado que não existem causas especiais de variação, e que o sistema de medição consegue distinguir a variação entre experiências, é possível fazer o estudo da repetibilidade e reprodutibilidade. Assim, o desvio padrão estimado para a repetibilidade, segundo Barrentine (1991), é dado por:
ˆσV E =
¯ R
d2∗ (2.15)
onde d∗
2 representa uma constante a consultar em duas tabelas diferentes, dependendo do
número de amostras e operadores. Ou seja, considere-se
g= número de experiências × número de operadores (2.16) Se g < 16, então o valor de d∗
2 deverá ser consultado na tabela do Anexo A, em que: M =
número de repetições. Se g ≥ 16, então a tabela a utilizar é a tabela de constantes para cartas tradicionais de variáveis. Nas equações seguintes, e de acordo com a convenção utilizada em Barrentine (1991), considerar-se-à uma dispersão de 99%, que representa a dispersão total associada ao erro de medição. Ou seja, a multiplicação de σ por 5.15 representa 99% da dispersão total. Assim, a repetibilidade é calculada da seguinte forma:
considerando uma dispersão de 99%.
• Reprodutibilidade
O desvio padrão estimado para a reprodutibilidade, segundo Barrentine (1991), é dado por:
ˆσV O=
RV O
d2∗ (2.18)
onde RV O representa a amplitude das médias dos operadores, e é obtida a partir da se-
guinte equação:
RV O= ¯X(Operador)M ´ax− ¯X(Operador)Min (2.19)
O valor da constante d∗
2, na equação (2.18), é obtido da mesma forma que para a equação
(2.15), considerando no entanto que g representa o número de amplitudes (ou seja, g = 1), e M representa o número de operadores.
Já a reprodutibilidade é calculada da seguinte forma:
V O= 5, 15 × ˆσV O (2.20)
onde mais uma vez se considerou uma dispersão total associada ao erro de medição de 99%.
• Reprodutibilidade Ajustada
A reprodutibilidade quando calculada na forma descrita anteriormente inclui a variação provocada pelo equipamento de medição - ou seja, a repetibilidade (equação (2.17)). As- sim, é necessário calcular a reprodutibilidade isoladamente, ou seja, a reprodutibilidade ajustada, utilizando a seguinte equação:
Reprodutibilidade Ajustada= v u u t[5, 15 × ˆσV O]2− " (5, 15 × ˆσV E)2 n × s # (2.21)
onde n representa o número de experiências e s o número de repetições. ˆσV E é calculado
a partir da equação (2.15).
O desvio padrão correspondente à reprodutibilidade ajustada, σV O, é calculado a partir da
seguinte equação:
σV O=
Reprodutibilidade Ajustada
• Repetibilidade e Reprodutibilidade (R&R)
Considerando o procedimento descrito anteriormente é possível calcular a variação do processo associado ao sistema de medição.
R&R = q
[5, 15 × σV O]2+ [5, 15 × ˆσV E]2 (2.23)
E o desvio padrão do processo associado ao sistema de medição é obtido a partir da equação seguinte:
ˆσR&R=R&R
5,15 (2.24)
• Variação entre experiências
Para completar o estudo R&R é necessário calcular a variação entre experiências. O desvio padrão estimado para a variação entre experiências é dado por:
ˆσExp=
RExp
d2∗ (2.25)
onde RExp, representa a amplitude entre as medições das n experiências, considerando
todos os operadores, e é obtida a partir da equação seguinte.
RExp= ¯XMáx− ¯XMin (2.26)
A variação entre experiências, considerando uma dispersão de 99% é obtida a partir da equação seguinte.
VExp= 5, 15 × ˆσExp (2.27)
Na equação (2.25) d∗
2 é uma constante que se consulta da mesma forma que na equação
(2.15), tendo em consideração que neste caso M representa o número de experiências e g o número de amplitudes (ou seja, g = 1).
• Variação Total
A partir do cálculo da variação do processo associado ao sistema de medição e a variação entre experiências, calcula-se a variação total. O desvio padrão associado à variação total do processo é obtido da seguinte forma.
ˆσT =
q
E a variação total do processo é, por fim, obtida da seguinte forma:
V T = 5, 15 × ˆσT (2.29)
Por fim, é necessário analisar os resultados.
A variação calculada para cada factor no estudo do equipamento pode ser comparada com a variação total. Essa comparação permite verificar se o equipamento é aceitável para a caracte- rística em estudo. %Repetibilidade = ˆσV E ˆσT × 100 (2.30) %Reprodutibilidade =σV O ˆσT × 100 (2.31)
%Experiência a experiência= ˆσExp ˆσT × 100
(2.32)
%R&R = ˆσR&R ˆσT × 100
(2.33) A aceitação ou rejeição de um instrumento de medição, segundo AIAG (2002), e conside- rando a equação (2.33) é feita de acordo com o seguinte critério:
• %R&R de 0% a 10% da variação total ⇒ Aceitável
• %R&R de 11% a 30% da variação total ⇒ Duvidoso - Pode ser aceitável mediante o custo do equipamento, o custo da reparação ou a importância da característica em estudo.
• %R&R mais de 30% da variação total ⇒ Não aceitável - Neste caso deve procurar-se melhorar o sistema de medição.
O último passo da análise numérica consiste em determinar o número de classes distintas que o sistema de medição consegue distinguir de forma fiável. Seguindo a metodologia de AIAG (2002), relativamente à sensibilidade do equipamento para análise, considera-se a divisão de classes da tabela 2.2.
Ou seja, a partir da tabela 2.2 verifica-se que quanto maior o número de classes maior a sensibilidade do equipamento.
Tabela 2.2: Número de classes (Adaptado de AIAG (2002))
Sistema inadequado para estimar os parâ- metros do processo.
1 Classe de dados
Não aceitável na generalidade dos casos, uma vez que só permite estimar os parâ- metros do processo de forma grosseira.
2 a 4 Classes de dados
Recomendável.
5 ou mais Classes de dados
O número de classes é dado por:
NC= VExp
R&R ×d2∗ (2.34)
onde neste caso o valor de d∗
2 é fixo, sendo M = 2 e g = 1, ou seja, recorrendo ao anexo A
d2∗= 1, 41. O valor de VExp é obtido a partir da equação (2.27) e o valor de R&R é obtido a
partir da equação (2.23).